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1、专题07 2020第七章锐角三角函数中的圆问题培优训练 班级：_姓名：_得分：_一、解答题1. 如图，AB是O的直径，半径OCAB，垂足为O，直线l为O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交O于点G，连接AC，AG，已知O的半径为3，CE=34，5BF5AD=4(I)求AE的长；(2)求cosCAG的值及CG的长【解析】(1)延长CO交O于T，过点E作EHCT于H.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明CAG=CTG，求出cosCTG即可解决问题本题考查切线
2、的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型【答案】解：(1)延长CO交O于T，过点E作EHCT于H直线l是O的切线，AEOD，OCAB，EAO=AOH=EHO=90，四边形AEHO是矩形，EH=OA=3，AE=OH，CH=EC2EH2=(34)232=5，AE=OH=CHCO=53=2(2)AE/OC，AEOC=ADDO=23，AD=25OA=65，5BF5AD=4，BF=2，OF=OBBF=1，AF=AO+OF=4，CF=OC2+OF2=32+12=10，FAC=FGB，AFC=GFB，AFCGFB
3、，AFFG=CFBF，4FG=102，FG=4105，CG=FG+CF=9105，CT是直径，CGT=90，GT=TC2CG2=62(9105)2=3105，cosCTG=TGTC=31056=1010，CAG=CTG，cosCAG=10102. 如图，ABC中，AC为O的直径，点D在BC上，AC=CD，ACB=2BAD(1)求证：AB与O相切；(2)连接OD，若tanB=34，求tanADO【解析】(1)设线段AD与O交于E，连接CE，根据圆周角定理得到CEAD，求得ACE=DAB，于是得到结论；(2)根据切线的性质得到CAB=90，延长CE交AB于M，则CM为AD的垂直平分线，连接DM，根
4、据全等三角形的性质得到CDM=CAB=90，设AM=MD=3a，DB=4a，MB=5a，得到AB=8a，AC=6a，设EN=k，得到AE=DE=2k，CE=4k，过O作ONAD于N，根据三角形的中位线定理得到ON=12CE=2k，AN=12AE=k，于是得到结论本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键【答案】(1)证明：设线段AD与O交于E，连接CE，AC为O的直径，CEAD，AC=CD，ACD=2ACE，ACB=2BAD，ACE=DAB，CAE=90，CAE+DAB=90，CAB=90，AB与O相切；(2)解
5、：AB与O相切，CAB=90，延长CE交AB于M，则CM为AD的垂直平分线，连接DM，DM=AM，AC=CD，CM=CM，ACMDCM(SSS)，CDM=CAB=90，BDM=90，tanB=34，设AM=MD=3a，DB=4a，MB=5a，AB=8a，AC=6a，tanACM=tanEAM=12，CE=2AE，AE=2EM，设EN=k，AE=DE=2k，CE=4k，过O作ONAD于N，ON/CE，ON=12CE=2k，AN=12AE=k，DN=3AN=3k，tanADO=ONDN=233. 定义：过三角形的一个顶点作该三角形的高线和角平分线，这两条线段所夹的角称为该三角形的珍珠角(1)如图1
6、，DAE是ABC的珍珠角，B=，C=，请用和表示DAE(2)如图2，ABC中，BACBC，以AC为直径作O交BC于点D，点F在DC上，AF交DC于点E，FDC=BAE.求证：DAE是ABC的珍珠角(3)在(2)的条件下，如图3，连结OD交AE于点G，OG=12DC，cosBAD=tanC求证：OG=12AB；若BC=8，GF=1，求tanDAE的值【解析】本题考查了新定义，圆周角定理，三角形综合题(1)利用珍珠角的定义解答即可；(2)利用圆周角定理，结合珍珠角的定义解答即可；(3)利用锐角三角函数可得到ADAB=ADDC，从而得到AB=DC，问题即可得证；在DC上截取DH=DB，连结AH，OF
7、，易证ADBADH，进而得到OG=12AH，HAC=AHBC=BC，再证明OGFAHC，进而得到DCBD=2，结合DC+BD=8，求出DC=5，BD=3，AB=5，利用勾股定理可得到AD=4，设DE=x，则AE=EC=5-x，在RtADE中，利用勾股定理可得到DE的值，问题即可得证【答案】解：(1)AE是ABC的角平分线，BAE=CAE，即BAD+DAE=DACDAE，2DAE=DAC-BAD，AD是ABC的高，ADBC，2DAE=BC，B=，C=，2DAE=，DAE=1212；(2)AC为O的直径，AD是ABC的高，FDC=BAE，FDC=EAC，BAE=EAC，AE是ABC的角平分线，DA
8、E是ABC的珍珠角；(3)在RtABD中，cosBAD=ADAB，在RtADC中，tanC=ADDC，cosBAD=tanC，ADAB=ADDC，AB=DC，OG=12DC，OG=12AB；如图3，在DC上截取DH=DB，连结AH，OF在ADB和ADH中，AD=AD,ADB=ADH,DB=DH, ADBADHASA，AB=AH，B=AHB，OG=12AH，HAC=AHBC=BC，DAE=12(BC)，HAC=2DAE，GOF=2DAE，GOF=HACOG=12AH，OF=12AC，OGAH=OFAC=12，OGFAHC，GFHC=OFAC=12，OFG=C，HC=2GF=2，即DCBD=2，B
9、C=8，DC+BD=8，DC=5，BD=3，AB=5，在RtABD中，由勾股定理得，AD=AB2BD2=4OA=OF，OFG=EAC，OFG=C，EAC=C，AE=EC，设DE=x，则AE=EC=5-x，在RtADE中，由勾股定理得，AD2+DE2=AE2，16+x2=(5x)2，x=910，DE=910，tanDAE=DEAD=940.4. 如图，已知PB与O相切于点B，A是O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB(1)求证：直线PA是O的切线；(2)求证：点D是PAB的内心；若PA=13，sinAPE=513，求DE的长；(3)已知
10、CDAE=433，求tanC【解析】本题考查圆的综合题，涉及到三角形的内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，以及圆周角定理，难度较大(1)连接OA，利用PAOPBO和切线的性质进行证明即可；(2)利用全等三角形的性质和垂径定理得到DAB=ACD，再根据相似三角形的性质得到AD平分PAB即可；利用三角形的内心和等面积法求出内切圆的半径即可；(3)利用勾股定理和锐角三角函数进行计算即可【答案】证明：如图，连接AO，PB与O相切于点B，PBO=90，在PAO和PBO中，AP=BPPO=POAO=BO, PAOPBO，PAO=PBO=90，AO是O的半径，直线PA是O
11、的切线；(2)PAOPBO，APO=BPO，PE平分BPA，PA=PB，AE=BE，AD=BD，DAB=ACD，AP2=PDPC，APPC=PDAP，APD=CPA，APDCPA，PAD=ACD，PAD=DAB，AD平分PAB，点D是PAB的内心；由得DE即为PAB内切圆的半径，由RtAPE中，PA=13，AE=5，PE=PA2AE2=12，AB=10，DE=r=2SPABCPAB=103；(3)CDAE=433，设CD=43，AE=3，OA=12CD=23，在RtAEO中，OE=OA2AE2=3，CE=OE+OC=33，tanC=AECE=333=335. 如图，在ABC中，AB=AC，AD
12、BC于点D，过点C作O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为O的直径(1)求证：ODCE；(2)若DF=1，DC=3，求AE的长【解析】(1)O与边AB相切于点E，且CE为O的直径，得到CEAB，由等腰三角形的性质三线合一得到BD=DC，根据三角形的中位线的性质得到结论；(2)连接EF，由CE为O的直径，且点F在O上，得到EFC=90，又因为CEAB，得到BEF+FEC=FEC+ECF=90，推出BEF=ECF，于是得到tanBEF=tanECF，得到等积式BFEF=EFFC，求得EF=22，由勾股定理得BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角
13、形函数，勾股定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键【答案】解：(1)O与边AB相切于点E，且CE为O的直径，CEAB，AB=AC，ADBC，BD=DC，又OE=OC，OD/EB，ODCE；(2)连接EF，CE为O的直径，且点F在O上，EFC=90，CEAB，BEC=90BEF+FEC=FEC+ECF=90，BEF=ECF，tanBEF=tanECF BFEF=EFFC，又DF=1，BD=DC=3，BF=2，FC=4，EF=22，EFC=90，BFE=90，由勾股定理，得BE=BF2+EF2=23，EF/AD，BEEA=BFFD=21，AE=36. 如图，在RtABC中，BAC=90，以AB为边在RtABC外部作等边ABD，AE为ABC的中线，连接DE交AB与点O，O与AE相切于点F(1)求证：
