高 等 代 数 ,开课单位：数学系,第五章小结、例题,1 二次型的矩阵表示,2 标准形,3 唯一性,4 正定二次型,主要内容,二次型,对称矩阵,标准形,对角矩阵,复 二 次 型 的 规 范 形,实 二 次 型 的 规 范 形,正惯性指数 变元个数 n,单位矩阵,正定二次型,正定矩阵,顺序主子式 全大于零,定理1,定理2,定 理 6,定理3,定理4,定理5,负定、半正定、半负定、不定二次型,1、求二次型的标准形；实、复二次型的规范形.,2、实二次型的正定性的判断；,实二次型其它类型的判断.,3、利用标准形和正定性等性质来证明有关问题.,方法：1）配方法; 2）合同变换法.,方法：1）用正定二次型的定义； 2）用非退化线性替换（或合同变换）化二次型为标准 形，从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性; 3）计算矩阵的各级顺序主子式，若全大于零，则正定.,基本题型,例1A为n级方阵，证明：,(2) A对称且对任一n维向量X, 有XAX0, 则A0.,(1) A反对称对任一n维向量X，有XAX0.,由于对任一n维向量X，有XAX0，,于是,再取n维向量,于是,故 A反对称.,任取n维向量X，,则XAX为1级方阵，于是(XAX) XAX.,又，(XAX) XAX X(A)X XAX.,所以，XAX XAX，即XAX0.,A反对称，则A A.,（2）若A对任一n维向量X，有XAX0，由（1）,A是反对称矩阵，即 A A.,又 A是对称矩阵, A A .所以，A A，,即，A0.,例2A为n级实对称矩阵，且证明：,必存在,证：因为，所以秩(A)n .,秩为n ，且 f 不是正定的.,即二次型,设 f 的正惯性指数为 p，则必有,于是存在非退化线性替换 XCY ，使,取,由于C可逆，有,且，,证法二：因为，所以A非正定.,于是存在,所以必存在,若,例3为实二次型，若有,证：由条件知，f 是不定二次型，设 f 的秩为r，,证明：必存在,则 f 可经过非退化线性替换 XCY 化成规范形,其中，,取,由于C可逆，有,且，,例4设 A 为n阶半正定矩阵，且秩(B)m,证明：BAB半正定.,证：首先(BAB) BAB BAB，,所以，BAB是 m 阶实对称矩阵.,所以齐次线性方程组 BX0，只有零解.,又秩(B)m，,任取一组不全为零的数,由于 A 为半正定，有,故，BAB半正定.,例5设 ，证明：,齐次线性方程组 AX0，只有零解AA正定.,证：首先，AA为 n 级实对称矩阵.,由于AX0，只有零解，,所以，,设，,即，不全为零.,则有，,即，,故，AA正定.,假若齐次线性方程组 AX0 有非零解，,即，,从而有，,与AA正定矛盾.,。