绝对值型不等式和三角不等式定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|〔当且仅当ab≥0时，等号成立〕绝对值三角不等式(a,b为实数)定理2 如果a, b, c是实数，则 |a-c|≤|a-b|+|b-c|〔当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立〕证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|〔当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立〕绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f(*)＝|*－1|＋|*－2|.(1)解不等式f(*)＞3；(2)假设f(*)＞a对*∈R恒成立，数a的取值围.【解析】(1)所以不等式f(*)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f(*)＝所以f(*)min＝1.因为f(*)＞a恒成立，所以a＜1，即实数a的取值围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f(*)＝.(1)当a＝－5时，求函数f(*)的定义域；(2)假设函数f(*)的定义域为R，试求a的取值围.【解析】(1)由题设知|*＋1|＋|*－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|*＋1|＋|*－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当*∈R时，恒有|*＋1|＋|*－2|＋a≥0，即|*＋1|＋|*－2|≥－a，又由(1)知|*＋1|＋|*－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3.题型二 绝对值三角不等式的应用[例2](1)求函数y＝|*－3|－|*＋1|的最大值和最小值．(2)设a∈R，函数f(*)＝a*2＋*－a(－1≤*≤1)．假设|a|≤1，求|f(*)|的最大值．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解](1)法一：||*－3|－|*＋1||≤|(*－3)－(*＋1)|＝4，∴－4≤|*－3|－|*＋1|≤4.∴yma*＝4，ymin＝－4.法二：把函数看作分段函数．y＝|*－3|－|*＋1|＝∴－4≤y≤4.∴yma*＝4，ymin＝－4.(2)|*|≤1，|a|≤1，∴|f(*)|＝|a(*2－1)＋*|≤|a(*2－1)|＋|*|＝|a||*2－1|＋|*|≤|*2－1|＋|*|＝1－|*2|＋|*|＝－|*|2＋|*|＋1＝－(|*|－)2＋≤.∴|*|＝时，|f(*)|取得最大值.规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进展转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．假设a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：514．求函数f(*)＝|*－1|＋|*＋1|的最小值．解：∵|*－1|＋|*＋1|＝|1－*|＋|*＋1|≥|1－*＋*＋1|＝2，当且仅当(1－*)(1＋*)≥0，即－1≤*≤1时取等号．∴当－1≤*≤1时，函数f(*)＝|*－1|＋|*＋1|取得最小值2.5．假设对任意实数，不等式|*＋1|－|*－2|>a恒成立，求a的取值围．解：a<|*＋1|－|*－2|对任意实数恒成立，∴a<[|*＋1|－|*－2|]min.∵||*＋1|－|*－2||≤|(*＋1)－(*－2)|＝3，∴－3≤|*＋1|－|*－2|≤3.∴[|*＋1|－|*－2|]min＝－3.∴a<－3.即a的取值围为(－∞，－3)．题型三 解绝对值三角不等式【例2】函数f(*)＝|*－1|＋|*－2|，假设不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(*)对a≠0，a、b∈R恒成立，数*的围.【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(*)且a≠0得≥f(*).又因为≥＝2，则有2≥f(*).解不等式|*－1|＋|*－2|≤2得≤*≤.【变式训练2】(2010)假设不等式|*＋1|＋|*－3|≥a＋对任意的实数*恒成立，则实数a的取值围是.【解析】(－∞，0)∪{2}.题型四 利用绝对值不等式求参数围【例3】(2009)设函数f(*)＝|*－1|＋|*－a|.(1)假设a＝－1，解不等式f(*)≥3；(2)如果∀*∈R，f(*)≥2，求a的取值围.【解析】(1)当a＝－1时，f(*)＝|*－1|＋|*＋1|.由f(*)≥3得|*－1|＋|*＋1|≥3，综上得f(*)≥3的解集为(－∞，－]∪[，＋∞).(2)综上可知a的取值围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数*的不等式|*－(a＋1)2|≤(a－1)2与*2－3(a＋1)*＋2(3a＋1)≤0 (a∈R)的解集分别为A，B.求使A⊆B的a的取值围.【解析】由不等式|*－(a＋1)2|≤(a－1)2⇒－(a－1)2≤*－(a＋1)2≤(a－1)2，解得2a≤*≤a2＋1，于是A＝{*|2a≤*≤a2＋1}.由不等式*2－3(a＋1)*＋2(3a＋1)≤0⇒(*－2)[*－(3a＋1)]≤0，①当3a＋1≥2，即a≥时，B＝{*|2≤*≤3a＋1}，因为A⊆B，所以必有解得1≤a≤3；②当3a＋1＜2，即a＜时，B＝{*|3a＋1≤*≤2}，因为A⊆B，所以解得a＝－1.综上使A⊆B的a的取值围是a＝－1或1≤a≤3.总结提高1."绝对值三角不等式〞的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，＜a的解集是(－a，a)；＞a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式≤c，≥c的解法，还可以推广到右边含未知数*的不等式，如≤*－1⇒1－*≤3*＋1≤*－1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如＋≥c和＋≤c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的根底，这两种解法都适宜于*前面系数不为1类型的上述不等式，使用围更广.类型一：含一个绝对值符号的不等式的解法含一个绝对值符号的不等式的一般形式为 或 ，解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法，有时也可用分类讨论法．绝对值不等式的两类同解变形：不等式同解变形例1.解不等式．［分析］利用｜f(*)｜0) -ag(*) f(*)>g(*)或f(*)<-g(*)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.方法一：原不等式转化为或，解之得原不等式的解集为. 方法二：原不等式等价于或.解之得或，即或.所以原不等式的解集为.［注］⑴.通过例2可以发现：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比拟繁琐，用同解变形法则更为简洁．⑵.分类讨论法也可讨论而解之，这实际上是同解变形法的推导依据.类型二：含两个绝对值符号的不等式的解法含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为： 或 ，我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法，有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法．例3.解不等式［分析］两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可两边平方，通过移项，使其转化为："两式和〞与"两式差〞的积的方法进展，即：||<||<0解：原不等式解得，故原不等式的解集为例4.解不等式．［分析］解法一 利用绝对值的几何意义〔表达了数形结合的思想〕．不等式的几何意义是表示数轴上与、两点距离之和大于等于7的点，而、的距离之和为3，因此线段上每一点到、的距离之和都等于3，左侧的点到、的距离之和等于这点到点距离的2倍加3，右侧的点到、的距离之和等于这点到点距离的2倍加3．-34 图1由图1可知：原不等式的解集为．解法二 利用的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解〔零点分段讨论法〕．〔1〕当时，原不等式同解于；〔2〕当时，原不等式同解于 无解；〔3〕当时，原不等式同解于．综上知，原不等式的解集为．解法三 通过构造函数，利用函数图像〔表达了函数与方程的思想〕．原不等式可化为．令，则可解得原不等式的解集为．例5解关于*的不等式［分析］原不等式可化为，一般会分类讨论去绝对值号解题，即：通常分，三种情况去绝对值符号，再分进展讨论，这样做过程冗长，极易出错根据此题特点，不妨改变一下操作程序，即原不等式两边平方，再由定义去绝对值号，则分析将十分清晰，过程也简洁得多.解：原不等式可化为，将两边平方可得：，则有：〔1〕；〔2〕.综上知，故当时，解为；当时，解为［注］形如和的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式，所以我们在解题的过程中要选择一个适宜的方法进展求解．例6解不等式 ［分析］解含有双层绝对值符号的不等式的根本思想就是一层一层的去掉绝对值，使不等式化为不含绝对值的一般不等式．常用的方法有等价转化法、零点分段法和平方法，当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比拟简单的方法，但这种方法比拟抽象，一般不容易想到．但此题不可以采用零点分段法，也不能采用平方法，因为平方后既含有的项，又含有的项，所以我们先把不等式进展等价转化，然后把它看成有关的一元二次不等式组进展求解．解： ∴原不等式的解集为 ．类型三：含参数的绝对值不等式的解法解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进展分情况讨论，然后分别在各种情况下对不等式进展求解，最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的解．另外，有一些题也可通过转化，不进展讨论就可以轻松的解答出来．例7 解关于*的不等式［分析］此题假设从外表现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大.假设化简成，则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进展讨论.解：原不等式等价于当即时，∴当即时，∴*¹-6当即时，*ÎR［注］形如||<，||>()型不等式，简捷解法是等价命题法，即：例8 〔2004年卷〕解关于的不等式［分析］利用，无解或，即利用绝对值的定义法求解.解：（1） 当时，原不等式等价于：（2） 当时，原不等式等价于：（3） 当时，原不等式等价于：或或综上所述:（1） 当时，原不等式的解集为：（2） 当时，原不等式的解集为：（3） 当时，原不等式的解集为：类型四：含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题例9 〔2010高考卷〕不等式对任意的实数恒成立，则实数a的取值围是〔 〕A． B.C. D.［分析］要使对任意实数恒成立，只要|+3|－|－1|的最大值小于或等于.方法一：形如使恒成立型不等式.可利用绝对值三角不等式：，结合极端性原理即可解得，即：；；解：设函数，所以而不等式对任意的实数恒成立.。