第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念【素养目标】1.通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题.（数学抽象）2.体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号.（逻辑推理）3.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）.（直观想象）4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.（直观想象）【学法解读】在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法.第1课时集合的含义必备知识,探新知VV基础知识L J 知识点1集合与元素的含义一般地，我 们把研究对象统称为元 素（elemen t）,把 一 些 元 素 组 成 的 总 体 叫做集合（set）（简称为集）.通常用大写拉丁字母A,B,C,表 示 集 合，用小写拉丁字母a,b,c,表示集 合 中 的 元 素.对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样化.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象.总体：集合是一个整体，暗 含“所有”“全部”“全体”的含义.因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.思 考 1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式,也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.C知识点2集合中元素的三个特性特性含义示例确定性作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了集合4 =1,2,3 ,则 1 G 44M互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素集合 x,x 中 的X应满足x N x2x,即 x关0 且 x#2无序性构成集合的元素间无先后顺序之分集合 1,0 和 0,1 是同一个集合思考2：集合元素的三个特性主要有哪些应用？提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性时才能构成集合.界定模糊的元素不能构成集合，如“小河流”“难题”等.(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等.如 1,2,3 与 3,2,1 表示同一集合.(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检脸.特别是题中含有参数(即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.-知识点3元素与集合的关系思考3：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？(2)符 合“e”“庄”的左边可以是集合吗？关系概念记法读法属于如果。
是集合4中的元素，就说属于集合a Aa属于集合4不属于如果不是集合Z中的元素，就说a不属于集合Aa Aa 不 属 于 集合力提示：(1)对于一个元素与一个集合/而言，只有与这两种结果.(2)G和阵具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合.知识点4常用数集及其记法数集意义符号非负整数集(或自然数集)全体非负整数组成的集合N正整数集全体正整数组成的集合N*或 N+整数集全体整数组成的集合Z思考4：N,N*,N+有什么区别？有理数集全体有理数组成的集合Q实数集全体实数组成的集合R提示：（1）N为非负整数集（或自然数集），而N*或N+表示正整数集，不同之处就是N包括0,而N*（N+）不包括0.（2）N*和N+的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N+,为避免出错，对于N*和N+,可形象地记为“星星（*）在天上，十字（十）在地下”.基础自测1 .下列各组对象中不能组成集合的是（C ）A.清华大学2 0 1 9年入校的全体学生B.我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员C.中国著名的数学家D.不等式x-AO的实数解 解析”著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因 此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C.2 .已知“6R,且a4 Q,则。
可以为（A ）A.A/2 B.IC.2 D.一（解析A/2G R,且啦 Q,故选A.3 .下列元素与集合的关系判断正确的是 （填序号）.0 G N；兀eQ；V 2 e Q；-iez；y 2 R.解析 无，也为无理数，也 为 实数，故填.4 .方程/-1 =0与方程x+1=0所有解组成的集合中共有 _个元素.解析 方程/一1=0的解为1,-1,x+l=o的解为一1,所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2.关键能力攻重难V题型探究题型一集合的基本概念I 下列各组对象：某个班级中年龄较小的男同学；联合国安理会常任理事国；2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；近的所有近似值.其中能够组成集合的是 .分析 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合.解析 中 的“年龄较小”、中 的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以 不能组成集合.中的对象都是确定的、互异的，所以可以组成集合.填.归纳提升 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如 果 是“确定无疑”的，就可以构成集合：如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.2.判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性.【对点练习】下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市：(2)某校2019年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程29=0 在实数范围内的解.解析(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合.(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合.(3)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过2 0 的非负数”，即“0WxW20”与“x 2 0 或 x Z；|e Q；7 t e R.4 .集合力中的元素y 满足y WN且夕=一/+1,若则f的值为.解析 因为y GN且y=-f+l,所以y=0或y=l.即4中有两个元素0,1,又 f GA,所以，=0或 1.5 .判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)与定点4 8 等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手.解析(1)与定点4 8 等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.第 2课时集合的表示必备知识,探新知基础知识知识点1 列举法把集合的所有元素一一列举 出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法.思 考 1:哪些集合适合用列举法表示？提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合.(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如 N可表示为 0,1,2,，(3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便.如集合/,x 3.?知识点2描述法1 .设/是一个集合，把集合Z 中所有具有 共 同 特 征 P(x)的元素x所组成的集合表示为 x W Z|P(x).2.具体步骤：(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围.(2)画一条竖线.(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.思考2：什么类型的集合适合描述法表示？提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法.VV基础自测1 .判断下列说法是否正确，正确的打“，错误的打“X”.(1)由 1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为 1,1,2,3.(X )集合(1,2)中的元素是1 和 2.(X )(3)集合N =x|x-1=0 与集合8=1 表示同一个集合.(4 )2.不等式x 3 2且 x G N*的解集用列举法可表示为 H2 3.4.x+y 3,3.方 程 组-的解集可表示为 (填序号).1,2；(x,y)|x=l,y=2.4.说明下列各集合的含义：1VN=b=n；8=(x,C=(O,1)；Z)=x+y=l,X y=T .解析/表 示 y 的取值集合，由反比例函数的图象，知工=在 丫#0,8 的代表元素是点(x,y),其表示直线y=x-3 上除去点(3,0)外所有点组成的集合.C表示一个单元素集，元素是一个有序实数对(0,1).。
表示以方程“x+y=l”和 xy=-1”为元素的一个二元素集.关键能力攻重难题型探究题型一列举法表示集合列1用列举法表示下列集合：(1)36与 60的公约数组成的集合；(2)方程(x4)2(x2)=0的根组成的集合；2 4(3)一次函数y=x l 与 的 图 象 的 交 点 组 成 的 集 合.y x-1 分析(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立 2 4 求尸方程组的解一写出交点坐标一用集合表示.解析(1)36与 60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为 1,2,3,4,6,12.(2)方程(x4)2(x2)=0的根是4,2,所求集合为 2,4.x-y=1 f V-5 7 2(3)方程组、，的解是、，所求集合为(U=5 归纳提升 1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集.2.列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然.因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键.【对点练习】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程/=x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y=2x3 与夕轴的交点所组成的集合.解析(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0 的意思.所以不大于 10的非负偶数集是 0,2,4,6,8,10.(2)方程d=x 的解是x=0 或x=l,所以方程的解组成的集合为 0,1.(3)将x=0 代入y=2 x-3,得y=-3,即交点是(0,-3),故两直线的交点组成的集合是(0,-3).题型二用描述法表示集合 例 2 用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；(3)使y=手 有 意 义 的 实 数 x 组成的集合；(4)200以内的正奇数组成的集合；(5)方 程 的 解 组 成 的 集 合.分析 用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“x GN”等条件.解析 集合可表示为 x R|2W xW 20.(2)第二象限内的点(x,y)满足x 0,且y 0,故集合可表示为(x,y)K 0.2(3)要使该式有意义，需 有 ，解得x W2,且xH O.故此集合可表示为 x|xW 2,且xW O.(4)曲=2无+1,x,所以 B=-32yi,3+2y/3.归纳提升 集合与方程的综合问题的解题思路(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根.(2)当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解.若知道其解集，利用根与系数的关系，可快速求出参数的值(或参数之间的关系)；若知道解集元素个数，利用判别式可求参数的取值范围.【对点练习】已 知 集 合 力=,2+6=0 ,若/=2,3,求 a,的值.(2)已知集合4/=球/一 级+2=0,aGR中至多有一个元素，求实数。
的取值范围.f解析(1)由 4=2,3知，方 程 x2a x+b=0 的 两 根 为 2,3,由根与系数的关系得2+3a,2X 3=6,因此 a=5,b6.(2)当0 时，方程化为一2 x+2=0,解得x=l,此时 =1 ,满足条件.当a#0 时，方程为一元二次方程，由题意得/=4 8 aW 0,即 此 时 。