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1、第 1 页 共 11 页 2020 届衡水中学高三期中考试 数学（文科）试卷 第卷（ 选择题共 60 分） 一、选择题（每小题5分，共 60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确 答案的序号填涂在答题卡上） 1. 复数 32 1 i zi i （i为虚数单位）的共轭复数为（） A12i B12i C1i D1i 2. 已知集合0,1A， ,Bz zxy xA yA，则B的子集个数为（） A8 B3 C4 D7 3. 已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)abmm vv ，且平面内的任一向量c v 都 可以唯一的表示成cab vvv （,为实数），则m的取值范围是（） A
2、(,2) B(2,) C (,) D(,2)(2,)U 4. 将函数3sincosfxxx的图象向左平移m个单位(0)m，若所得图象对应的函 数为偶函数，则m的最小值是（） A 2 3 B 3 C 8 D 5 6 5. 已知等比数列 n a中， 346 2,16aa a，则 1012 68 aa aa 的值为（） A2 B4 C8 D 16 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A 3 27 2 B 3 18 2 C273 D183 第 2 页 共 11 页 7. 如图，偶函数( )f x的图象如字母M，奇函数( )g x的图象如字母N，若方程 ( )0f g x，(
3、)0g fx的实根个数分别为m、n，则mn（） A12 B 18 C16 D14 8. 函数2)( 1x axf)1,0(aa的图象恒过定点A，若点A在直线01nymx 上，其中0,0 nm，则 nm 21 的最小值为（） A4 B5 C6 D223 9. 三棱锥PABC中，PA平面,1,3ABC ACBC ACBCPA，则该三棱锥 外接球的表面积为（） A5 B2 C20 D4 10. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（） A3024 B1007 C2015 D2016 11. 已知函数 32 ( )3f xxxx的极大值为m ，极小值为n，则 m+n=( ) A.0 B.2
4、C.-4 D.-2 第 3 页 共 11 页 12. 某实验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是 每袋 3kg，价格为 12 元；另一种是每袋2kg，价格为 10 元. 但由于保质期的限制，每一种 包装购买的数量都不能超过5 袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（）元 A56 B42 C44 D 54 第卷（共 90分） 二、填空题： （本大题共 4小题，每题 5分，共 20分） 13.与直线310 xy垂直的直线的倾斜角为 14. 若函数 (21)1 ( )1 ax f xx x 为奇函数，则a_ 15已知 22 :12, :210,(0)pxq xxaa
5、，若p是q的充分不必要条件，则 实数a的取值范围是 16 如图，在三棱锥 ABCD中，2BCDCABAD ，2BD， 平面ABD平面 BCD， O 为BD中点，点 ,PQ 分别为线段 ,AOBC 上的动点（不含端点），且 APCQ ，则三棱 锥 PQCO 体积的最大值为_ 三、解答题： （本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.(本小题满分12 分）如图，在ABC中， 0 30B，25AC，D是边AB上一点 （I）求ABC的面积的最大值； （）若2,CDACD的面积为4，ACD为锐角，求BC的长 第 4 页 共 11 页 18(本小题满分12 分）已知数
6、列 n a中， 1 1a， 1 1 () 2 n nn aa，记 2n T为 n a的前2n 项的和， 221nnn baa，Nn （1）判断数列 n b是否为等比数列，并求出 n b； （2）求 2n T. 19. (本小题满分12 分） 如图所示，在多面体EFABC中，ABC是边长为 2 的等边三角形，O为BC的中点， / /,3EFAO EAECEF （1）求证：ACBE； （2）若5,3BEEO，求点B到平面AFO的距离 第 5 页 共 11 页 20 (本小题满分12 分）如图，四棱锥ABCDP的底面ABCD为矩形，22AB， 2BC，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是BCAB
7、,的中点 . （I ）证明：DE平面PAC； （II ）在PC边上是否存在点M，使得FM平面PDE？若存在，求出 PC PM 的值；若不 存在，请说明理由. 21.（本小题满分12 分） 设函数ax x x xf ln )(. （1）若函数)(xf在),1 (上为减函数，求实数a的最小值； （2）若存在 2 21 ,eexx，使axfxf)()( 21 成立，求实数a的取值范围 . 第 6 页 共 11 页 请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写 清题号请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑. 22 （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程
8、在直角坐标系xOy中，已知直线l: ty tx 2 1 （t 为参数）以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos, 直线l和曲 线C的交点为,A B （）求直线l和曲线 C的普通方程； （）求|PBPA 23已知函数fxx，4g xxm （）解关于x的不等式20gfxm； （）若函数fx的图像恒在函数g x图像的上方，求实数m的取值范围 高三期中考试文科数学参考答案 1-5.BADAB 6-10.BADA B 11. D 12. C 13. 3 14.-1 15.(0,216. 2 48 17. （1）因为在ABC中， 0 30 ,2 5,BA
9、CD是边AB上一点， 所以由余弦定理得： 22222 AC20ABBC2AB BCcosABCABBC3AB BC23 AB BC 第 7 页 共 11 页 所以 20 20 23 23 AB BC 所以 ABC 1 SAB BCsinB5 23 2 V 所以ABC的面积的最大值为5(23) （2）设ACD，在ACD中， 因为2,CDACD的面积为4，ACD为锐角， 所以 ABC 11 SAC CDsin2 52sin4 22 V 所以 2 55 sin,cos 55 ， 由余弦定理，得， 222 5 ADACCD2AC CD cos2048516 5 所以4AD， 由正弦定理，得 sinsi
10、n ADCD A ，所以 42 sinsin A ，所以 5 sin 5 A， 此时 sinsin BCAC AB ，所以 sin 4 sin ACA BC B 所以 BC的长为4 18. （1）Q 1 1 () 2 n nn aa， 1 12 1 () 2 n nn aa， 2 1 2 n n a a ，即 2 1 2 nn aa 2分 221nnn baaQ， 221 12221 221221 11 1 22 2 nn nnn nnnnn aa baa baaaa 所以 n b是公比为 1 2 的等比数列 . 5分 1 1aQ， 12 1 2 aa， 2 1 2 a 112 3 2 baa
11、 1313 () 222 n nn b 6分 （2）由（ 1）可知 2 1 2 nn aa，所以 135 ,aaaL是以 1 1a为首项，以 1 2 为公比的等比 第 8 页 共 11 页 数列； 246 ,aaaL是以 2 1 2 a为首项，以 1 2 为公比的等比数列 10分 21321242 ()() nnn TaaaaaaLL 111 1( )1 ( ) 3 222 3 11 2 11 22 nn n 12分 19. （1）取 AC 的中点 H ，连接 ,EH BH ，因为 EAEC ，所以 EHAC ， 因为 ABC为等边三角形，所以 ,BABC BHAC ， 因为 BHEHHI ，
12、所以 AC 平面BEH， 因为BE平面BEH，所以 ACBE （2） 因为在 EAC中， 3,2EAECAC ， 所以 312EH ， 因为 ABC为等边三角形，所以3BH ， 因为 5BE ，所以 222 EHHBBE，所以EHHB， 因为 ACHBHI ，所以EH平面ABC， 又因为 3 43 4 ABC S ，所以 16 32 33 EBCA V ， 因为 EF/AO ，所以 6 3 FBCAEBCA VV , 因为 3EO ，四边形 AOFE为平行四边形， 3EAEF ， 第 9 页 共 11 页 所以 0 133 120 ,333 224 AOF AOFS ， 设点B到平面 AFO的
13、距离为d ， 由 16 26 BAFOFBCA VV ，得 136 3 346 d ，解得 2 2 3 d 20. （I ）在矩形ABCD中，:2 :1AB BC，且E是AB的中点， tanADE=tan 1 2 CAB, ADE=CAB, CABDAC90o, ADEDAC90o, 即ACDE. 由题可知面PAC面ABCD，且交线为AC，DE面PAC. D ABE F C P M GH （II ）作DC的中点G，GC的中点H，连结GB、HF. DGEB，且DGEB四边形EBGD为平行四边形，DEGB F是BC的中点，H是GC的中点，HFGB，HFDE. 作H作HMPD交PC于M，连结FM，
14、HFDE,HMPD，平面HMF平面PDE，FM平面PDE. 由HMPD可知：3 PMDH MCHC 21. （1）函数定义域为：1, 0 xxx且，对函数)(xf求导：a x x xf 2 ln 1ln )(， 若函数)(xf在), 1(上为减函数，则0 ln 1ln )( 2 a x x xf在), 1(恒成立 所以：0)( max xf2 分 第 10 页 共 11 页 由a x a x x xf 4 1 ) 2 1 ln 1 ( ln 1ln )( 2 2 ， 故 当 2 1 ln 1 x ， 即 2 ex时 ， 0 4 1 )( max axf 所以： 4 1 a，所以a的最小值是 4
15、 1 5分 （2）若存在 2 21 ,eexx，使axfxf)()( 21 成立，则问题等价为： 当 2 21 ,eexx时，axfxf)()( maxmin 由（ 1）知：)(xf在 2 ,eex的最大值为a 4 1 ，所以 4 1 )( max axf 所以问题转化为： 4 1 )( min xf7分 （）当 4 1 a时，由（ 1）知：)(xf在 2 , ee是减函数， 所以)(xf的最小值是 4 1 2 )( 2 2 2 ae e ef，解得： 2 4 1 2 1 e a （）当 4 1 a时，a x xf 4 1 ) 2 1 ln 1 ()( 2 在 2 , ee的值域是aa 4 1
16、 , 当0a，即0a时，)(xf在 2 ,ee是增函数，于是： 4 1 )()( min eaeeefxf，矛盾 当0a，即 4 1 0a时，由)(xf的单调性和值域知：存在唯一的 2 0 .eex，使得 0)( 0 xf 且当 0 ,xex时，0)(xf，)(xf为减函数；当 2 0,e xx时，0)(xf，)(xf为 增函数 所以：)(xf的最小值为 4 1 ln )( 0 0 0 0 ax x x xf， 即： 4 1 4 1 2 1 4 1 ln 1 4 1 ln 1 2 00 eeexx a，矛盾 综上有： 2 4 1 2 1 e a 第 11 页 共 11 页 22解：（1）直线 l 的普通方程是： 03yx ，曲线C 的普通方程是： xy2 2 4 分 （2）将直线l的标准参数方程是： ty tx 2 2 2 2 2 1 （ t为参数）代入曲线xy2 2 可 得 0426 2 tt，所以26| 2121 ttttPBPA 10 分 23.（）6, 22,6U；（）4m 解：（）由20gfxm得42x，242,26xx， 故不等式的解集为6, 22,6U（5 分） （）函数
