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1、目录 第1章行列式视频讲解 1.1本章要点详解 1.2配套考研真题解析 第2章矩阵及其运算视频讲解 2.1本章要点详解 2.2配套考研真题解析 第3章矩阵的初等变换与线性方程组 视频讲解 3.1本章要点详解 3.2配套考研真题解析 第4章向量组的线性相关性视频讲 解 4.1本章要点详解 4.2配套考研真题解析 第5章相似矩阵及二次型视频讲解 5.1本章要点详解 5.2配套考研真题解析 第6章线性空间与线性变换 6.1本章要点详解 6.2配套考研真题解析 第1章行列式视频讲解 1.1本章要点详解 本章要点 二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开
2、克拉默法则 重难点导学 一、二阶与三阶行列式 1二阶行列式 00:00 / 00:00 将四个数，按一定位置，排成二行二列的数表 则表达式就是数表的二阶行列式，并记作 2三阶行列式 设有9个数排成3行3列的数表 记 该式称为数表所确定的三阶行列式 二、全排列和逆序数 1全排列 把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列n个不同元素的 所有排列的种数，通常用Pn表示 2逆序数 （1）逆序数定义 对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如， 个不 同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一 排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆 序一
3、个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数 （2）分类 逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列 （3）逆序数的计算 设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序设 为这n个自然数的一个排列，考虑元素 ，如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti个，则称pi这个元素的逆序数为 00:00 / 00:00 ti全体元素的逆序数的总和 即是这个排列的逆序数 三、n阶行列式 1定义 00:00 / 00:00 称为n阶行列式，简记作，其中数aij为行列式D的第（i，j）元 素 2两类典型的n阶行列式 （1）下三角形行列式 （2）对角行列式 四、对换 1定义 对换是在排列中
4、，将任意两个元素对调，其余元素不动将相邻两个元 素对换称为相邻对换 2性质 (1)排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 (2)奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的 对换次数为偶数 五、行列式的性质 00:00 / 00:00 1行列式与它的转置行列式相等 2对换行列式的两行（列），行列式变号 3如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零 4行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行 列式 5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆 分成两个行列式之和 6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行） 对应
5、的元素上去，行列式不变 六、行列式按行（列）展开 00:00 / 00:00 1余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n 1阶行列式称为（i，j）元aij的余子式，记作Mij，记 Aij称为（i，j）元aij的代数余子式 2定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即 或 3范德蒙德行列式 00:00 / 00:00 4代数余子式的推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘 积之和等于零即 或 5代数余子式的重要性质 或 七、克莱默法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于0，即 那么线
6、性方程组有解并且解释唯一的，解可以表示成 其中是把系数行列式中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后 所得到的n阶行列式，即 00:00 / 00:00 Dj 1.2配套考研真题解析 一、选择题 行列式等于（）数一、数二、数三 2014研 A B C D 【答案】B 【解析】 二、填空题 1行列式数一、数三 2016 研 【答案】 【解析】计算如下 2 阶行列式数一 2015研 【答案】 【解析】将 阶行列式按第一行展开 3设是三阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子 式,若 ，则A_数一、数二、数三 2013研 【答案】1 【解析】由可知， 故 4设A，B为3阶矩阵，且数 二、数
7、三2010研 【答案】3 【解析】因为 所以 第2章矩阵及其运算视频讲解 2.1本章要点详解 本章要点 矩阵的定义 矩阵与线性变换 矩阵的运算 矩阵的转置与逆矩阵 方阵的行列式 矩阵分块法 重难点导学 一、矩阵 1定义 00:00 / 00:00 由mn个数aij（i1，2，m；j1，2,，n）排成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵，简称mn矩阵记为 2分类 （1）实矩阵 矩阵元素都为实数的矩阵 （2）复矩阵 矩阵元素为复数的矩阵 （3）行矩阵/列矩阵 又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵 （4）n阶方阵 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵 （5）零矩阵 元素都是零的矩阵 （6）对角矩阵
8、 对角线以外的元素都是0的方阵 （7）单位矩阵 对角线上元素都为1的对角矩阵 3同型矩阵与矩阵相等 （1）两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵 （2）两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即 则称矩阵A与矩阵B相等，记作AB 4矩阵与线性变换 n个变量与m个变量之间的关系式 表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数 提取得到一个矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 二、矩阵的运算 1矩阵的加法 （1）定义 设有两个mn矩阵A（aij）和B（bij），则矩阵A与B的和记作A B，规定为 注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算 （2）运算规律 设A，B，C都是
9、mn矩阵，则 ABBA； 00:00 / 00:00 （AB）CA（BC）； 设矩阵A（aij），记：A（aij），A称为矩阵A的负矩阵， 显然有A（A）0，由此规定矩阵的减法为：ABA（ B） 2数与矩阵相乘 （1）定义 数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为 （2）运算规律 设A、B为mn矩阵，、为数，则 （）A（A）； （）AAA； （AB）AB 3矩阵与矩阵相乘 （1）定义 设A（aij）是一个ms矩阵，B（bij）是一个sn矩阵，则规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个mn矩阵C（cij），其中 并把此乘积记为CAB （2）运算规律 （AB）CA（BC）； （AB）（ A）BA（ B）（其中为
10、数）； A（BC）ABAC，（BC）ABACA； EAAEA； AkAlAkl，(Ak)l=Akl （3）注意 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数 时，两个矩阵才能相乘 矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，ABBA 对于两个n阶方阵A，B，若ABBA，则称方阵A与B是可交换的 若有两个矩阵A，B，满足AB0,不能得出A0或B0的结论；若 A0，而A（XY）0也不能得出XY的结论 三、矩阵的转置 1定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记 作AT 2转置运算 （1）（AT）TA； （2）（AB）TATBT； （3）（A）TAT； （
11、4）（AB）TBTAT 3对称矩阵 设A为n阶方阵，如果满足ATA，即aijaji（i，j1,2,n）,则称A为 对称矩阵 四、方阵的行列式 00:00 / 00:00 1定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作detA或|A| 2由A确定|A|的运算规律 假设A、B为n阶方阵，为数： （1）|AT|A|； （2）|A|n|A|； （3）|AB|A|B| 3伴随矩阵 行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵 00:00 / 00:00 称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵一般地， 4共轭矩阵 （1）定义 当 为复矩阵时，用表示的共轭复
12、数，记， 称为的 共轭矩阵 （2）性质 设A，B为复矩阵， 为复数，且运算都是可行的 五、逆矩阵 1定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使ABBAE，则称矩阵A是 可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A又称B的逆矩阵，简称逆阵 2性质 （1）若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的 （2）若矩阵A可逆，则|A|0 （3）若|A|0，又称A为非奇异矩阵，则矩阵A可逆，且， 其中A*为矩阵A的伴随矩阵若|A|0，称A为奇异矩阵，A不可逆 （4）A为可逆矩阵的充要条件是|A|0 3逆矩阵运算规律： （1）若A可逆，则A1也可逆，且； 00:00 / 00:00 （2）若A可逆，数0，则A可逆，且
13、 （3）若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且 ； （4）若ABE（或BAE），则BA1 六、矩阵分块法 1定义 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 2矩阵分块法 （1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有 00:00 / 00:00 其中Aij与Bij的行数相同、列数相同，则 （2）设，为数，则 （3）设A为ml矩阵，B为ln矩阵，分块成 其中Ai1，Ai2，Ait的列数分别等于B1j，B2j，Btj的行数，则 其中 （4）设，则 （5）设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，
14、其 余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即 其中Ai（i1，2，s）都是方阵，则称A为分块对角矩阵分块对 角矩阵的行列式具有下述性质 由此性质可知，若，则 ，并有 2.2配套考研真题解析 一选择题 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且，若P（ ），Q（），则Q-1AQ（）数一、数二、 数三 2012研 A B C D 【答案】B 二填空题 设矩阵与等价，则数二 2016研 【答案】2 【解析】设， 因为A和B等价，所以r（A）r（B） 由r（A）r（B）2得a2 第3章矩阵的初等变换与线性方程组视频讲解 3.1本章要点详解 本章要点 初等变换的概念与性质 矩阵之间的等价关系 初等变换
15、与矩阵乘法的关系 初等变换的应用 矩阵的秩 线性方程组的解 重难点导学 一、矩阵的初等变换 1初等变换 00:00 / 00:00 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)对调两行（对调i，j两行，记作rirj）； (2)以数k0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为rik）； (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到 第i行上，记作rikrj） 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等 行变换与初等列变换，统称为初等变换 2矩阵等价 (1)定义 若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记 作； 若矩阵A经有限次初等列变
16、换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记 作； 若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A B （2）矩阵之间的等价关系的性质 反身性AA； 对称性若AB，则BA； 传递性若AB，BC，则AC （3）矩阵的类型 两个矩阵 ， 矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵. 行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零 元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0 结论：对于任何非零矩阵Amn总可经过有限次初等行变换把它变为行阶 梯形矩阵和行最简形矩阵 标准形 矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其 余元素全为0 对于mn矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准 形 此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行 的行数所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形 状最简单的矩阵 3初等变换与矩阵乘法的关系 （1）定理 设A与B为mn矩阵，则： 的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PAB； 的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQB； AB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使
