2019/3/2,课件,1,第五章 二次型,学时：10学时 教学手段： 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与答疑相结合 基本内容和教学目的： 基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型 教学目的： 1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示 2、会化二次型为标准型，规范性 3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型 本章的重点和难点： 重点：化二次型为标准型，规范性 难点：正定二次型2019/3/2,课件,2,5.1二次型的矩阵表示,2019/3/2,课件,3,一 问题提出,平面解析 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)； 二次曲线：Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化成为 au2 + buv + cv2 = d → 经旋转变换化成为 a/x/2 + b/y/2 = d/ (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数 确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； 空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→ Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类,2019/3/2,课件,4,更一般的问题： 数域P上含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题 → 本章中心问题: n元二次型化标准型（平方和）的问题. 二、二次型的概念及性质 1.定义1 数域P上n元二次齐次多项式（近代表示式） f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn + a22x22 + 2a23x2x3 + … + 2a2nx2xn + a33 x32 + …+ 2a3n x3xn …………… + ann xn2 称为P上n元二次型，简称二次型；当P = R时，为实二次型、 当P = C时，为复二次型.,2019/3/2,课件,5,*1 f (x1, x2, …, xn) 是 Pn→P 的n元函数； *2 f (x1, x2, …, xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + … + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x2x2 + … + a2nx2xn …………………………… + an1xnx1 + an2xnx2 + … + annxnxn =,f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + … + 2a1nx1xn + a22x22 + … + 2a2nx2xn ………… + annxnn .,2019/3/2,课件,6,*3 性质： 1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵； 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型 f (x) = a11x12 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX； 3) 数域P上， f (x1, x2, …, xn) 与n阶对称矩阵一一对应. 证明分析： 由*2可知，任一二次型都对应某对称矩阵A，即*2给 出对应法则σ： f (x1, x2, …, xn) →A . 设f (x1, x2, …, xn) 在σ下对 应的对称矩阵为A，B，即 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = X/BX，故知 A = B，即σ是 n 元二次型与 n 阶对称矩阵之间的映射. 设A是数域P上任一n阶对称矩阵，则X/AX的展开式显然是数域 P上的n元二次型，即σ是满射，而σ为单射则是显然的，故σ是 双射. □,,,,2019/3/2,课件,7,2 线性替换,平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般 方程为ax2 + 2bxy + cy2 = f (例：13x2 – 10xy +13y2 = 72), 将坐标轴 逆时针旋转θ0 (例：450),即有坐标旋转公式,,y y / x/ x,2019/3/2,课件,8,定义2 将变量 x1, x2, …, xn 用 y1, y2, …, yn 线性表示的变换 称为由x1, x2, …, xn 到 y1, y2, …, yn 的线性替换（简称变量的线性替换）.,,*1 线性替换的矩阵表示：X = CY，C称为线性替换(4)的矩阵； 当C可逆时，称(4)为非退化（可逆）线性替换；C不可逆时，称 (4)为退化（非可逆）线性替换，其中,,2019/3/2,课件,9,*2 性质： 4) 若C可逆，则X = CY是可逆线性替换，且Y = C－1X也是可逆的线性替换； 5) f (x1, x2, …, xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X = CY 化成 f (x1, x2, …, xn) = Y/BY ，则 B = C/AC . 证明： f (x1, x2, …, xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY. 由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C// = C/AC = B → Y/BY 是 P 上 n 元二次 型，且 B = C/AC 成立. □ 6) 二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质5的推论） 证明： 如5), 性替换X = CY下f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY → B = C/AC , C可逆 → A，B的秩相同，即二次型X/AX 与 Y/BY 的秩相同 → 题设结论成立. □ 性质5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念 →,2019/3/2,课件,10,三 矩阵的合同关系,定义2 数域P上 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果存在P上的 n 阶可逆矩阵 C，使得 B = C/AC . *1 合同的性质： 7) 矩阵合同是Mn(P) = {A│A为P上n阶矩阵} 上的等价关系, 即 (1) 合同具有自反性 （ A = E/AE，即A与A合同 ）； (2) 合同具有对称性 （ B = C/AC → A = (C－1)/BC－1 ）； (3) 合同具有传递性 （ A1 = C1/AC1，A2 = C2/A1C2 → A2 = C2/ (C1/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ）. 8) 线性替换X = CY下 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY, 因B = C/AC, 故： X = CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵合同; → 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；,2019/3/2,课件,11,9) 合同的矩阵具有相同的秩； 10) 与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵. 证明： 9) 设A, B合同，即B = C/AC, 且C可逆，故A, B同秩. 10) 设A/ = A，B = C/AC， C可逆→ B/ = (C/AC)/ = C/AC = B. □ *2 为什么在变换二次型时，总要求用非退化的线性替换（即C为可逆矩阵）？ 事实上，当X = C/ Y 是非退还的线性替换时， 可得 Y = C －1X 成立， 故原二次型 X/AX 与变换后的二次型 Y/BY 是可以互化的，这样就使我们从变换所得二次型 Y/BY 的性质可以推知原来二次型X/AX的性质.,2019/3/2,课件,12,5.2标准型,中心问题： 讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式，即平方和的形式： d1x12 + d2x22 + … + dnxn2,2019/3/2,课件,13,,证明： （配方法） 对 n 进行数学归纳. n = 1： f (x1) = a11x12, 已是(1)的形式，命题成立. 假定 n－1 时命题成立，现证 n 时命题成立. 分以下情形讨论： 1) aii ( i = 1, 2, …, n )中至少有一个非0，如a11≠0 →,定理1 数域 P 上任一二次型都可经过非退化的线性替 换变成平方和的形式 d1x12 + d2x22 + … + dnxn2 (1),f (x1, x2 , …, xn) = a11x12 +2a12x1x2 +2a13x1x3 +…+2a1nx1xn + a22x22 +2a23x2x3 +…+2a2nx2xn ………………… + annxn2,a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn = a11[x12 + 2a11－1 (a12x2 + a13x3 + … + a1nxn)] * A2 + 2AB + B2 = (A+B)2,2019/3/2,课件,14,2019/3/2,课件,15,2019/3/2,课件,16,2) 所有aii = 0(i =1, 2,…, n), 但至少有一个a1j≠0 (j = 2,…, n) → 不失普遍性，不妨设a12≠0 → 令,2019/3/2,课件,17,2019/3/2,课件,18,定理2 数域 P上任一对称矩阵合同于对角矩阵,,2019/3/2,课件,19,A f (x1, …,xn) X=CY B=C/AC B,,,定理2的意义： 化n元二次型X/AX成标准型问题 寻找一个可逆矩阵C，使得A与对角矩阵D在C下合 同（D=C/AC），而定理2说明这样的C一定存在 → 如何找到这个C即为进一步要解决的问题：,,C=?时，B= D？,2019/3/2,课件,20,,2019/3/2,课件,21,2019/3/2,课件,22,2019/3/2,课件,23,2019/3/2,课件,24,2019/3/2,课件,25,2019/3/2,课件,26,2019/3/2,课件,27,§5.3 唯一性,2019/3/2,课件,28,问题提出：二次型f (x1, x2, x3)=2x1x2+2x1x3－6x2x3经过不同的线性替换，其结果不同 →,X=C1W 下，f = 2w12－2w22 + 6w32； X=C2Y 下，f = 2y12－2－1y22 +2×3－1y32 . 其中,,2019/3/2,课件,29,A f (x1, …,xn) X=CY B=C/AC B,,回顾上一节内容，有以下事实成立： 同一二次型在不同线性替换下的矩阵合同.,C=?时，B= D？,2019/3/2,课件,30,A f (x1,…, xn) X=C1W D1 D2 X=C2Y,问题： 同一二次型 f 在恰当的可逆线性替换下的矩阵是对角矩阵，但不同的这样的可逆线性替换下的对角矩阵不同，即所化成的标准型不唯一 .,问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？,2019/3/2,课件,31,一 二次型的秩,*1 A，B(∈Mn(P))合同 ↔ 存在可逆矩阵C，B = C/AC → 因C可逆，故 r(A) = r(B) ，即合同矩阵的秩相等； *2 原二次型 X/AX 经 X = CY (C可逆) 化成新二次型Y/ BY, 则A，B合同 → 新、旧二次型的矩阵秩相同，即可逆的线性替换不改变原二次型的矩阵的秩，该秩刻画了二次型的一种本质属性 → 引入以下概念： 1. 定义： 二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX 中矩阵A的秩称为二次型 f 的秩； 2. 性质： 1) 。