等比数列前n项和的教学设计与反思

基本信息基本信息课题《等比数列的前 n 项和》是普通高中课程标准实验教科书人教 A 版数学 5（必修）中的第 2 章的第 2.5 节内容，教学课时为 2 课时，本节课为第一课时作者及工作单位苏军 西吉中学 教材分析教材分析《等比数列的前 n 项和》是普通高中课程标准实验教科书人教 A 版数学 5（必修）中的第 2 章的 2.5 节内容，教学课时为 2 课时，本节课为第一课时在此之前，学生已学习了数列的定义、等差数列、等 比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用 《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应 用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变 换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养学情分析学情分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比， 这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的 不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后 面使用的过程中容易出错． 教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步 形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨． 教学目标教学目标教学对象是高中一年级的学生，他们虽然有一定的分析问题和解决问题的能力，具有逻辑思维能力、 思维活跃，却缺乏冷静思考的能力，需要教师引导和启发，最大程度地调动学生学习的积极性。

依据新 课程标准，结合学生的认知规律和教材特点，制定如下的教学目标： 1、知识与技能、知识与技能 （1）理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法 （2）掌握等比数列的前 n 项和公式，并能运用公式解决一些简单问题 2、过程与方法、过程与方法 （1）培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力 （2）通过公式的推导过程，提高学生的建模意识，加强特殊到一般、渗透方程、分类讨论及转化的 思想 3、情感态度与价值观、情感态度与价值观 通过对公式推导方法的探索与发现，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神，养成良好的思维习 惯，使学生在民主、和谐的活动中感受学习的乐趣教学重点和难点教学重点和难点重点：重点：等比数列的前 n 项和公式的推导、公式的特点和公式的运用 难点：难点：等比数列的前n项和公式的推导方法和公式的灵活运用． 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数 学思想，所以既是重点也是难点教学过程教学过程教学 环节教师活动预设学生行为设计意图复复 习习 回回 顾顾教师提问: 1、等比数列定义： 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。

2、等比数列通项公式：1 1n nqaa3、等差数列前 n 项和公式：1 1()(1) 22n nnaa nn nSSnad或分别叫三个学 生回答教师提 出的问题引导学生复习 等比数列各项 之间的特点： 从第二项起每 一项比前一项 多乘以 q，从 而为用“错位相 减法”求等比数 列前 n 项和埋 下伏笔 创创 设设 情情 境境 提提 出出 问问 题题引入：国王赏麦的故事引入：国王赏麦的故事 古代印度国王为了奖励国际象棋发明者西萨，问他有什么 要求，西萨说“让国王在棋盘上放麦粒，但是规定第 1 个格里 1 粒，第 2 个格里 2 粒，第 3 个格里 4 粒，第 4 个格里 8 粒， 依次下去，后面的格子里的麦粒数目是前一格的两倍，棋盘 共有 64 个格子 ”国王一听笑了，连忙答应了请问你觉得国 王能否满足发明家的要求呢？ 【师生活动】引导学生写出麦粒总数为：633222221L学生讨论: 如何求解6332 6422221LS的值？师生交流，共同探讨:教师提问： 6332 6422221LS有什么规律？教师追问： 这个规律可以怎样帮助解决问题呢？教师追问：6332 6422221LS两边乘以 2得到646332 64222222LS这两个等式右边有什么共同点？ 学生活动: 学生会发现两式错位相对应的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到：S6 64 4 6 64 4= =2 2- -1 1，解决了情境问题。

教师小结: 我们发现，这是首项为 1，公比为 2 的等比数 列的前 64 项和生：积极参与 故事的讨论， 并思考寻找解 决问题的办法， 分组讨论，各 抒己见 生：各组学生推选 代表发言，阐 述解决问题的 方法以故事引入课 题的同时激发 学生的兴趣， 调动学生的积 极性；另外迫 使学生急于寻 找解决问题的 新方法，为后 面的教学做铺 垫剖析错位相减 法，使学生接 受此种解题方 法的妙处得得 出出 并并 推推 导导 公公 式式通过对上述问题的思考，将学生引导到一般的等比数列 中，从而让学生自主探讨并由教师引导得出一般的等比数列 前 n 项和的公式为：当1q时，aSnn1)1 (1① 或aaSn n11②当 q=1时，1naSn当已知 a1, q, n 时用公式①；当已知 a1,q, an时，用公式② 以下用三种方法推导公式： 方法一：错位相减法方法一：错位相减法 一般地，设等比数列 a1，a2，a3，…，an，它的前 n 项和 是nSnaaaaL321由1 1321n nnn qaaaaaaSL得nn nnn n qaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS11 13 12 111 12 12 111 LLn nqaaSq11)1 (∴当1q时，aSnn1)1 (1① 或aaSn n11②当 q=1 时，1naSn（教师活动：当学生思考不周全时，教师再作进一步补充） 方法二：累加法方法二：累加法 qaaqaaqaaqaann1342312LL上式累加得到)(11nnnnaSqSqaS1 1(1)111nnnaSnaqSq当时，；当时，。

生：通过上述 例题的解决方 法，结合等比 数列的通项公 式，在教师的 指引下学生完 成公式的推导在教师的指导 下，让学生从 特殊到一般、 从模仿到创新， 有利于学生的 知识迁移和能 力的提高另 外可以完善学 生的知识结构， 提高分析、类 比和综合的能 力，注重学生 个别学习与相 互讨论结合的 方法，培养学 生的洞察力和 合作精神方法三：等比定理方法三：等比定理由等比数列的定义，qaa aa aann12312L根据等比的性质，有qaSaS aaaaaannnnn112132 LL即 qaSaSnnn1 qaaSqnn1)1 (（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导 出了公式qaaSqnn1)1 (（结论同上）巩巩 固固 提提 高高例 1、求下列等比数列前 5 项的和． （师：展示例题习题）（1）21，41，81，…（2）a1=27，a9=1 243，q<0，例 2、已知 na是等比数列，请完成下表题号 1aqn nanS（1）272 38（2）-2-96-63教师巡视，并请一些学生上黑板写出解答过程例 3 求和.1132naaaaL【师生活动】：以学生分析为主，当学生分析不全面时， 教师适时给予点拨，让其他学生补充完善。

预计学生可能出现的三个层次的错误： （1）直接套用公式，项数弄错了； （2）直接套用公式，项数对了，但是没有进行分类讨论；（3）知道分类讨论，但是只讨论了1a 的情况，忽略了 0a 的情况 教师点拨： （1）项数为n；（2）当1a 时，原式=n；生：在教师的 指引下学生独 立完成做题的 步骤生：思考这题 目，并完成表 格生：学生在下 面独立完成， 然后举手回答熟练公式运用， 着重强调公式 的选择采用变式教学 题组，深化学 生对公式的认 识和理解，通 过以上形式， 让全体学生都 参与教学，培 养学生的参与 意识和竞争意 识．有意培养学生 对含有参数的 问题进行分类 讨论的数学思 想整个反馈 矫 正环节，引导 和激发学生的 参与意识、创 新意识、竞争 意识，提升思 维品质（3）当0a 时，不能构成等比数列，原式=1；（4）当0a 且1a 时，原式=1 1na a 教师活动：学生写出自己的结果后，教师作以点评， 然后补充考虑不周全的地方，再以多媒体给出最后的结果， 学生将其与自己的对比，找出差距，予以总结）故事故事 结束结束 首尾首尾 呼应呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏 的小麦约为 1.84×1019 粒，大约 7000 亿吨，用这么多小麦能 从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全世 界一年粮食产量的 459 倍，显然国王兑现不了他的承诺．生：疑惑得到 解决，学习的 乐趣把引入课题时 的悬念给予释 疑，有助于学 生克服疲倦、 继续积极思维总结总结 归纳归纳 加深加深 理解理解一、从知识方面小结 1.等比数列前 n 项和公式是什么？ 2.我们采用何种方法推导出该公式？ 3.使用的时候对公比 q 有何不同要求？ 4.等比数列 5 个相关量是哪些？相互有何关系？ 二、从数学思想方面小结 由等差数列联想到等比数列，打通解题思路，了解分类 讨论和方程思想，提高分析，解决问题的能力以问题的形式 出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答， 然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结学生归纳总结从知识的归纳 进一步延伸到 思想方法提炼， 把数学的学习 作为提高学生 数学素养和文 化水平的有效 途径.练习练习 及作及作 业业课后练习题 第 2、3 题 作业： 必做： 课本习题 2.5 A 组 第 1（1） 、 （2） 、 （3）题，第 2 题，第 3 题选做：1、 求和 nnxxxxL32322、 “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答 案是多少？布置分层作业， 提高学生的求 知欲，满足不 同层次学生的 需求，注重知 识的反馈，选 做题的部分是 注意分层教学 和因材施教， 让学有余力的 学生有思考的 空间。

板书设计板书设计3.5 等比数列的前 n 项和 2. 例题讲解 例 3 1. 等比数列的前 n 项和公式 例 1 （1）推导 3.学生练习区 （2）公式 例 2 学生学习活动评价设计学生学习活动评价设计高中数学课堂教学评价表高中数学课堂教学评价表学校 西吉中学 年（班）级 高一（8） 执教教师 苏 军 时间 2012.5 课题 2.5 等比数列的前 n 项和 评价等级一 级 指 标二级指标具体要素ABCD教学目标教学目标明确、具体,符合数学课程标准和教材的基 本要求。