4.1 差商（均差）及性质差商（均差）及性质1 差商（均差）差商（均差）已知已知y = =函数表函数表则则 在在上平均变化率分别为：上平均变化率分别为： 即有定义：即有定义：定义为定义为f( (x) )的差商的差商§§4 差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式1. 定义定义4为函数为函数在在的的一阶差商一阶差商（（一阶一阶均差均差）；）；称为称为y = =在点在点的的二阶差商二阶差商（（二阶均差二阶均差））；； （（3）一般由函数）一般由函数y= =的的n－－1 1阶差商表可定义函数的阶差商表可定义函数的n阶阶差商称为函数称为函数y= =在在点的点的n阶差商阶差商（（n阶均差阶均差））称，称（（1 1）对于）对于 的一阶差商表，再作一次差商，即的一阶差商表，再作一次差商，即（（2）由函数）由函数y= =即即n－－1 1阶阶差商差商2. 2 基本性质基本性质定理定理5（（2））k 阶差商阶差商关于节点关于节点是对称的，或说是对称的，或说均差均差与节点顺序无关，与节点顺序无关，即即例如：例如：共共6个个的线性组合，的线性组合，即即的的k阶差商阶差商是函数值是函数值（（1））3. 分析分析 ：：当当k =1=1时时, , ( (1) )可用归纳法证明。
可用归纳法证明2)(2)利用利用(1)(1)很容易得到只证很容易得到只证(1)(1)证明：证明：（（1）当）当k =1=1时时, ,4. 5. (0 阶差商阶差商)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商k 阶差商阶差商 表表2.43 差商表差商表 计算顺序计算顺序: :同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商上一行的差商再作差商6. 4.2 牛顿插值多项式牛顿插值多项式已知已知函数表（函数表（4.1））, 由差商定义及对称性，得由差商定义及对称性，得 1 牛顿插值多项式的推导牛顿插值多项式的推导7. 将将(b)式两边同乘以式两边同乘以,抵消抵消抵消抵消抵消抵消(d)(d)式两边同乘以式两边同乘以, ,把所有式子相加把所有式子相加, ,得得,(c),(c)式两边同乘以式两边同乘以8. 记记 --- --- 牛顿插值多项式牛顿插值多项式--- --- 牛顿插值余项牛顿插值余项可以验证可以验证 ，即，即 满足插值条件满足插值条件, 因此因此可得以下结论。
可得以下结论 9. 定理定理6 则满足插值条件则满足插值条件的插值多项式为：的插值多项式为：（牛顿插值多项式）（牛顿插值多项式）其中，其中，--- --- 牛顿插值多项式牛顿插值多项式--- --- 牛顿插值余项牛顿插值余项2 n +1+1阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系由由n次插值多项式的唯一性，则有次插值多项式的唯一性，则有, 牛顿插值牛顿插值多项式多项式与拉格朗日插值多项式与拉格朗日插值多项式都是次数小于或等于都是次数小于或等于n的多项式的多项式, ,只是表达方式不同只是表达方式不同. .? ? 因为因为 而而 的基函数可为的基函数可为:已知已知 函数表函数表牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数10. 阶导数存在时，阶导数存在时，由插值多项式的唯一性由插值多项式的唯一性有余项公式有余项公式n+1+1阶差商函数阶差商函数导数导数其中其中且且为包含为包含区间区间.依赖于依赖于则则n 阶差商与导数阶差商与导数的关系为的关系为其中其中n +1+1阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系定理定理711. 计算步骤计算步骤: :(2) 用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算 .3 牛顿插值多项式计算次数牛顿插值多项式计算次数( (当当k = =n 时时) )(1) (1) 计算计算差商表差商表( (计算计算 的系数的系数) ) (0 阶差商阶差商)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商k 阶差商阶差商 除法次数除法次数( (k = =n):):12. (2) 用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算 .乘法次数乘法次数: : n优点优点: :(1)(1)计算量小计算量小, ,较较 L- - 插值法减少了插值法减少了3-43-4倍倍. .(2)(2)当需要增加一个插值节点时当需要增加一个插值节点时, ,只需再计算一项只需再计算一项, ,即即 --- --- 递推公式递推公式( (适合计算机计算适合计算机计算).).乘除法次数大约为乘除法次数大约为: :13. 4 两函数相乘的差商两函数相乘的差商 定理定理8（两函数相乘的差商）（两函数相乘的差商） 显然显然公式成立。
公式成立 事实上，事实上， 一般情况，可用归纳法证明一般情况，可用归纳法证明 #设设证明：证明：阶差商为阶差商为14. 5 重节点差商重节点差商 （通过差商极限定义）（通过差商极限定义） 定义定义5 ( (重节点差商重节点差商) ) 若若 ,的节点的节点xi( (i= =0 0，，1 1，，……，，n) )定理定理7中中互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同 说明：说明：? ?则定义则定义 类似的有类似的有15. 其中其中 --- --- 牛顿插值多项式牛顿插值多项式--- --- 牛顿插值余项牛顿插值余项§§4 差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式牛顿插值公式牛顿插值公式5 重节点差商重节点差商 定义定义5 ( (重节点差商重节点差商) )若若 ,? ?则定义则定义 类似的有类似的有16. 证明：证明：(2)首先首先,由定义由定义泰勒展开式泰勒展开式17. 18. 1、、理解理解差商定义差商定义P.85 7作业作业: : 3、、会用会用牛顿插值多项式解简单题目。
牛顿插值多项式解简单题目 2、、掌握掌握牛顿插值公式牛顿插值公式其中，其中，--- --- 牛顿插值多项式牛顿插值多项式--- --- 牛顿插值余项牛顿插值余项课本课本P.37例例 3编程编程: :19. 一、一、 Lagrange 插值多项式插值多项式， k = 0, 1 ,⋯ ⋯, n . . 复习：复习：过过n +1+1个节点个节点，满足插值条件：，满足插值条件：L j( xj)= yj(j=0,1,⋯, n )的的n次插值次插值或或插值插值基函数基函数含义直观含义直观 形式对称形式对称优点：优点：计算量大计算量大缺点：缺点：乘除法次数：乘除法次数：多项式多项式Ln( (x) )：：20. 二、二、列维尔列维尔( (Neville) )方法与埃特金方法与埃特金( (Aitken) )方法方法改进的方法改进的方法① ① 列维尔方法列维尔方法: :② ② 埃特金算法埃特金算法计算量：计算量：较较L L——插值减少了插值减少了 . .21. 。