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1、1.1回归分析的基本思想及初步应用,必修3(第二章 统计)知识结构,收集数据 (随机抽样),整理、分析数据估计、推断,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体数字特征,线性回归分析,回顾复习,1、两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？,相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。,回顾复习,思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系,
2、函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况,问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻画之间的关系呢？,2、最小二乘估计,最小二乘估计下的线性回归方程：,回归直线必过样本点的中心,3、回归分析的基本步骤:,画散点图,求回归方程,预报、决策,这种方法称为回归分析.,回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的一种常用方法.,比数学3中“回归”增加的内容,数学统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,选修1-2统计案例 引入线性回归模型 ybxae 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型
3、拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,自学指导,1：结合例1得出线性回归模型及随机误差，并且区分函数模型和回归模型。,2：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,3：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？,4：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？,5：归纳建立回归模型的基本步骤。,阅读课本1页6页思考回答下列问题,（注意：时间12分钟）,问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数模型和回归模型。,解：1、选取身高为自变量x，体重
4、为因变量y，作散点图：,2.回归方程：,由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：,其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.,思考：函数模型与“回归模型”的关系的区别,函数模型：因变量y完全由自变量x确定 回归模型： 预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定,(1)所用非确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。,思考:产生随机误差项e的原因是什么？,问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,结合例1除了身高影响体重外的其他因素是不可测量
5、的，不能希望有某种方法获取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模型的评价极为有用，因此在此我们引入残差概念。,e=y-(bx+a),问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？,法一：我们可以通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。,残差图的制作和作用： 制作：坐标纵轴为残差变量， 横轴可以有不同的选择.可以为编号；可以为解释变量,作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中 的点应该分布在以横轴为中心的水平带状区域.,下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数
6、据。,残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,
7、在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量 和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通 过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,注：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模 型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,法二：我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是,从上中可以看出，解释变量对总效应约贡献了64%，即 R2 0.64，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化”，而随 机误差贡献了剩余的36%。 所以，身高对体
8、重的效应比随机误差的效应大得多。,下面我们用相关指数分析一下例1：,；,问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？,1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。 2.我们建立的回归方程一般都有时间性。 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则 选用线性回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则（如最小二
9、乘法）估计回归方程中的参数。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），如存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,问题五：归纳建立回归模型的基本步骤,相关指数越大，效果越好,残差平方和越小，效果越好,小结,1.残差平方和与模型拟合效果关系：,2.相关指数与模型拟合效果关系,第一章统计案例 1.1回归分析的基本思想及 其初步应用,【自主预习】 1.回归分析 (1)概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的一种常用方法. (2)步骤：画_求_用回归方程进行 _.,散点图,回归方程,预报,2.线性回归模型 (1)在线性回归方程
10、 = + x中， =_ =_， =_，其中 =_， =_， ( ， )称为变量_，回归 直线过样本点的中心.,样本点的中心,(2)线性回归模型y=bx+a+e，其中e称为_， 自变量x称为_变量，因变量y称为_变量.,随机误差,解释,预报,3.刻画回归效果的方式,残差,样本,编号,身高数据,体重估计值,越窄,越小,解释,预报,【即时小测】 1.对于两个变量x，y，若当x取一定值时，y的取值 具有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系 叫做() A.函数关系B.线性相关 C.相关关系D.回归分析 【解析】选C.根据相关关系的定义知选C.,2.散点图在回归分析过程中的作用是() A.统计个体个
11、数 B.比较个体数据的大小 C.研究个体分类 D.粗略判断变量是否线性相关 【解析】选D.根据散点图的意义及作用知选D.,3.在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是() A.模型1的相关指数R2=0.98 B.模型2的相关指数R2=0.80 C.模型3的相关指数R2=0.50 D.模型4的相关指数R2=0.25,【解析】选A.因为回归模型的相关指数R2的值越大，拟合效果越好.,4.已知回归方程 =2x+1，而试验得到一组数据是(2， 4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和等于 _. 【解析】(4.9-5)2+
12、(7.1-7)2+(9.1-9)2=0.03. 答案：0.03,【知识探究】 探究点1线性回归分析 1.相关关系是确定性关系吗？ 提示：相关关系是一种不确定性的关系.,2.具有线性相关关系的两个变量，其散点图具有什么特征？ 提示：散点图中的点大部分分布在一个带形区域内.即分布在某条直线的附近.,【归纳总结】 对回归分析的三点说明 (1)回归分析的前提是两个变量之间具有相关关系. (2)对两个变量之间数量变化进行一般关系的测定，确定一个相应的数学表达式，即线性回归方程，达到由一个已知量推测或控制另一个变量的值的目标，是统计的一个重要方法.,(3)线性回归方程是根据样本数据得到的一个确定性的函数关
13、系，是用来对未知变量进行预测的，为了预测的效果更好，减小误差，应在求线性回归方程时尽量多地选取样本，选择代表性较强的样本，使得预测值尽量地接近真实值.,特别提醒：在对两个变量进行线性回归分析时，要首先结合观察数据画出散点图，确定它们之间具有线性相关关系后，再进行线性回归分析.,探究点2非线性回归分析 1.如何评价回归模型拟合效果的优劣？ 提示：计算相关指数R2的值.R2越接近于1效果就越好. 2.对于非线性回归模型，如何处理？ 提示：对于非线性回归模型可转化为线性回归模型来研究.,【归纳总结】 1.数据拟合效果的比较 对于给定的样本点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，两个含有未知
14、参数的模型,(1) 和 (2) 其中a和b都是未知参数，可以 按如下的步骤来比较它们的拟合效果：,分别建立对应于两个模型的回归方程 =f(x， ) 与 =g(x， )，其中 和 分别是参数a和b的估计值. 分别计算模型(1)和模型(2)的R12，R22. 若R12R22，则模型(1)的拟合效果比模型(2)好；若 R12R22，则模型(1)的拟合效果不如模型(2).,2.常见的几种变形形式 (1)幂函数曲线y=axb. 两边取对数变形为lny=lna+blnx，令y=lny. x=lnx，a=lna，从而得到y=a+bx.,(2)指数函数曲线y=aeb x. 两边取对数变形为lny=lna+bx
15、，令y=lny，a=lna，从而得到y=a+bx.,(3)负指数函数曲线y= 两边取对数变形为lny=lna+ ，令y=lny， x= ，a=lna，得y=a+bx. (4)对数函数曲线y=a+blnx. 令x=lnx，得y=a+bx.,类型一线性回归模型 【典例】1.(20GG东营高二检测)有下列说法：线 性回归分析就是由样本点去寻找一条直线方程，刻画 这些样本点之间的关系的数学方法；利用样本点的 散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性,相关表示；通过线性回归方程 及其回归系 数 ，可以估计和预报变量的取值和变化趋势；因 为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程， 所以没有必要进
16、行相关性检验.其中正确说法的个数 是() A.1B.2C.3D.4,2.(20GG湖北高考)根据如下样本数据 得到的回归方程为 ，则(),3.某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： (1)画出散点图. (2)求y关于x的回归方程.,【解题探究】1.典例1中，给定两个变量的一组样本点数据，都能进行线性回归分析吗？ 提示：不是，只有当它们具有线性相关关系时，才能进行线性回归分析，否则没有意义.,2.典例2中，回归直线方程中， ， 的几何意义是什 么？ 提示： 是回归直线的斜率. 是回归直线在y轴上的 截距.,3.典例3中，画散点图的目的是什么？如何求关于x的回归直线方程？ 提示：画散点图的目的是分析变量x，y之间是否存在线性相关关系；利用最小二乘法求y关于x的回归直线方程.,【解析】1.选C.反映的是最小二乘法思想，是正确 的；反映的是散点图的作用，是正确的；反映的 是求线性回归方程 的目的，也是正确的； 不正确，在求回归方程之前，必须进行相关性检验， 以体现变量的相关关系.故有3个正确说法.,2.选A.由散点图及 ， 的意义知A正确. 3.(
