1. 区域的概念•邻域复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0| 0, 对任意 z ∈D, 均有z∈G={z | |z|0）是单连通的；0≤r<|z|≤R是多连通的单连通域单连通域连续函数的复合函数仍为连续函数有界性：第二章第二章 解析函数解析函数&& 第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念&& 第二节第二节 函数解析的充要条件函数解析的充要条件&& 第三节第三节 初等函数初等函数&& 第四节第四节 解析函数和调和函数解析函数和调和函数& 1. 复变函数的导数定义& 2. 解析函数的概念§2.1 解析函数的概念一. 复变函数的导数 (1)导数定义定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，如果极限 存在，则称函数f (z)在点z0处可导称此极限值为f (z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导A (1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零A (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z) 例1(2)求导公式与法则① 常数的导数 c=(a+ib)=0.② (zn)=nzn-1 (n是自然数).证明 对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数 ，其中: w=f (z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？例2解解例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导证明A (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.?二. 解析函数的概念定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f (z)在z0解析；如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点 A (1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)均是D内的解析函数定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析,h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。