24.2.2 垂径分弦-2018年九年级下册数学名师学案（沪科版）1. 前言垂径分弦是几何中的重要概念，它是指一个圆内通过一个弦的垂径在本节课中，我们将学习垂径分弦的性质和定理，并且通过一些例题来帮助我们理解和应用这些概念2. 垂径分弦的性质1. 垂径分弦的两个垂径相等2. 垂径分弦的两个余弦相等3. 垂径分弦的两个弦的平方和等于直径的平方3. 定理证明3.1 定理一：垂径定理在一个圆内，若垂径分弦，那么两个垂径互相垂直 ### 证明： 首先，假设垂径交于点A，弦交于点B和C 我们知道，垂径是指从圆心到弦的垂直线段，因此，OA⊥BC，OC⊥AB 根据垂直线的性质，如果一条直线同时与两条相交直线垂直，那么这两条直线也互相垂直 因此，根据性质，我们可以得出定理一成立3.2 定理二：垂径定理的逆定理在一个圆内，若两个垂径互相垂直，那么它们是垂径分弦 ### 证明： 假设我们有一个圆，OA⊥BC，OC⊥AB，我们要证明BC是弦 首先，由于OA⊥BC，OC⊥AB，根据垂直线的性质，我们可以得知AO与OC是以BC为直径的圆的直径线 而直径线的特点是它们互相垂直，并且相交于圆的中心点O 因此，我们可以得出结论，BC是垂径分弦。
3.3 定理三：垂径分弦的平方和定理在一个圆内，若垂径分弦，那么两个弦的平方和等于直径的平方 ### 证明： 假设一个圆，垂径交于点A，弦交于点B和C 我们可以通过角度的旋转证明这个定理 首先，将弦BC绕圆心O顺时针旋转90°，得到线段DE 由于垂径与弦相互垂直，所以OC也与DE相互垂直 根据垂直线的性质，我们可以得知AO与DE是以OC为直径的圆的直径线 因此，AO⊥DE，并且AO与OC相等 根据勾股定理，我们可以得到AO² + OC² = AC² 同理，将弦BC绕圆心O逆时针旋转90°，得到线段FG 我们同样可以得到AO² + OG² = AB² 由于垂径与弦相互垂直，所以DE与FG平行 因此，我们可以得到AC² + AB² = AO² + OG² 由于AO与OC相等，OG与OC相等，所以AC² + AB² = 2 × AO² + 2 × OC² 再根据垂径定理，我们知道AO² + OC² = AB² + BC² 将这个式子带入前面的等式，我们可以得到AC² + AB² = 2 × (AB² + BC²) 化简后得 AC² + AB² = 2 × AB² + 2 × BC² 再次化简后得 AC² = 2 × BC²。
4. 实例演练4.1 例题一在一个圆内，已知垂径分弦，其中垂径为8cm，弦长为10cm，求弦的余弦长度 ### 解答： 根据垂径分弦的性质，垂径的长度是8cm，弦的长度是10cm 根据定理一，垂径的两个垂径相等，所以第二个垂径也是8cm 根据定理二，垂径的两个余弦相等，所以两个余弦的长度都是8cm 因此，弦的余弦长度是8cm4.2 例题二在一个圆内，已知垂径分弦，其中垂径的长度是12cm，弦的余弦长度是6cm，求弦的长度 ### 解答： 根据垂径分弦的性质，垂径的长度是12cm，弦的余弦长度是6cm 根据定理一，垂径的两个垂径相等，所以第二个垂径也是12cm 根据定理二，垂径的两个余弦相等，所以两个弦的余弦长度都是6cm 因此，弦的长度可以通过勾股定理计算得出 根据勾股定理，可以得到弦的长度是√(12² - 6²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 cm5. 总结通过本节课的学习，我们了解了垂径分弦的性质和定理，并且通过例题来巩固了所学的知识垂径分弦在几何中有广泛的应用，特别是在三角函数和勾股定理的运用中希望同学们通过这节课的学习，能够更好地理解和运用垂径分弦的概念。
