目录 第1章索洛增长模型 第2章无限期模型与世代交叠模型 第3章内生增长 第4章跨国收入差距 第5章实际经济周期理论 第6章名义刚性 第7章动态随机一般均衡周期模型 第8章消费 第9章投资 第10章失业 第11章通货膨胀与货币政策 第12章预算赤字与财政政策 第1章索洛增长模型 1.1 增长率的基本性质利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性 质证明： （a）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和即，若Z（t） X（t）Y（t），则： （b）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差即，若Z（t） X（t）/Y（t），则： （c）若Z（t）X（t），则 证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求 导，那么可得下式： 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（a）的结果 （b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么 可得下式： 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（b）的结果 （c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么 可得下式： 又由于lnX（t）lnX（t），其中是常数，有下面的结果： 则得到（c）的结果。
1.2 假设某变量X的增长率从时刻0到时刻t1为常数，并且等于a0；在 时刻t1降为0；从时刻t1到t2逐渐从0增加到a；在时刻t2后为常数，并且等 于a （a）用图形表示出X的增长率随时间的变化 （b）用图形表示出lnX随时间的变化 答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示 从 时刻到t1时刻X的增长率为常数且等于a（a0），为图形中的第一 段X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段从t2时刻之后，X的 增长率再次变为a 图1-1时间函数X的增长率 （b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即： 因此，lnX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到t1时刻，lnX的斜率 为a（a0），在t1时刻，X（t）的增长率出现不连续的变化，因此lnX 的斜率出现扭曲，在t1时刻至t2时刻，lnX的斜率由0逐渐变为a；从t2时 刻之后，lnX的斜率再次变为a（a0） 图1-2lnX关于时间的图形 1.3 描述下列情况如何影响（如果有影响的话）索洛模型基本图式里的 持平投资曲线和实际投资曲线： （a）折旧率下降 （b）技术进步率上升 （c）生产函数是柯布道格拉斯函数f（k）k，并且资本份额上升。
（d）工人更加努力地工作，因此，在既定的单位有效劳动平均资本下， 单位有效劳动的平均产出比以前更高 答：（a）折旧率下降的影响 由于持平投资线的斜率为（ng），当折旧率下降后，持平投资线 的斜率变小，持平投资线向右旋转，而实际投资线则不受影响从图1- 3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*上升到 图1-3折旧率下降的影响 （b）技术进步率上升的影响 由于持平投资线的斜率为（ng），当技术进步率g上升后，会使持 平投资线的斜率变大，持平投资线向左旋转，而实际投资线则不受影 响从图1-4可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*下降到 图1-4技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响 （c）生产函数是柯布道格拉斯型的f（k）k，并且资本份额上升的 影响 由于持平投资线的斜率为（ng），因此上升对持平投资线没有影 响由于实际投资线为sf（k），而f（k）k，因此当 资本份额上升时，实际投资线的变化需要分情况讨论：对于01， 如果lnk0，或者k1，则sk/0，即实际投资线sk随增加而上 升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上；反之，如果lnk0， 或者0k1，sk/0，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之 下；对于k1，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。
除此之外，上升对于k*的影响还受到s和（ng）的大小的影响 如果s（ng），的上升会使k*上升，如图1-5所示 图1-5资本份额上升的影响 （d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值， 单位有效劳动的产出比以前有更高的影响 如果修改密集形式的生产函数形式为：sBf（k），B0，则实际投资线 为sBf（k） 工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为 B上升，B的上升会使实际投资线sBf（k）上升；持平投资线（ng ）k并不受影响，此时，k也从k*上升到，如图1-6所示 图1-6单位有效产出比以前更高的影响 1.4 考虑一个存在技术进步，但没有人口增长并且处于平衡增长路径的 经济假定出现工人数量的一次性增加 （a）工人数量一次性增加时，单位有效劳动的平均产出会增加、减少还 是不变？为什么？ （b）单位有效劳动的平均产出发生初始变化（如果有）之后，是否会有 进一步的变化？如果有，它是上升还是下降？为什么？ （c）在经济重新达到平衡增长路径后，单位有效劳动的平均产出与新工 人出现之前相比是更高、更低还是一样？为什么？ 答：（a）假定在t0时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这使得每单 位有效劳动的投资数量从k*下降到kNEW。
从kK/（AL）这一式子中可 以看出，由于L上升，而K和A则没有变化，因此，k会下降因为f （k）0，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳 动的产出在图1-7中，y从y*下降到yNEW 图1-7单位有效劳动数量降低的影响 （b）在kNEW处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平 投资，即：sf（kNEW）（g）kNEW在kNEW处，经济中储蓄和投 资超过了折旧和技术进步所需要的投资数量，因此k开始上升随着每 单位有效劳动的资本上升，每单位有效劳动的产出也会上升因此，y 从yNEW返回到y* （c）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原先的资本 水平k*在k*处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每 单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量一旦经 济返回到平衡增长路径，k便会返回到k*处，从而每单位有效劳动的产 出也会返回到原先的水平所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每 单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出 1.5 假设生产函数是柯布道格拉斯函数 （a）把k*、y*和c*表示为模型参数s、n、g和的函数 （b）k*的黄金律值是多少？ （c）达到黄金律资本存量所需的储蓄率是多少？ 解：（a）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式： 定义柯布道格拉斯生产函数为：f（k）k，将其代入上式，有下 式： 在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平 投资相等，从而k保持不变，则有下面结果： 从上式可以解出： （1） 下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y*： 将方程（1）代入f（k）k，则可以解出平衡增长路径处的每单位有 效劳动的产出水平y*： （2） 将方程（2）代入c*（1s）y*，则可以求得平衡增长路径处的每单位 有效劳动的消费水平为： （3） 综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出k*、y*与c*关于模型参数 s、n、g和的函数表达式。
（b）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化 时的资本存量水平考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这 也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意 义 由方程（1）可以解出s，即： （4） 将上式代入方程（3），有下式： 上式可以简化为： （5） 即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳 动的实际投资，而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位 有效劳动的持平投资 下面求c*关于k*的最优化，可以由（5）得出： 再简化为： （6） 方程（6）的定义暗含了黄金规则的资本水平其中，方程（6）左边， 因为k*1f（k*），则，f（k*）（ng）表明生产函数的 斜率等于持平投资的斜率 可以由方程（6）解出黄金规则要求的最佳资本水平，即k的黄金律值： （7） （c）将方程（7）代入方程（4）即可以得到黄金规则所要求的资本水 平： 进一步简化为： （8） 由方程（8）可以得出：对于柯布道格拉斯生产函数，黄金规则所要 求的储蓄率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额 1.6 考虑一个处于平衡增长路径的索洛经济为了简单起见，假设不存 在技术进步。
若人口增长率下降： （a）平衡增长路径上的工人平均资本、工人平均产出以及工人平均消费 将如何变化？做图表示经济向新的平衡增长路径移动时上述变量的变化 路径 （b）描述人口增长率下降对产出路径的影响（总产出而不是工人平均产 出） 答：（a）由于不存在技术进步，这里可以不考虑技术因素，将每单位 有效劳动简化为平均劳动，定义：yY/L，kK/L 由于持平投资线的斜率为（n），因此，人口增长率n的下降会使持 平投资线的斜率变小，持平投资线更加平坦每个工人平均资本的动态 方程为： 由于n下降，这会导致变为正数（在平衡增长路径上，为0，即资本 存量处于最佳水平）在k*处，每个工人平均实际投资sf（k*）超过了 每个工人平均持平投资（nNEW）k*，因而，k*会增加，移向 ，如图1-8所示 图1-8人口增长率下降对每个工人平均稳态资本、平均稳态产出的影响 随着每个工人平均资本的增加，由yf（k）可以知道工人平均产出会 上升又因为c（1s）y，由于s不变，而y上升，因此每个工人平均 消费会上升如图1-9所示 其中，图1-9（a）为每个工人平均资本的变化图，图1-9（b）为每个工 人平均产出的变化图，图1-9（c）为每个工人平均消费的变化图。
图1-9每个工人平均资本、产出、消费的变化 （b）由定义YLy，则Y的增长率为在开始的平衡增长 路径上，因此，在最终的平衡增长路径上， 因此，人口增长的下降会导致总产出的增长率下 降，如图1-10所示 图1-10总产出增长率的下降 1.7 计算在平衡增长路径上单位有效劳动的平均产出y*对人口增长率n的 弹性若K（k*）1/3，g2%，并且3%，当n从2%降到1%时，y* 增加多少？ 解：由于y*f（k*），所以该式两边对n求导数，有下式的结果： （1） 而k*/n值可以从资本的动态方程式中寻找在平衡 增长路径上，kk*，因此有：sf（k*）（ng）k*，对两 边关于n求导，得到下式： 求解可得： （2） 将方程（2）代入（1）式，得： （3） 由sf（k*）（ng）k*求解s，可得： （4） 将方程（4）代入（3）式，可得： 求y*关于n的弹性形式： （5） 产出的资本弹性为，代入（5）式： （6） 将K（k*）1/3、g2%以及3%，n由2%下降至1%代入，其中n取 中值，为0.015，有下式的结果： 因此，n由2%下降至1%，下降了50%，则产出会上升6%（12%50% 6%）可以发现，人口增长率的大幅度下降并不会导致产出的大幅度 增长。
上述结论有着极其重要的价值在索洛模型中，在解释经济增长的原因 时，索洛从资本的角度加以解释，但他发现，资本的差异既不能解释人 类历史上长期的增长，也不能解释跨国之间的差距在索洛模型看来， 导致经济增长最主要的原因在于有效劳动本题则从劳动数量的角度解 释增长，发现效果并不明显 1.8 假设在美国的产出中投资的比例从0.15永久性地增加到0.18设资 本份额为1/3 （a）与投资比例不变的情形相比，产出最终大约会增加多少？ （b）与投资比例不变的情形相比，消费最终大约会增加多少？ （c）投资增加对消费的直接影响是什么？消费需要花多少时间才能回到 投资比例不变时的水平？ 解：（a）投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，上升20%， 表明储蓄率上升了20%由教材中式（1.27）可以知道产出关于储蓄的 弹性公式为： K（k*）为产出的资本弹性，这里假设市场是完全竞。