第0章 场论（ FIELD ）目的目的：：场论是描述物理流动的数学场论是描述物理流动的数学工具工具内容内容：：介绍力学中介绍力学中常用常用的场论知识的场论知识场：场： 具有物理量的空间具有物理量的空间流场：流场：充满流体物理量的空间充满流体物理量的空间 xyz M(x,y,z )物理量作为空间点位置物理量作为空间点位置M M和时间和时间t t 的函数，的函数， t t 作为参变量作为参变量流体力学中常见的物理量流体力学中常见的物理量density density temperaturetemperaturepressure pressure stressstressvelocityvelocitystrainstrain向量场（函数）向量场（函数）标量场（函数）标量场（函数）张量场（函数）张量场（函数）field 1:1 func.xyzM(x,y,z)rospace pointspace point向量 ( vector ) ：3个元素表示的既有大小又有方向的量0.1 标量、向量、张量（1）概念标量（scalar）：1个元素表示的只有大小没有方向的量二阶张量（tensor of 2nd order）：9个元素表示的量n阶张量（tensor of nth order）：3n个元素表示的量（（2 2）场的几何描述）场的几何描述• • 标量场的等值线（面）：标量场的等值线（面）：时刻场 中数值相同的点组成的曲面。
c值不同对应不同等值面）等值面其方程为等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？表示标量在场中的分布• • 向量场的向量线：向量场的向量线：向量线上每一点处曲线与对应于该点的向量 相切 描述向量在场中的分布向量线连续分布， 一般互不相交• • 向量线微分方程：向量线微分方程：M点位置 向量线l 微段 向量（场）图0.1.2 向量线arMxyzol(1) Einstein求和符号：式子中成对出现的哑指标0.2向量及张量的基本运算0.2.1 向量运算符号规定式中i, j 是自由指标，表示坐标方向可写作:任意两个正交坐标轴单位向量的点积(2) Kronecker δ符号：δ 参与表达式运算的结果： 冲掉一个自由指标置换法则： • 3个自由指标顺时针排列为正，否则为负• 任意2个自由指标对换后差一个负号，如式中i,j是自由指标， 称为置换符号 (3) Ricci（置换）符号：任意两个正交单位向量的叉积和δ符号之间有关系 两个自由指标相同，如 自由指标偶次置换，如 自由指标奇次置换，如 1320.2.2 向量运算的常用公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）0.2.3 向量分量的坐标转换讨论新、老坐标轴中单位向量及向量分量之间的转换关系。
i, j=1,2,3) 或表0.1 坐标轴间方向余弦又点乘 得 单位向量之间的转换关系：即可得如下六个关系式或 向量分量之间的转换关系：表0.1 坐标轴间方向余弦a与坐标系无关，有0.2.4二阶张量及其基本运算式中 是二阶张量的基• 二阶张量是两个向量的并积表示为• 二阶对称张量各元素关于主对角线对称，只有六个独立分量• 二阶反对称张量主对角线分量为零，只有三个独立分量• 二阶张量及其基本运算规则 ①② ③ ④ ⑤ • 二阶张量的坐标变换()() eg.方向导数：l 方向单位向量0·3 标量场的方向导数和梯 度剃度表示物理量在一点邻域内的变化 M0Mdl（1）梯度的定义Hamilton算子（ Nabla）记M0Mdl则当 ,即 与 方向一致时, 为最大注：算子 具有微分和向量双重运算 性质，适用于任意正交坐标系，在不 同坐标系中表达形式不同推导或证 明公式时用直角坐标系简便 剃度、方向导数与等值面梯度(Gradient)高度场的梯度 • 与过该点的等位线垂直；• 数值等于该点的最大方向导数；（2） 梯度的物理意义• 标量场的梯度是一个向量,是空间坐标点的函数;• 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.• 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;例1 三维高度场的梯度• 与过该点的等高线垂直；• 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
图 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度电位场的梯度• 指向电位增加的方向图 电位场的梯度② 梯度 垂直于标量φ的等值面，且指向φ增大的方向 （3）梯度的应用（性质）①梯度 在 方向的投影等于标量φ在该方向的方向导数计算增量 计算曲面法线 由梯度可计算物理量φ沿l方向经过dl距离的增量剃度、方向导数与等值面（ 为常数）① ② ④ ⑤ （ 为常数）③（5）向量的梯度 是一个二阶张量（4）梯度运算的基本公式Example 0.2 Given: Prove: Example 0.1：求曲面 的法线单位向量Solution: Solution: （书p4） 称为向量a通过曲面S的通量若a为流速v，Q＝流量0·4 向量场的通量和散度 通量：在向量场a中曲面S的法向量为n，则图0.4.1 通量Sl物理量的散度可用来判别向量场是否有源若S 为闭合曲面，可根据净通量 的大小判断闭合 面中源的性质: > 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源)若向量场中•a=0，称之为有源场，称为源（强）密度；若向量场 中处处•a=0，称之为无源场。
散度的物理意义• 散度代表向量场的通量源的分布特性•a==0(无源 ）•a=<0(负源，汇)•a=0 (正源)• 向量的散度是一个标量，是空间点的函数；它表示单位体积内向量通 过其表面的通量散度:若包围点M的闭合面S所围体积V以任意方式 缩向点M 时, 通量与体积之比的极限定义为散度(divergence)图0.4.2 散度anM⑴ （ 为常数） 散度的基本运算公式：（2) ( 为标量）（3) 0·5向量场的环量和旋度物理量的旋度可用来判别向量场是否有旋环量(circulation) ：向量a沿空间有向闭曲线l 的积分n环量表示绕线旋转趋势的大小例：流速场均匀直线流动非均匀直线流动=0，无涡旋运动0，有产生涡旋的源 旋度(curl)： 向量a在点M处沿n方向的环量面密度; 取不同的路径，其环量密度不同 l与n满足右手螺旋法则旋度是一个向量，模值 等于μ的最大值；方向 为最大μ的方向旋度的物理意义• 旋度表示向量场的旋转强度的分布特性• 向量的旋度a仍为向量，是空间点的函数；• 向量场中，若a=Ω0,称之为有旋场(旋涡场)，Ω为旋度源(涡强)；• 向量场中，若处处a=0，称之为无旋场。
反之，有势场必为无旋场无旋场的性质称为向量 的势函数; 可由上式两边点乘后积分得到(积分与路径无关)•无旋场必为有势场（ 为标量） 旋度运算基本公式（ 为常数）① ② ③ ⑤ ⑥ ④•无源无旋的向量场是调和场（Laplace operator）（Laplace方程） 满足Laplace方程,且具 有二阶连续偏导数的函 数称为调和函数，这时 向量场a称为调和场Gauss公式——JonhanJonhan Gauss(1777-1855) Gauss(1777-1855)n为体积V 闭边界面S 的单位外法向量，若物理量a或φ在 V+S上一阶偏导数连续，则有散度与通量anM散度定理源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，体积分后，为穿出闭合面S的通量0·6 广义Gauss公式及Stokes公式函数体积分与面积分互换Stokes公式 ——Sir George Stokes(1819-1903）若l为曲面S 的边界线，且可缩，向量a在S+l 上一阶偏导数连续，则Sln与l 符合右 手螺旋法则环量密度，即围绕单位面积环路上的环量其面积分后，环量为:斯托克斯定理函数面积分与线积分互换0.7 0.7 HamiltonHamilton算子、梯度、散度、旋度和调和量算子、梯度、散度、旋度和调和量————在正交曲线坐标系中的表示式在正交曲线坐标系中的表示式用用 的坐标面表示空间位置的参考系的坐标面表示空间位置的参考系 称为称为曲线坐标系曲线坐标系。
坐标面彼此正交，称正交曲线坐标系坐标面彼此正交，称正交曲线坐标系例如：柱坐标、球坐标例如：柱坐标、球坐标0.7.1 0.7.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系向量：向量： （正交曲线坐标系）（正交曲线坐标系）O而直角系中而直角系中 是常矢坐标轴单位向量坐标轴单位向量（坐标的函数）（坐标的函数）：：0.7.2 正交曲线坐标系中的弧微分和拉梅系数空间曲线的弧微分空间曲线的弧微分：： （（直角坐标系）直角坐标系）O曲线坐标曲线坐标 和直角坐标和直角坐标 之间有变换关系之间有变换关系: :当 为坐标曲线 上的微分弧长时，O坐标线的弧微分：坐标线的弧微分：（i=1,2,3不是亚指标）拉梅拉梅( (G.LamèG.Lamè) )系数系数可见，坐标曲线上的微分弧长 一般不等于对应坐标曲线 上坐标变量的微分增量 ,两者之间差LamèLamè系数 。
i=1,2,3）线元素：体元素：例例：球柱直LamèLamè系数坐标系0.7.3 正交曲线坐标系中常用表示式算子算子 有微分和向量双重运算性质：有微分和向量双重运算性质：运算顺序运算顺序: :先先微分运算微分运算后后向量运算向量运算对后面的量发生微分作用对后面的量发生微分作用对前面的量不起微分作用对前面的量不起微分作用。