借经典之巧，研变式之妙——由“总统证法”所想到的?42?中学数学研究2011年第6期倦典之巧,研壹式之砂——由"总统证法"所想到的浙江省宁波市镇海蛟川书院(315200)王姣慧石莹一,"总统证法图"的提出勾股定理是几何学中的"明珠",魅力四射,千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有着名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵.有资料表明,迄今为止关于勾股定理的证明方法已有400余种,其中美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.这种证明方法是用两个全等的直角三角形构造出一个直角梯形,从不同的角度对直角梯形的面积算两次证明了勾股定理.这样的方法直观,简捷,易懂明了,人们为了纪念他就把这一证法称为"总统证法",同时把这个图叫做"总统证法图".由于图形构造筒单,巧妙,奇特被人们所青睐,以它为背景的中考题近年频频出现成为中考题中的亮点..二,感知"总统证法图的图形特征及结论从不同角度分析"总统证法图"的特征:图1中有两个全等的直角三角形,一个直角梯形;图形中至少存在三对互相垂直C(1)画出拼成的这个图形的示意图,指出它是什么图形.(2)用这个图形证明勾股定理.思维简析i(1)是直角梯形(如图1所示).(2)在直角梯形ABCD中,(如图1)一方面s梯^BcD=÷(口+b)(+b)=寺(c'2+2ab+b2),另一方面s#碧^Bc|)=山幢D+置日c+∞=6++=丢(2口6+整理得c=口+b.3.2直接应用,感受基本图形之简约'例2如图4,四边形ABCD为正方形,DE上EF,BF上EF.(1)求证:AADEABAF.bD6图2图3图6.(2)如图5,分别以DE,BF为边作正方形DEGH和正方形BFMN,如图记三个正方形的面积分别为Ss:,Is,,探究Ss2,三者的数量关系并证明.,(3)如图6,在直线z上依次摆放着七个正方形,已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,水平放置的四个正方形的面积依次是Iss2,Is.,s4,直接写出S1+s2+.s3+s4的值.(4)按(3)的规律一直摆放,求S,++s3+&+…+Is姗+S20l0.思维简析:(1)(2)属于总统证法图的直接应用,让学生感受此图的多个结论,感知经典图形的"基本"之处,(3)(4)开始纵向拓展,增加正方形的个数,寻找变化规律.c2011年第6期中学数学研究?43?3.3简单变式,解读基本图形之细节例3在AABC中,/_ACB=90.,AC=BC,直线MN经过点C,且AD上MN于D.BE上MN于.(1)当直线MN绕点C旋转到图7的位置时,猜想线段DE,AD与BE有怎样的数量关系?请写出这个关系(不用证明).(2)当直线kin绕点C旋转到图8的位置时,求证:DE=A一8五(3)当直线MN绕点C旋转到图9的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明..B图7'图8图9思维简析:通过直线MN的运动,使基本图形发生了变化,拓展了图形的多样性,从复杂的图形中分辨出基本图形,并且用基本图形的性质去解决问题的思路却没有变化.这种用旋转变换的手段,设置了图形变化的情景,丰富基本图形的内涵,拓展了图形的多样性,而基本图形性质却不发生变化,属于"基本图形"的精髓所在.3.4逆向思考,探究基本图形之完备性例4如图10,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A,D),连结PC,过点P作PE上PC交AB于.(1)段AD上是否存在图1O不同于P的点Q,使得Qc上QE?若存在,求线段AP与AQ之间的数量关系;若不存在,请说明理由;(2)当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求BE的取值范围.思维简析:(1)假设存在这样的点由总统证法图可知,AAPEADCP,即AP?DP=AE?DC.同理可得AQ?Z)Q=AE?DC.故AQ?DQ=AP?DP,即AQ?(3一AQ)=AP?(3-Ae),...(AP+AQ)(AP—aq)=3(AP—AQ),'..AP≠Aq,.'.AP+AQ._3...'AP≠AQ,.'.AP≠÷,即P不二能是AD的中点..'.当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在.当P不是AD的中点时,总存在这样的点口满足条件,此时AP+AQ=3.(2)略.3.5学会构造,体验"基本图形法"之巧妙例5.(2009浙江省丽水市)如图11,已知AABC中,/_ABC=90.,AB=C,三角形的顶点在相互平行的三条直线z,f2,z3上,且Z,22之间的距离为2,f2,之间的距离为3,求AC的长.图1l思维突破:由AB上BC,考虑过点A作AD上f3交f3于点D,过点c作凹上f3交z3于点,则由"三垂足一线"可得AADB兰ABEC,所以CE=5,BE=3,在PaACBE中,BC2:丽=,:,在等腰直角三角形ABC中,AC=c=2丙.3.6善于拓展,推广基本图形之灵魂——形散而神似问题拓展:如果把基本图形中的三个直角改为三个相等的角,则相似的结论依然成立.三等角一线特征(如图i2):图形中至少存在三个相等的角(B=/_ACD=E),并且三个相等角的顶点(B,C,)位于同一条直线上(且相关顶点不存在互相重合),结论:△CAB一图l2DCE例6(2OO9扬州市)等腰三角形ABCI中-,AB=Ac=8,/_BAC=120.,P为Bc的中点,小,惠拿着含30.角的透明三角板,使3O.角的顶点落在P点,三角板绕点P旋转.'(1)如图13,当三角板的两边分别交AB,AC于,F时,求证ABPEACFP.(2)操作三角板绕P旋转到图14情形时,三角板两边分别交BA的延长线,边AC于E,①探究ABPE与ACFP还相似吗?图13'图14②探究:连接F,ABPE与APEF是否相似?说明理由.,③设=m,AEPF面积为s,用含刀l的代数?44?中学数学研究2011年第6期式表示S.思维筒析:(1)由等腰三角形ABC,/_.BAC=120.,可知B=LC=30.,故8+BEP=180.一B=150.,又EPF=30.,.'.脚+Z_FPC=180.一30.=150.,...LBEP=CPF,问题获证.(2)操作三角板绕P旋转到图14情形时,①△曰PE与△CFP仍然相似,这是因为相似的条件LB=LC,=LCPF未变(虽然三角板的位置变化了,但脚=30.这个角不变,因而剧疆+C仍为150.).②③略.,四,借图发挥,成就精彩以上呈现的是我校老师的一节中考复习公开课的教学设计,教师引导学生从经典的勾股定理的证明探索"总统证法图"的低起点入手,变正方形为矩形,变全等的直角三角形为相似的直角三角形,探索出"三垂足一线",然后加以应用,再变直角三角形为斜三角形,扣住"三等角一线"的本质特征,拓展出相似三角形这一不变的结论解题.这种借经典图形挖掘,弓l申,刨造性地弓1导,让学生在数学知识,数学能力和理性精神等方面有一种自然的,水到渠成的发展.我们感受很深,觉得很是"精彩".精彩之一是执教老师用她过硬的基本功提炼出来的教学语言"总统证法图","三垂足一线","三等角一线",把复杂多变的几何图形用形象生动的,学生容易接受的语言表达出来;精彩之二是"基本图形法","万变不离其宗","形变而神似"变式教学理念贯穿整个教学过程,极好地体现新课程中对于几何教学的意义;精彩之三是所编排的例题,体现"问题情境——建立数学模型——解释,应用与拓展"的模式,围绕所要学习的数学主题,选择有典型性的,对学生具有一定挑战性的,有利于学生一般能力的内容,让学生经历探究的全过程,真正享受到探究之不易,探究之美,学生的思维训练既呈螺旋上升,又有水到渠成的感觉;四是旧题新做,学生思维的发散性和创新性得到了发展和鼓励.对一道高考不等式的加强山东省菏泽第一中学(274000)尘福真09年山东高考理科数学l的第20题如下:等比数列{a}的前n项和为S,已知对任意的/'tEN,点(n,s)均在函数Y=b+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值;.'(2)当b=2时,记b=2(1og2a+1)(nE,证明:对任意的n,不等式?…..>而成立.第(1)问略.第(2)问即证:3?5…一>『『,本文拟给出该命题的一个加强.命题_『<吾?}?…?垫<_,.t对于该不等式,我们只需证明该不等式的右边部分.为此首先来看一个引理.引理对于V>0,有In(1+)<?证明:)=ln(1+菇)一,则厂()一.1,由>0,所以厂()<o,ff)单调递减,而I(0)=0,所以>0时√)<0,即In(1+)<.下面证明:3?5…?<可证明:令=(3?5…一2n+1)?=-1/1,1,二斗二十=9'自=等=+>1,即数列{a}单调递增.又口=口'詈.…一毒=詈c-+4)(1+丽4)….(1+)=k(1+)(1+南)+.-岫(1+而4可'R'。