湖南省长沙市湘仪学校中学高三数学文月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且，则是( ) A. 钝角三角形 B．直角三角形 C. 锐角三角形 D.等边三角形参考答案：A略2. 已知奇函数上是单调减函数，且，则不等式 的解集为: A． B C． D参考答案：B3. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）A． B． C. (0,2] D．[2,+∞)参考答案：A4. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为 A．(－∞,0) B．(0,+∞) C． D．参考答案：B5. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的解析式是（ ）A． B． C． D． 参考答案：C略6. 设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则 A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5}参考答案：C解：，3，，，3，，则，3，，3，，．故选：．7. 若向量满足条件3与共线，则x的值为（ ）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先利用平面向量运算法则求出，再由向量共线的条件能求出x．【解答】解：∵向量，∴3=（﹣6，0）+（2，1）=（﹣4，1），∵3与共线，∴﹣=，解得x=﹣4．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用．8. 已知条件，条件，则是成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件参考答案：B由得，或，所以：，所以是成立的必要不充分条件，选B.9. 已知曲线的焦点F，曲线上三点A,B,C满足,则。
A.2 B.4 C.6 D.8参考答案：C10. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果优秀的人数为20人，则的估计值是（ ） A．130 B．134 C．137 D．140高考资源参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为 ．参考答案：略12. 执行如图所示的伪代码，最后输出的a的值__________．参考答案：4【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，的值，当i＝3时，不满足条件退出循环，输出的值即可．【详解】模拟执行程序代码，可得i＝1，＝2满足条件i ，执行循环体，＝2，i＝2满足条件i，执行循环体，＝2，i＝3不满足条件i，退出循环，输出的值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，的值是解题的关键，属于基础题．13. 已知是偶函数，且 参考答案：1614. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是e=，则该双曲线两渐近线夹角是 ．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】有离心率求得一条渐近线的斜率，进而得到此渐近线的倾斜角，从而求得该双曲线两渐近线夹角．【解答】解：由题意得==，∴ =，故一条渐近线的倾斜角等于，故该双曲线两渐近线夹角是，故答案为．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出一条渐近线的斜率是解题的关键．15. 已知数列{}的通项公式为，前项和为，则__________．参考答案：1011可得n为奇数时，，n为偶数时， 所以 ，所以 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，. 若为钝角，，则的面积为 参考答案：，，，，，，，17. 已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是 ；体积是 .参考答案： 试题分析:由题设三视图中所提供的信息可知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体,如图其全面积,其体积为,故应填；.考点：三视图的识读与几何体的体积的运用．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某车间20名工人年龄数据如下表：.（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3） 求这20名工人年龄的方差． 参考答案：解析：（1）年龄30的的工人数为5，频率最高，故这20名工人年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40-19=21.（2）茎叶图如下: (3) 这20名工人年龄的平均数为所以这20名工人年龄的方差点评：类似于本题的题目其实学生已经不小，所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得学生会遇到几个问题，一是计算容易出错，二是在画茎叶图可能不是很规范另外关于极差，很可能大部分学生都忘记了.19. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和.参考答案：（1）由已知得解得．设数列的公比为，由，可得．又，可知，即，解得． ．故数列的通项为20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…（2分）可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ） （λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．（4分）∵ED?平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）（8分）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）（10分）∴cos＜，（11分）由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．（12分）【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．21. （本题满分14分）已知数列的前项和为，（），且，.（I）求的值，并证明是等比数列；（II）设，，求.参考答案：（I）令 ,得，化简得: ………2分由题意得 ………4分整理得： ………5分 是等比数列 ………7分（II）由（I）知， ………8分 ………10分 ……14分22. 已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）令f′（1）=﹣1解出a，得出f（x）的解析式，在利用导数判断f（x）的单调性，得出最值；（II）令g′（x）=0有解且x0为g（x）的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h（x）=xf（x）+1+ax2，判断h（x）的单调性即可得出结论．【解答】解：（I）f′（x）=﹣2a，∵f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，∴f′（1）=1﹣2a=﹣1，即a=1．∴f（x）=lnx﹣2x，f′（x）=，令f′（x）=0得x=，当0时，f′（x）＞0，当x时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（）=﹣1﹣ln2．（II）g（x）=lnx﹣2ax+x2，g′（x）=x+﹣2a=，令g′（x）=0得x2﹣2ax+1=0，①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）无极值点，不符合题意；②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′（x）=0有两解x1，x0，∵x0是g（x）的极大值点，∴0＜x0＜x1，又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．又g′（x0）=x0+﹣2a=0，∴a=．∴x0f（x0）+1+ax02=x0lnx0﹣，设h（x）=xlnx﹣，则h′（x）=﹣x2++lnx，h″（x）=﹣3x+=，∴当0＜x＜时，h″（x）＞0，当x时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴。