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1、习 题,守恒定律,守恒定律,习题总目录,3-1,3-2,3-3,3-4,3-5,3-6,3-7,3-8,3-9,3-10,3-11,3-12,3-13,3-14,3-15,3-16,3-17,3-18,3-19,3-20,3-21,3-22,3-23,3-24,3-25,3-26,3-27,3-28,3-29,3-30,守恒定律习题,习题总目录,3-1 有一保守力 F = (-AxBx2) i，沿 x 轴作用于质点上，式中A、B 为常量，x 以m 计，F 以 N计。 （1）取 x =0 时EP = 0，试计算与此力相 应的势能； （2）求质点从x = 2m运动到 x =3m时势 能的变化。,目
2、录,结束,目录,结束,目录,结束,（1）此质点作的是什么运动？其轨这方 程怎样?,当A点 (a,0) t = 0，,目录,结束,当B点 (0,b) t = T/4，,目录,结束,两分力的功和路径无关，是一恒量。 所以有心力为保守力。,目录,结束,3-3 一根原长 l0 的弹簧，当下端悬挂质 量为m的重物时，弹簧长l = 2l0 。现将弹簧 一端悬挂在竖直放置的圆环上端A点。设环 的半径R=l0把弹簧另一端所挂重物放在光滑 圆环的B点，如图所示。已知AB长为1.6R。 当重物在B无初速地沿圆环滑动时，试求： （1）重物在B点的加 速度和对圆环的正压力； （2）重物滑到最低点 C 时的加速度和对圆
3、环 的正压力。,目录,结束,= 9.80.6=5.88m/s2,解：,目录,结束,系统机械能守恒，选C点为零势能点。,目录,结束,3-4 一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它 伸长的反方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。 （1）试求把弹簧从x=0.50拉长到 x =1.00 时，外力克服弹簧力所作的功。 （2）将弹簧的一端固定，在另一端栓一质 量为 2.17 kg 的物体 ，然 后 把 弹 簧 拉到 x =1.00,开始无初速地释放物体，试求弹簧 缩回到x=0.5。时物体的速率。,目录,结束,目录,结束,3-5 一质点沿 x 轴运动，势能为EP (x)， 总能量为 E 恒定不变，开始
4、时静止于原点， 试证明当质点到达坐标 x 处所经历的时间 为:,目录,结束,解：,目录,结束,3-6 一双原子分子的势能函数为,式中 r 为二原子间的距离，试证明： （1）r0 为分子势能极小时的原子间距； （2）分子势能的极小值为-E。 （3）当EP (r) = 0时，原子间距为 （4）画出势能曲线简图,目录,结束,由分子势能极小值的条件,目录,结束,目录,结束,3-7 小球的质量为m，沿着咙沿的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图。 （1）要使小球沿四形轨道运动一周而不脱离轨道，问小球至少应从多高的地方H 滑下？ （2）小球在圆圈的最高点A受到哪几个力 的作用。 （3）如果小球由 H =2R的高处
5、滑下， 小球的运动将如何？,目录,结束,以A为参考点,目录,结束,由(1)(2)得：,(2)小球在A点受重力及轨道对小球的正 压力作用。,(3)小球将不能到达A点。,目录,结束,3-8 一弹簧，原长为l0，劲度系数为 k上端 固定，下端挂一质量为m的物体，先用手托 住，使弹簧不伸长。 （1）如将物体托住馒慢放下，达静止（平 衡位置）时，弹簧的最大伸长和弹性力是多 少？ （2）如将物体突然放手，物体到达最低位 置时，弹簧的伸长和弹性力各是多少？物体 经过平衡位置时的速度是多少？,目录,结束,(2)若将物体突然释放到最大位置，选最 低点为参考点。由机械能守恒，得：,选平衡位置为参考点，由机械能守恒
6、，得：,目录,结束,目录,结束,3-9 一小船质量为100kg，船头到船尾共 长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走 到船头时，船头将移动多少距离？假定水的 阻力不计。,目录,结束,目录,结束,3-10 如图，一浮吊，质量M =20t，由岸 上吊起m =2t的重物后，再将吊杆0A与竖直 方向间的夹角由600转到300。设杆长l = OA =8m，水的阻力与杆重忽略不汁，求浮 吊在水平方向移动的 距离，并指明朝那边 移动。,目录,结束,解：由动量守恒,目录,结束,3-11 一炮弹，竖直向上发射，初速度为 v0，在发射后经 t s在空中自动爆炸，假定分 成质量相同的 A、B、C 三块碎片。其
7、中 A 块的速度为零；B、C 二块的速度大小相同， 且B 块速度方向与水平成角，求B、C两 碎块的速度（大小和方向）。,目录,结束,解：设碎片C与水平方向成角,爆炸前后系统的动量守恒，得：,代入上式，得：,解得：,目录,结束,3-12 质量为 7.2010-23 kg、速度为 6.0107m/s的粒子A，与另一个质量为其 一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹 性碰憧，碰撞后粒子A的速率为5107m/s， 求： （1）粒于B的速率及偏转角； （2）粒子A的偏转角）。,目录,结束,=2(6.0107)2-(5107)2,=221014,v2= 4.69107m/s,目录,结束,(2)系统动量守恒
8、,目录,结束,目录,结束,3-13 一质量为m 的中子与一质量为 M 的 原子核作弹性碰撞，如中子的初始动能为E0， 试证明在碰擅过程中中子动能损失的最大值 为 4mME0/(M+m)2。,目录,结束,在对心碰撞时:,目录,结束,3-14 地面上竖直安放着一个劲度系数为 k 的弹簧，其顶端连接一静止的质量 M。有 个质量为m 的物体，从距离顶端为A 处自由 落下，与M 作完全非弹性碰撞。求证弹簧对 地面的最大压为：,目录,结束,解：选O点为零势能点,从平衡位置A 到最大位移 B 过程中机械能守恒，得：,目录,结束,弹簧对地面的最大正压力N 为：,目录,结束,3-15 一个球从h高处自由落下，掉
9、在地 板上。设球与地板碰撞的恢复系数为e 。 试证： （1）该球停止回跳需经过的时间为:,（2）在上述时间内，球经过的路程是:,目录,结束,设第一次反弹的高度为h1,设来回一次的时间为:,目录,结束,设第二次反弹的高度为h2 ,同理有:,依次类推,目录,结束,目录,结束,目录,结束,3-16 一电梯以1.5ms匀速上升，一静 止于地上的观察者自某点将球自由释放。释 放处比电梯的底板高 6.4m。球和地板间的 恢复系数为 0.5。问球第一次回跳的最高点 离释放处有多少距离？,目录,结束,解:当球与底版碰撞时,目录,结束,目录,结束,3-17 如图是一种测定子弹速度的方法。 子弹说平地射入一端固定
10、在弹簧上的木快内， 由弹簧压缩的距离求出子弹的速度。已知子 弹质量是0.02kg木块质量是8.98kg。弹簧 的劲度系数是100N/m，子弹射人木块后， 弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的动摩 擦系数为0.2，求子弹的速度。,目录,结束,解:由系统动量守恒得：,目录,结束,由功能原理:,目录,结束,3-18 一质量为 m的铁块静止在质量为M 的劈尖上 ，劈尖本身又静止在水平桌面上 。 设所有接触都是光滑的。当铁块位于高出桌 面h 处时，这个铁块-劈尖系统由静止开始运 动。当铁块落到桌面上时，劈尖的速度有多 大？劈尖与地面的夹角为。,目录,结束,解：设铁块相对劈尖的 滑行速度为 v,由动量守恒
11、得：,由机械能守恒得：,目录,结束,将(1)代入(2)经整理后得：,目录,结束,3-19 在图示系统中，两个摆球并列悬 挂，其中摆球 A质量为 m1= 0.4kg，摆球 B 的质量为 m2 = 0.5kg。摆线竖直时人和 B 刚好相接触。现将 A拉过1= 400 后释 放，当它和 B 碰撞后恰好静止。求： （1）当B再次与A相碰后，A能摆升的 最高位置2； （2）碰憧的恢复系数。,目录,结束,解：(1)设摆长为 l,由机械能守恒：,碰撞过程动量守恒。由题意：,目录,结束,目录,结束,由机械能守恒：,目录,结束,3-20 质量为 m1与 m2的两个物体 1和 2可 沿光滑表面 PQR 滑动（如图
12、）。开始，将物体 1压紧弹簧（它与弹簧未联接），然后放手，让 物体1与静止放在 Q处的物体 2作弹性碰撞，假 定弹簧的劲度系数为 k,开始压缩的距离为x0。 (1) 如m1m2，问碰擅后物体1能再将弹簧 压缩多大距离 x ? (2)如m1=m2，x又为多少？ (3)如仍为m1m2，而物体2到达R时恰好 停止，问原来压缩弹簧的距离x0为多少？,目录,结束,解：运动过程中， 动量守恒，机械能守恒 取O点为平衡位置， 当弹簧被压缩 x0时：,设碰撞后两物体速度分别为v1,v2 。 由完全弹性碰撞公式：,目录,结束,设m1返回后将弹簧压缩 x , 由机械能守恒,代入弹性碰撞公式，得：,目录,结束,代入
13、弹性碰撞公式，得：,目录,结束,3-21 如图所示，A、B两木块，质量各为 mA与 mB，由弹簧联接，开始静止于水平光 滑的桌面上，现将两木块拉开(弹簧被拉长)， 然后由静止释放，求两木块的动能之比。,目录,结束,解：系统的动量守恒,目录,结束,3-22 一质量为m的球，从质量为M的圆 弧形槽中自静止滑下，设圆弧形槽的半径为 R（如图）。若所有摩擦都可忽略，求小球 刚离开圆弧形槽时，小球和木块的速度各是 多少？,目录,结束,解：设m 刚离开圆弧轨道时的速度为 v,M 的速度为V,整个过程机械能守恒,动量守恒,目录,结束,3-23 图中所示是大型蒸气打桩机示意图， 铁塔高40m，锤的质量10 t
14、，现将长达38.5 m的钢筋混凝土桩打入地层。已知桩的质量 为24 t其横截面为0.25m2的正方形，桩的侧 面单位面积所受的泥土阻力为k =2.65104 Nm2。 （1）桩依靠自重能下沉多深？ （2）桩稳定后把锤提高1m，然后让锤自由 下落而击桩。假定锤与桩发生完全非弹性碰 撞，一锤能打下多深？ （3）当桩已下沉35m时，一锤又能打下多 深？假定此时锤与桩的碰撞不是完全非弹性 碰撞，而是锤在击桩后要反跳5cm。,目录,结束,目录,结束,s = 40.5 = 2m,解：(1)设桩周长为s,当桩下沉 y 时，阻力为：,由功能原理：,目录,结束,(2)设锤击桩后再下沉深度为 d , 由机械能守恒
15、：,打击瞬间动量守恒,得到：,目录,结束,2.65d2+13.74d-2.88=0,对于下沉过程应用功能原理(当桩下沉 d 时作为零势能点,即 E2 =0 )。,由上两式并代入数字化简后得：,目录,结束,目录,结束,设桩碰撞后下沉的距离为d1, 由功能原理：,代入有关数字化简后得：,目录,结束,3-24火箭起飞时，从尾部喷出的气体的 速度为3000 m/s，每秒喷出的气体质量为 600kg。若火箭的质量为 50 t求火箭得到的 加速度。,目录,结束,目录,结束,3-25 电子质量为910-31 kg，在半径为 5.310-11 m的圆周上绕氢核作匀速运动， 已知电子的角动量为h/2，求它的角速
16、度。,目录,结束,解：电子的角动量为：,目录,结束,3-26 试证质点在有心力场中运动时，在 相等的时间内，它对力心的位矢在空间扫过 相等的面积。,目录,结束,解：质点在有心力场中运动时角动量守恒， 所以有：,目录,结束,3-27 当地球处于远日点时，到太阳的距 离为1.521011m，轨道速度为2.93104 m/s，半年后，地球处于近日点，到太阳的 距离为1.471011m。求： （1）地球在近日点时的轨道速度； （2）两种情况下，地球的角速度。,目录,结束,解：由角动量守恒,目录,结束,3-28 一质量为m的宇宙飞船绕行星作圆 周运动，圆的半径为R0 ，速率为v0；因火箭 爆发，给飞船增加了向外的径向速度分量 vr(v0)于是它的轨迹成为椭圆， （1）试证引力可写成：,（2）试用R0、v0以及vr，写出椭圆方程。,目录,结束,证：(1)由万有引力,代入(1)式得：,(2)已知椭圆方程为：,目录,结束,目录,结束,3-29 一质量为m0以速率v0 运动的粒子， 碰到一质量为2m0静止的子。结果，质量为 m0的粒于偏转了450，并具有未速v0/2。 求质量为2m0的粒子偏转后的速率和
