1 恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理 函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题 这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜感觉题型变化无常，没有一个固定的思想 方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手在此为了更好的准确地把握快速解 决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理 一、函数法 （一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数,),0()(nmxkbkxxf有： 0)( 0)( 0)( ; 0)( 0)( 0)( 0 0)( 0 0)( nf mf xf nf mf nf k mf k xf 恒成立 或恒成立 例 1 若不等式mmxx 2 12对满足22m的所有m都成立， 求x的范围 解析：将不等式化为：0)12()1( 2 xxm， 构造一次型函数：)12() 1()( 2 xmxmg 原命题等价于对满足22m的m，使0)(mg恒成立 由函数图象是一条线段，知应 0)12()1(2 0)12()1(2 0)2( 0)2( 2 2 xx xx g g 解得 2 31 2 71 x，所以x的范围是) 2 31 , 2 71 (x。
2 小结：解题的关键是将看来是解关于x的不等式问题转化为以m为变量，x为参数 的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题 练习 :(1) 若不等式01ax对2, 1x恒成立，求实数a的取值范围 （2）对于40p的一切实数，不等式34 2 pxpxx恒成立，求x的 取值范围答案：或） （二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决 对于二次函数)0(0)( 2 acbxaxxf有： （1）Rxxf在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf在0)(上恒成立00且a （3）当0a时，若,0)(在xf上恒成立 0)( 2 0 2 0)( 2 f a b a b f a b 或或 若,0)(在xf上恒成立 0)( 0)( f f （ 4）当0a时，若 ,0)(在xf 上恒成立 0)( 0)( f f 若,0)(在xf上恒成立 0)( 2 0 2 0)( 2 f a b a b f a b 或或 3 例 2 若关于x的 二次 不等式： 01) 1( 2 axaax的解集为R，求a的取值范围 . 解：由题意知，要使原不等式的解集为 R，即对一切实数x原不等式都成立 只须 0 0a 0)1(4)1( 0 2 aaa a 0123 0 2 aa a 3 1 1 0 aa a 或3 1 a. a的取值范围是 3 1 , 说明 ：1、本题若无 “二次 不等式” 的条件， 还应考虑 0a的情况， 但对本题讲0a 时式子不恒成立。
2、只有定义在R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成 失解 练习： 1、已知函数86 2 mmxmxy的定义域为R，求实数m的取值范围 （答案10m） 2、已知函数22)( 2 kxxxf在), 1(时kxf)(恒成立，求实数k的 取值范围答案13k）提示：构造一个新函数kxfxF)()(是解题的关 键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决 （三）、利用函数的最值-分离参数法或值域法 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量 ， 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解注意参数的端点值能否取到需检验 类型一： “)(xfa”型 一、 （恒成立） 4 （1）mxfDx)(,恒成立mxf min )(； （2）mxfDx)(,恒成立 max )(xfm； 二、 （能成立、有解） ： （1）mxfDx)(,能成立内有解在Dxfm)(mxf max )(； （2）mxfDx)(,能成立 内有解在Dxfm)( min )(xfm； 三、 （恰成立） （1）不等式Axf在区间D上恰成立不等式Axf的解集为D； （2）不等式Bxf在区间 D上恰成立 不等式Bxf的解集为 D. 四、 （方程有解） 方程( )mf x在某个区间上有解，只需求出( )f x在区间上的值域A使mA。
例 3：设 124 ( )lg, 3 xx a f x其中aR，如果(.1)x时，( )f x恒有意义，求a 的取值范围 解：如果(.1)x时，( )f x恒有意义0421 xx a不等式对(,1)x恒 成立 212 (22) 4 x xx x a，(.1)x恒成立 令2 x t， 2 ( )()g ttt，又(.1)x，则 1 (,) 2 t ( )ag t对 1 (,) 2 t恒成立，又( )g t在 1 ,) 2 t上为减函数， max 13 ( )() 24 tgg， 3 4 a 例 4：若关于 x的不等式 3 2 aaxx的解集不是空集，则实数 a的取值范围 解：设aaxxxf 2 )(. 则关于 x 的 不等 式3 2 aaxx的解集不是空 集 5 3)(xf在 R上能成立3)( min xf, 即3 4 4 )( 2 min aa xf，解得26aa或 例 5 不等式02 2 kkx有解，求k的取值范围 解 ： 不 等 式02 2 kkx有 解2)1( 2 xk能 成 立 1 2 2 x k能 成 立 2) 1 2 ( m a x2 x k， 所以)2,(k 例 6（2008 年上海）已知函数f( x) 2 x1 2 |x|若不等式 2 t f( 2t)+ m f( t) 0 对于 t1, 2 恒 成立，求实数m 的取值范围 解：本题可通过变量分离来解决 当1,2t时， 2 2 11 2 (2)(2)0 22 ttt tt m 即 24 (21)(21) tt m， 2 210 t ， 2 (21) t m 1,2t， 2 (21) 17, 5 t 故m的取值范围是 5,) 例 7（1990 年全国）设f x nn a n xxxxx ( )lg ()1231 ，其中 a 为实数， n 为 任意给定的自然数，且n2，如果fx( )当x(，1时有意义，求a 的取值范围 解：本题即为对于x(，1，有1210 xxxx nn a()恒成立 这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将a 分离出来，得a nn n n n xxx ()( )() () 121 2，对于x(，1恒成立 构 造 函 数g x nn n n xxx ( )()()() 121 ， 则 问 题 转 化 为 求 函 数g x( )在 x(，1上 的 值 域 ， 由 于 函 数u x k n kn x ( )() ()121，在 6 x(，1上是单调增函数， 则g x ( )在(，1 上为单调增函数于是有 g x( )的最大值为gn( )()1 1 2 1， 从而可得an 1 2 1() 如何在区间D 上求函数f(x) 的最大值或者最小值问题, 我们可以通过习题的实际, 采 取合理有效的方法进行求解, 通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的 配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x）的最值 类型二：“)(xgxf”型 恒成立。
恒成立 的图象的上方的图象恒在恒成立）（ 0)()()()()()( )()()()(,1 maxminxgxfxhDxxgxf xgxfxgxfDx 例 8 已知 f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当 x0,1 时，f(x) g (x) 恒成立， 求实数 t 的取值范围 . 解f(x) g(x)在x0,1恒 成 立 ， 即在x0,1恒 成 立 在0,1上的最大值小于或等于零. 令， . x0,1 ， F(x) 0，即 F(x) 在0,1上单调递减， F(0) 是最大值 . f(x) F(0)=1 - t 0，即 t 1. 类型三：“)( 21 xgxf”型（恒成立和能成立交叉）： 7 （1）)()(, 2121 xgxfExDx成立)()( 2min1 xgxf minmin12min1)()()()(xgxfxgxf ； 例 9 已知两个函数xxxxgkxxxf452)(,168)( 232 ，其中k为实数 （1）对任意3 , 3x，都有)()(xgxf成立，求k的取值范围； （2）存在3 , 3x，使)()(xgxf成立，求k的取值范围； （3）对任意3 ,3, 21 xx，都有)()( 21 xgxf，求k的取值范围。
解析： （1）设kxxxxfxgxh1232)()()( 23 问题转化为3, 3x时， 0)(xh恒成立，故0)( min xh令01266)( 2 xxxh，得21xx或 由9)3(,45)3(,20)2(,7) 1(khkhkhkh，故kxh45)( min 由45045kk （2）据 题 意 ： 存 在3, 3x， 使)()(xgxf成 立0)()()(xfxgxh在 3 , 3x有解，故0)( max xh，由（ 1）知7)( max kxh，于是得7k （3）分析：它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别对任意 3 , 3, 21 xx，都有)()( 21xgxf 成立，不等式的左右两端函数的自变量不同， 21,x x 的取值在3, 3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是： 3, 3,)()( minmax xxgxf， 由04106)( 2 xxxg，得 3 2 1xx或，易得21)3()( min gxg， 又kxxf8) 1(8)( 2 ，3 , 3x. 故kfxf120)3()( max ，令14121120kk 8 例 10： （2010 山东）已知函数 1 ( )ln1 a f xxax x ()aR. ( ) 当 1 2 a时，讨论( )f x的单调性； （）设 2 ( )24.g xxbx当 1 4 a时，若对任意 1 (0,2)x，存在 2 1,2x，使 12 ()()f xg x，求实数b取值范围 . 解析： ( ) 当0a时，函数( )f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增； 当 1 2 a时 12 xx，( )0h x恒成立，此时( )0fx，函数( )f x在 (0,)单调递减； 当 1 0 2 a时，函数( )fx在(0,1)单调递减， 1 (1,1) a 单调递增， 1 (1,) a 单调递减 . （）当 1 4 a时，( )f x在（ 0， 1）上是减函数，在（1，2）上是增函数， 所以对任意 1 (0,2)x，有 1 1 ()(1)- 2 f xf， 又已知存在 2 1,2x， 使 12 ()()f xg x， 所以 2 1 () 2 g x， 2 1,2x，（） 又 22 ( )()4,1,2g xxbbx 当1b时， min ( )(1)520g xgb与（）矛盾； 当 1,2b 时， 2 min ( )(1)40g xgb也与（）矛盾； 当2b时， min 117 ( )(2)84, 28 g xgbb. 综上，实数b的取值范围是 17 ,) 8 . 例 11 已知函数，若对任意x1，x2 -2,2 ，都有 f(x1) g(x2) ，求 c 的范围 . 解 因为对任意的x1，x2 -2,2 ，都有 f(x 1) g(x2)成立， f(x)max g(x)min. f (x)=x 2-2x-3 ，令 f (x) 0 得 x3 或 x-1 ；f (x) 0 得-1 x3. 9 f(x) 在 -2,-1为增函数，在 -1,2为减函数 . f( -1)=3 ，f(2)=-6， f(x)max=3. c -24. 类型四：“)()( 21 xfxfxf”型 例 12：已知函数，若对任意xR，都有f(x1) f(x) f(x2) 成立，则 |x1-x2| 的最小值为 _. 解 对任意xR，不等式f(x 1) f(x) f(x2) 恒成立， f(x。