主视图 左视图俯视图高三数学讲义 第 10 讲 立体几何与空间向量 【知识方法】 →查漏补缺、觉知慧识1. 空间几何体：旋转体的结构特征（圆柱、圆锥、圆台、球）；多面体的结构特征（棱柱、棱锥、棱台）；空间几何体的直观图及其画法（斜二测画法）；几何体的三视图（平行投影、主视图、左视图、俯视图）；简单组合体 2. 空间几何体的表面积与体积：圆柱、锥、台的侧面展开图与侧面积；柱体、锥体、台体、球的表面积和体积；球的截面3. 空间图形的基本关系：平面的基本性质；直线与直线的位置关系（相交、平行、异面）；平行公理；等角定理；异面直线所成的角；异面直线的判定；直线与平面的位置关系；两个平面的位置关系（平行、相交） 4. 平行关系：直线与平面平行的定义、判定和性质；两个平面平行的定义、判定和性质；线线平行的判定和性质 5. 垂直关系：直线与平面垂直的定义、判定和性质；直线与平面所成的角；二面角与二面角的平面角；两个平面垂直的定义、判定和性质；线线垂直的判定和性质6. 图形变换的基本方法：平移法、投影法、平面展开法；翻折、旋转法；割补法 7. 异面直线所成角 ]90, 0(??的求法：定义法（平移法）；补体法；向量法。
8. 线面角 ]90, 0[??的求法：直接法（即射影法）；平移法；公式法（正弦公式、三面角公式）；向量法 9. 二面角的平面角 180, 0[??的求法：定义法；三垂线法；垂面法；射影面积公式法；向量法10. 点面距的求法：直接法；垂面法；等积法；线面平行法；线段比例转化法；向量法 11. 空间向量：空间向量的定义；空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）；共线向量定理；共面向量定理；空间向量基本定理；空间向量的数量积；空间向量数量积的性质；直线的方向向量；平面的法向量；向量在平面内的射影12. 空间向量的坐标表示及应用：空间向量的坐标；数量积的坐标运算；共线与垂直的坐标表示；模、夹角和距离公式13. 利用向量确定线面关系：线线的平行和垂直；线面的平行和垂直；面面的平行和垂直14. 利用向量求空间角：①求两条异面直线 b a 、所成的角： |||||||, cos |cos b a b a b ?a =><=θ，其中 b a、分别是b a , 的方向向量；②求直线 a 与平面 α所成的角： |||||||, cos |sin n a n a n a? =><= θ，其中 a 是直线 a 的方向向量，n是平面 α的法向量；③求二面角 βα--l 的大小： ||||, cos cos 212121n n n n n n? >=<=θ，其中 21n n 、分别是平面 βα的,法向量，其方向一个指向内侧，另外一个指向外侧（同补异等）。
技巧：叉乘法求法向量） 15. 利用向量求点 A 的平面 α的距离： d =α∈B ，n 是平面 α的法向量题型策略】 →构建模型、启智创源第 1 节1. 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个 ( A . 棱台 B . 棱锥C . 棱柱 D . 都不对 变式： 1. 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 2. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 045，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 22+B ．221+C．222+D．21+3. 在△ABC 中, 02, 1.5, 120AB BC ABC == ∠ =, 若使绕直线 B C 旋转一周 , 则所形成的几何体的体积是 (A.92π B.72π C.52π D.32π4. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A．324RB．38R C324R D38R5. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A． B．2 C． 2:D3 6. 棱台上、下底面面积之比为 1:9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 (A ．1:7 Ｂ． 2:7 Ｃ． 7:19 Ｄ． 5:162. 如图，在正方体 1111ABC D A B C D - 中， E 、F 分别 是 A B 、1A A 的中点，求证： ①E 、C 、1D 、F 四点共面； ②C E 、1D F 、D A 三点共线 .变式： 1. 角 α与 β的两边分别平行，当 α70=?时， β=2. 正方体 1111ABC D A B C D - 中，P 、Q 、R 分别是 A B 、A D 、11B C 的中点．那么，正方体的过 P 、Q 、 R 的截面图形是（ ） . A 三角形 . B 四边形 . C 五边形. D 六边形3. 如图， l αβ，=A 、B α∈， C β∈， 且 C l ? ，直线 AB l M = ，过 A 、B 、 C 三点 的平面记作 γ，则 γ与 β的交线必通过（ ）.A点A ；.B点B；.C点C但不通过点 M；.D点C和点 M4. 如图，空间四边形 ABCD 中， E 、F 分别是 AB 、 AD 的中点，G 、H 分别在 BC 、CD 上，且 BG ：GC =DH ：HC =1：2 （1）求证： E 、F 、G 、H 四点共面。
2）设 EG 与 HF 交于点 P ，求证： P 、A 、C 三点共线3. 如图，直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，∠ ACB =90°，M ，N 分别为 A 1B ，B 1C 1 的中点． 求证 BC ∥平面 MNB 1；变式： 1. 如图，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， ABCD 为正方形， 090=∠PAD ，且 G F E 2, A D PA 、、 ==分别是线段 CD PD PA 、、的中点求证： PB //平面 EFG ；2. 在直四棱柱 1111D C B A ABCD - 中, BC DB =, D B A C ⊥,点 M 是棱 1BB 上一点.(Ⅰ 求证：//11DB 面 BDA1；(Ⅱ 求证：MDAC⊥；PRA BCA 1B 1C EFA BC1A 1B1C1lCCB GB NA B 1（第 3-0 题）3. 如图，四棱锥 P A B C D - 的底面是边长为 1的正方形，,1,PACDPAPD⊥==（Ⅰ）求证 :P A ⊥平面 A B C D ；（Ⅱ）求四棱锥 P A B C D -的体积 .4. 在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， AC ＝3，BC ＝4，AA 1 ＝4，点 D 是 AB的中点，（ I ）求证： AC ⊥ BC 1； （II ）求证： AC 1// 平面 CDB 1 ；5. 如图，在直三棱柱 111ABC A B C - 中， E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点 D 在 11B C 上，11A D B C⊥。
求证：（ 1）EF ∥平面 ABC ；（ 2）平面 1A F D ⊥平面 11BB C C .6. 如图，在直三棱柱 111ABC A B C -中， 1AC BC CC ==，AC BC ⊥，点 D 是 AB 的中点．（Ⅰ）求证： 11CD A ABB ⊥平面； （Ⅱ）求证： 11//AC CDB 平面；（Ⅲ）线段 A B 上是否存在点 M ，使得 1A M ⊥平面 1CDB ？7. PA⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是矩形，1PAAB==，PD与平面 A B C D 所成的角是 30?，点F是 PB的中点，点 E在边 BC上移动.（1）当点 E 为 B C 的中点时，试判断 E F 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由； （2）证明：不论点 E 在边 B C 上何处，都有 PE AF ⊥；8. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥CD ，∠ DAB=60° ，AB=AD=2CD=2 ，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，且 △ PAD 为等腰直角三角形，∠ APD=90° ，M 为 AP的中点． （1）求证： DM ∥平面 PCB ； （ 2）求证： AD ⊥PB ；（3）求三棱锥 P-MBD 的体积 ._ D_ C_B_ AA ABA。