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1、- 1 - 2005 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析 一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 1 2 sinlim 2 x x x x =2. 【分析分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解详解】 1 2 sinlim 2 x x x x =. 2 1 2 lim 2 x x x x （2）微分方程0yyx满足初始条件2) 1 (y的特解为2xy. 【分析分析】 直接积分即可. 【详解详解】 原方程可化为0)(xy，积分得Cxy ， 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2
2、. （3）设二元函数)1ln() 1(yxxez yx ，则 )0, 1( dzdyeedx)2(2. 【分析分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解详解】)1ln(yxee x z yxyx , y x xe y z yx 1 1 , 于是 )0, 1( dzdyeedx)2(2. （4）设行向量组) 1 , 1 , 1 , 2(，), 1 , 2(aa，), 1 , 2 , 3(a，) 1 , 2 , 3 , 4(线性相关，且1a，则 a= 2 1 . 【分析分析】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a. 【详解详解】由题设，有 1234 123 12
3、 1112 a aa 0) 12)(1(aa, 得 2 1 , 1aa，但题设1a，故. 2 1 a （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从X, 2 , 1中任取一个数，记为 Y, 则 2YP= 48 13 . 【分析分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即 为完备事件组或样本空间的划分. 【详解详解】2YP=121XYPXP+222XYPXP - 2 - +323XYPXP+424XYPXP =. 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 0( 4 1 （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 XY01 00.4a 1b
4、0.1 已知随机事件0X与1YX相互独立，则 a=0.4, b=0.1. 【分析分析】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b 的取值. 【详解详解】 由题设，知a+b=0.5 又事件0X与1YX相互独立，于是有 101, 0YXPXPYXXP， 即a=)(4 . 0(baa,由此可解得a=0.4, b=0.1 二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当 a 取下列哪个值时，函数axxxxf1292)( 23
5、 恰好有两个不同的零点. (A)2.(B)4.(C)6.(D)8.B 【分析分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极 值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解详解】12186)( 2 xxxf=)2)(1(6xx，知可能极值点为 x=1,x=2，且 afaf4)2(,5) 1 (，可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （ 8 ） 设dyxI D 22 1 cos,dyxI D )cos( 22 2 ,dyxI D 222 3 )cos(, 其 中 1),( 22 yxyxD，则 (A) 123 III.
6、（B） 321 III. (C) 312 III.(D) 213 III.A 【分析分析】 关键在于比较 22 yx 、 22 yx 与 222 )(yx 在区域1),( 22 yxyxD上的大小. 【详解详解】在区域1),( 22 yxyxD上，有10 22 yx，从而有 22 1 2 yx 22 yx 0)( 222 yx - 3 - 由于 cosx 在) 2 , 0( 上为单调减函数，于是 22 cos0yx )cos( 22 yx 222 )cos(yx 因此 dyx D 22 cos dyx D )cos( 22 dyx D 222 )cos(，故应选(A). （9）设, 2 , 1
7、, 0nan若 1n n a发散， 1 1 ) 1( n n n a收敛，则下列结论正确的是 (A) 1 12 n n a收敛， 1 2 n n a发散 .（B） 1 2 n n a收敛， 1 12 n n a发散. (C)( 1 212 n nn aa收敛.(D)( 1 212 n nn aa收敛.D 【分析分析】可通过反例用排除法找到正确答案. 【详解详解】取 n an 1 ，则 1n n a发散， 1 1 ) 1( n n n a收敛， 但 1 12 n n a与 1 2 n n a均发散，排除(A),(B)选项，且)( 1 212 n nn aa发散，进一步排除(C),故应选(D).
8、事实上，级数)( 1 212 n nn aa的部分和数列极限存在. （10）设xxxxfcossin)(,下列命题中正确的是 (A)f(0)是极大值，) 2 (f是极小值.（B） f(0)是极小值，) 2 (f是极大值. （C）f(0)是极大值，) 2 (f也是极大值.(D)f(0)是极小值，) 2 (f也是极小值. B 【分析分析】 先求出)(),(xfxf ，再用取极值的充分条件判断即可. 【详解详解】xxxxxxxfcossincossin)(，显然0) 2 (, 0)0( ff， 又xxxxfsincos)( ，且0 2 ) 2 (, 01)0( ff，故 f(0)是极小值，) 2 (
9、f是极大值， 应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是 (A)若)(x f 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若)(xf在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. - 4 - （C）若)(x f 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D)若)(xf在（0，1）内有界，则)(x f 在（0，1）内有界.C 【分析分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解详解】 设 f(x)= x 1 , 则 f(x)及 2 1 )( x xf均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、 (B);又xxf)(在（0，1）内有
10、界，但 x xf 2 1 )(在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C). （12） 设矩阵 A= 33 )( ij a满足 T AA * ， 其中 * A是 A 的伴随矩阵， T A为 A 的转置矩阵. 若 131211 ,aaa 为三个相等的正数，则 11 a为 (A) 3 3 .(B)3.(C) 3 1 .(D)3.A 【分析分析】 题设与 A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式： . * EAAAAA. 【详解详解】 由 T AA * 及EAAAAA * ，有3 , 2 , 1,jiAa ijij ，其中 ij A为 ij a的代数余子式， 且0 3 2 AAAEA
11、AAT或1A 而03 2 11131312121111 aAaAaAaA，于是1A，且. 3 3 11 a故正确选项为(A). （13）设 21, 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 21, ，则 1 ，)( 21 A线 性无关的充分必要条件是 (A)0 1 .(B)0 2 .(C)0 1 .(D)0 2 .D 【分析分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解详解】 方法一：令0)( 21211 Akk，则 0 22211211 kkk，0)( 2221121 kkk. 由于 21, 线性无关，于是有 . 0 , 0 22 121 k kk 当
12、0 2 时， 显然有0, 0 21 kk， 此时 1 ，)( 21 A线性无关； 反过来， 若 1 ，)( 21 A - 5 - 线性无关，则必然有0 2 (,否则， 1 与)( 21 A= 11 线性相关)，故应选(B). 方法二： 由于 2 1 2122111211 0 1 ,)(, A， 可见 1 ，)( 21 A线性无关的充要条件是. 0 0 1 2 2 1 故应选(D). （14） 设一批零件的长度服从正态分布),( 2 N，其中 2 ,均未知. 现从中随机抽取 16 个零件， 测得样本均值)(20 cmx ，样本标准差)( 1 cms ，则的置信度为 0.90 的置信区间是 (A)
13、.16( 4 1 20),16( 4 1 20( 05. 005. 0 tt(B).16( 4 1 20),16( 4 1 20( 1 . 01 . 0 tt (C).15( 4 1 20),15( 4 1 20( 05. 005. 0 tt(D).15( 4 1 20),15( 4 1 20( 1 . 01 . 0 ttC 【分析分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1( nt n s x 【详解详解】 由正态总体抽样分布的性质知，) 1( nt n s x ， 故的置信度为 0.90 的置信区间是 )1( 1 ),1( 1 ( 22 nt n xnt n x ，即).15(
14、 4 1 20),15( 4 1 20( 05. 005. 0 tt故应选(C). 三 、解答题（本题共三 、解答题（本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （ ） （15） （本题满分） （本题满分 8 分）分） 求). 1 1 1 (lim 0 xe x x x 【分析分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 【详解详解】 )1 ( 1 lim) 1 1 1 (lim 2 00 x x x x x ex exx xe x = 2 2 0 1 lim x exx x x = x ex x x 2 21
15、 lim 0 =. 2 3 2 2 lim 0 x x e （16） （本题满分） （本题满分 8 分）分） - 6 - 设 f(u)具有二阶连续导数，且)()(),( y x yf x y fyxg，求. 2 2 2 2 2 2 y g y x g x 【分析分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可. 【详解详解】由已知条件可得 )()( 2 y x f x y f x y x g ， )( 1 )()( 2 4 2 32 2 y x f yy x f x y x y f x y x g ， )()()( 1 y x f y x y x f x y f xy g ， )()()()(
16、1 3 2 2222 2 y x f y x y x f y x y x f y x x y f xy g ， 所以 2 2 2 2 2 2 y g y x g x =)()()( 2 2 2 2 y x f y x y x f x y x y f x y )()( 2 2 2 y x f y x x y f x y =).( 2 x y f x y （17） （本题满分） （本题满分 9 分）分） 计算二重积分dyx D 1 22 ，其中10 , 10),(yxyxD. 【分析分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解详解】记),( , 1),( 22 1 DyxyxyxD， ),( , 1),( 22 2 DyxyxyxD， 于是dyx D 1 22 = 1 ) 1( 22 D dxdyyx 2 ) 1( 22 D dxdyyx = 2 0 2 1 0 ) 1( rdrrd D dxdyyx) 1( 22 1 ) 1( 22 D dxdyyx = 8 + 2 0 1 0 22 1 0 2 1 0 ) 1() 1( rdrrddyyxd
