《专题07 二次函数中平行四边形问题培优训练（一）（解析版）九下数学专题培优训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07 二次函数中平行四边形问题培优训练（一）（解析版）九下数学专题培优训练（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题07 二次函数中的平行四边形问题培优训练（一） 班级：_姓名：_得分：_一、解答题1. 已知抛物线y=-14x2+bx+c经过点A(4,3)，顶点为B，对称轴是直线x=2(1)求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；(2)如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作ADx轴于点D，E是线段AC上的动点(点E不与A，C两点重合)；(i)若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；(ii)如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由【分析】(1)由题意得出-1442+
2、4b+c=3-b2(-14)=2，解得b=1c=3，得出抛物线的函数表达式为：y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4，即可得出顶点B的坐标为(2,4)；(2)(i)求出C(0,3)，设点E的坐标为(m,3)，求出直线BE的函数表达式为：y=-1m-2x+4m-6m-2，则点M的坐标为(4m-6,0)，由题意得出OC=3，AC=4，OM=4m-6，CE=m，则S矩形ACOD=12，S梯形ECOM=15m-182，分两种情况求出m的值即可；(ii)过点F作FNAC于N，则NF/CG，设点F的坐标为：(a,-14a2+a+3)，则NF=3-(-14a2+a+3)=14a2-a，NC=-a，证
3、EFNDGO(ASA)，得出NE=OD=AC=4，则AE=NC=-a，证ENFDAE，得出NEAD=NFAE，求出a=-43或0，当a=0时，点E与点A重合，舍去，得出AE=NC=-a=43，即可得出结论本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型【解答】解：(1)抛物线y=-14x2+bx+c经过点A(4,3)，对称轴是直线x=2，-1442+4b+c=3-b2(-14)=2，解得：b=1c=3，抛物线的函数表达式为
4、：y=-14x2+x+3，y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4，顶点B的坐标为(2,4)；(2)(i)y=-14x2+x+3，x=0时，y=3，则C点的坐标为(0,3)，A(4,3)，AC/OD，ADx，四边形ACOD是矩形，设点E的坐标为(m,3)，直线BE的函数表达式为：y=kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：则2k+n=4mk+n=3，解得：k=-1m-2n=4m-6m-2，直线BE的函数表达式为：y=-1m-2x+4m-6m-2，令y=-1m-2x+4m-6m-2=0，则x=4m-6，点M的坐标为(4m-6,0)，直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，点
5、M在线段OD上，点M不与点O重合，C(0,3)，A(4,3)，M(4m-6,0)，E(m,3)，OC=3，AC=4，OM=4m-6，CE=m，S矩形ACOD=OCAC=34=12，S梯形ECOM=12(OM+EC)OC=12(4m-6+m)3=15m-182，分两种情况：S梯形ECOMS矩形ACOD=14，即15m-18212=14，解得：m=85，点E的坐标为：(85,3)；S梯形ECOMS矩形ACOD=34，即15m-18212=34，解得：m=125，点E的坐标为：(125,3)；综上所述，点E的坐标为：(85,3)或(125,3)；(ii)存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；
6、理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，过点F作FNAC于N，则NF/CG，如图2所示：设点F的坐标为：(a,-14a2+a+3)，则NF=3-(-14a2+a+3)=14a2-a，NC=-a，四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，DAE=DEF=N=90，EF=DG，EF/DG，AC/OD，NEF=ODG，EMC=DGO，NF/CG，EMC=EFN，EFN=DGO，在EFN和DGO中，NEF=ODGEF=DGEFN=DGO，EFNDGO(ASA)，NE=OD=AC=4，AC-CE=NE-CE，即AE=NC=-a，DAE=DEF=N=90，NEF+EFN=90，NEF+D
7、EA=90，EFN=DEA，ENFDAE，NEAD=NFAE，即43=14a2-a-a，整理得：34a2+a=0，解得：a=-43或0，当a=0时，点E与点A重合，a=0舍去，AE=NC=-a=43，当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为432. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a0)经过点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长连接PB，PC，求PBC的面积最大时点P的坐标(3)设抛物线的对
8、称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】本题考查了二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质等，属于难题(1)根据已知抛物线y=ax2+bx+3(a0)经过点A(1,0)和点B(3,0)代入即可求解；(2)先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的式子表示出P和D的坐标进而求解；用含m的代数式表示出PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；(3)根据(1)中所得二次函数图象和对称轴先
9、得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标【解答】解：(1)抛物线y=ax2+bx+3(a0)经过点A(1,0)和点B(3,0)，a+b+3=09a+3b+3=0，解得a=1b=-4，抛物线解析式为y=x2-4x+3；(2)如图：设P(m,m2-4m+3)，令x=0，则y=a02+b0+3=3，则C(0,3)，将点B(3,0)、C(0,3)代入得直线BC解析式为yBC=-x+3过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，D(m,-m+3)，PD=(-m+3)-(m2-4m+3)=-m2+3m故用含m的代数式表示线段PD的长为-m2+3mSPBC=SCPD+SBPD =12OBPD=-32m2+92m
10、 =-32(m-32)2+278当m=32时，S有最大值当m=32时，m2-4m+3=-34P(32,-34)，故PBC的面积最大时点P的坐标为(32,-34).(3)存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形抛物线对称轴为x=-42=2，根据题意，点E(2,1)，EF=CF=2，EC=22，根据菱形的四条边相等，ME=EC=22，M(2,1-22)或(2,1+22)当EM=EF=2时，M(2,3)故点M的坐标为M1(2,3)，M2(2,1-22)，M3(2,1+22).3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0)，B(0,-4)，C(2,0)三点 (1)
11、求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ/OB)，直接写出相应的点Q的坐标【分析】此题考查了二次函数综合题，待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形性质，三角形及梯形的面积求法，以及二次函数的性质有关知识(1)根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的解析式方程，将B坐标代入即可确定出解析式；(2)过M作x轴垂线MN，三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三
12、角形AOB面积，求出即可；(3)根据题意设p(a,12a2+a-4)，则Q(a,-a)，分两种情况分别讨论即可求得【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-2)，将B(0,-4)代入得：-4=-8a，即a=12，则抛物线解析式为y=12(x+4)(x-2)=12x2+x-4；(2)过M作MNx轴，将x=m代入抛物线得：y=12m2+m-4，即M(m,12m2+m-4)，MN=|12m2+m-4|=-12m2-m+4，ON=-m，A(-4,0)，B(0,-4)，OA=OB=4，AMB的面积为S=SAMN+S梯形MNOB-SAOB=12(4+m)(-12m2-m+4)+12(-m)(
13、-12m2-m+4+4)-1244 =2(-12m2-m+4)-2m-8 =-m2-4m =-(m+2)2+4，当m=-2时，S取得最大值，最大值为4；(3)如果使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ/AB)，则PQ=OB，设p(a,12a2+a-4)，则Q(a,-a)，如图，当点P在点Q上面时，则12a2+a-4-(-a)=4，解得a=-2+25或a=-2-25，Q(-2+25,2-25)或(-2-25,2+25).当点Q在点P上面时，-a-(12a2+a-4)=4，解得a=0或a=-4，Q(-4,4)；综上，有三个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，相应
14、的点Q的坐标为(-4,4)或(-2+25,2-25)或(-2-25,2+25).4. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(4,0)，另一点为A，且与y轴交于点C(0,4)(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN/y轴交直线BC于点N，当MN的值最大时，求BMN的周长；(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设CBPQ的面积为S1，ABN的面积为S2，且S1=4S2，求点P的坐标【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数的极值，三角形的周长，三角形的面积，方程组的求解，解本题的关键是建立MN的函数关系式(1)直接用待定系数法求出直线和抛物线解析式；(2)先求出最大的MN，再求出M，N坐标即可求出周长；(3)先求出ABN的面积，进而得出平行四边形CBPQ的面积，从而求出BD，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，连接CQ，则四边形CBPQ为平行四边形求出点B、E坐标，根据直线PQ的解析式联立方程组求解即可【解答】解：(1)设直线BC的解析式为y=mx+n，将B(4,0)，C(0,4)两点的
