《曲线与方程（试题部分）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲线与方程（试题部分）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、10.5曲线与方程探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题例如考向关联考点曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2021课标全国理,21,12分动点轨迹方程的求法直线与圆锥曲线的位置关系分析解读1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中的第一小问,难度适中.2.预计2021年高考试题中,求曲线的方程会有所涉及.破考点 练考向【考点集训】考点曲线与方程1.(2021浙江杭州二中期中,9)2 000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.圆锥的高为PH,AB为底面直径,顶角为2,那么不过顶点P的平面:与PH的夹角满足2
2、时,截口曲线为椭圆;与PH的夹角=时,截口曲线为抛物线;与PH的夹角满足0时,截口曲线为双曲线的一支.如图,底面内的直线AMAB,过AM的平面截圆锥所得的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时,截口曲线的短轴顶点的轨迹为() A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案D2.如图,P是圆x2+y2=4上的动点,P点在x轴上的射影是D,点M满足DM=12DP.(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形;(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.解析(1)设M(x,y),那
3、么D(x,0),由DM=12DP知P(x,2y),点P在圆x2+y2=4上,x2+4y2=4,故动点M的轨迹C的方程为x24+y2=1,且轨迹C为椭圆.(2)设E(x,y),由题意知l的斜率存在,设l:y=k(x-3),代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=24k21+4k2,y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3)=k(x1+x2)-6k=24k31+4k2-6k=-6k1+4k2.四边形OAEB为平行四边形,OE=OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=24k21+4k2,-6k1+4k2,又OE=
4、(x,y),x=24k21+4k2,y=-6k1+4k2,消去k得,x2+4y2-6x=0,由=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)0得,k215,0x83.顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=00xq.直线PB的方程:y-p=y0-px0x,化简得(y0-p)x-x0y+x0p=0,圆心(2,0)到直线PB的距离是2,|2(y0-p)+x0p|(y0-p)2+x02=2,从而4(y0-p)2+4x02=4(y0-p)2+4x0p(y0-p)+x02p2,易知x04,上式化简后,得(x0-4)p2+4y0p-4x0=0,同理,(x0-4)q2+4y0q-4x0=0,p+q=-4
5、y0x0-4,pq=-4x0x0-4,p-q=-4y0x0-42-4-4x0x0-4=4x02+y02-4x0(x0-4)2,B(x0,y0)是抛物线上的一点,y02=4x0,p-q=4x0x0-4,SBPQ=12(p-q)x0=124x02x0-4=2(x0-4)+16x0-4+832,当且仅当x0-4=16x0-4,即x0=8,y0=42时取等号,此时B(8,42).BPQ面积的最小值为32.方法2定义法求轨迹方程1.(2021浙江高考信息卷(五),21)圆M:(x+23)2+y2=64,定点N(23,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足NP=2NQ,GQNP=0.
6、(1)求点G的轨迹方程;(2)点B(0,2),A、D是曲线G上的两动点且ABDB,假设直线AD与以原点为圆心的圆总有公共点,求该圆的半径r的取值范围.解析(1)连接GN,那么|GN|=|GP|,|MP|=|MG|+|GP|=|MG|+|GN|=8,根据椭圆的定义知点G的轨迹是以M、N为焦点,长轴长为8的椭圆,即a=4,c=23,那么b2=a2-c2=4,故所求的轨迹方程是x216+y24=1.(2)设直线AB的方程是y=kx+2,那么直线BD的方程是y=-1kx+2,由y=kx+2,x216+y24=1得(1+4k2)x2+16kx=0,xA=-16k1+4k2,从而yA=2-8k21+4k2
7、,由y=-1kx+2,x216+y24=1得xD=16kk2+4,yD=2k2-8k2+4,那么kAD=yA-yDxA-xD=2-8k21+4k2-2k2-8k2+4-16k1+4k2-16kk2+4=k2-15k,直线AD的方程为y-2-8k21+4k2=k2-15kx+16k1+4k2,即y=k2-15kx-65,即直线AD过定点0,-65,为使直线AD与圆x2+y2=r2总有公共点,只需r65,即r的取值范围是65,+.2.(2021浙江嘉兴期末,21)如图,AB为半圆x2+y2=1(y0)的直径,点D,P是半圆弧上的两点,ODAB,POB=30.曲线C经过点P,且曲线C上任意一点M满足
8、|MA|+|MB|为定值.(1)求曲线C的方程;(2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E,F,求OEF面积最大时直线l的方程.解析(1)根据椭圆的定义,曲线C是以A(-1,0),B(1,0)两点为焦点的椭圆,其中2c=2,P32,12.2a=|PA|+|PB|=32+12+122+32-12+122=2+3+2-3,a2=32,b2=12,曲线C的方程为x232+y212=1.(5分)(2)当直线l的斜率不存在时,OEF不存在,所以直线l的斜率存在.设过点D的直线l的斜率为k,那么l:y=kx+1.由y=kx+1,2x2+6y2=3得(2+6k2)x2+12kx+3=0,=(12k)2-
9、4(2+6k2)3=24(3k2-1)0,k213,设E(x1,y1),F(x2,y2),x1+x2=-12k2+6k2,x1x2=32+6k2,(8分)|EF|=1+k2|x1-x2|=1+k224(3k2-1)2+6k2,(10分)又点O到直线l的距离d=11+k2,OEF的面积S=12|EF|d=6(3k2-1)2+6k2.(12分)令3k2-1=,0,那么S=1262+2=126+212622=34,当且仅当=2,即=2,也即3k2-1=2,k=1时,OEF的面积取到最大值34.此时直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.(15分)方法3相关点法求轨迹方程1.定点A(1,0)及圆x2+
10、y2=4上的两点P、Q,满足POQ=60(其中O为坐标原点),那么PAQ的重心G的轨迹方程为.答案x-132+y2=432.过椭圆x264+y236=1上一点P(-8,0)作直线交椭圆于点Q,求PQ中点的轨迹方程.解析易知P为椭圆长轴的左端点,所作直线交椭圆于P、Q两点,那么直线PQ斜率存在.设弦PQ的中点为M(x,y),弦端点P(x1,y1),Q(x2,y2),那么有9x12+16y12=576,9x22+16y22=576,两式相减得9(x12-x22)+16(y12-y22)=0,因为x1+x2=2x,y1+y2=2y,所以92x(x1-x2)+162y(y1-y2)=0,所以y1-y2x1-x2=-9x16y,又kPQ=y-0x-(-8),所以-9x16y=yx+8,化简可得9x2+72x+16y2=0(x-8).【五年高考】统一命题、省(区、
