原子物理学第三次作业解答

1第二章 量子力学初步为什么要学？量子力学已经从理论物理的一个分支学科，发展成为技术专家手中的一门有力的工具：纳米（10 －9 M）科学与技术, STM 和 AFM，…对物理专业的学生，导论和准备；对应用物理专业的学生，掌握量子力学的基本知识为什么在这时候学？在波尔与索末菲的旧量子理论中：问题 1：L（轨道角动量数值）＝n ℏ，L z（轨道角动量的方向）= mℏ ；即：定态条件，作为“规定”的量子化条件引入这种强制性“规定”不符合数学逻辑问题 2：氢原子基态的电子空间分布：波尔理论：n=1 的“轨道” ，r n＝n 2a1＝a 1＝0.53A；中学物理中的“电子云” 孰是孰非？“电子云”概念是正确的， “轨道”概念是错误的正确的原子概念的建立，必须学习量子力学§2.1 光的波动粒子二象性(duality)光从何来？ 圣经：上帝创造；玻尔，爱因斯坦：能级跃迁， 光是什么？ 牛顿的微粒学说（光子流；依据：光的直线传播性质，反射折射定律） ；惠更斯－菲涅尔的波动学说（光波；证据：杨氏双缝实验－10 大经典物理实验之一）2.1.1 光的波动性波动特性参量： 频率() ，波长 ()，波矢( k)，偏振(E 0)，位相（）参量关系： ＝c ；2 /  = k；（k ·r - 2t）＝平面波的表示： E ＝ E0 cos[k·r - 2t] E0 （1）)(tie平面光波满足的波动方程： Helmhetz 方程： 2E＋k 2 E = 0 （2）单缝 双缝 光屏光源22 (Laplace 算符) ＝ （3）22zyx2.1.2 光的粒子性粒子特性参量：能量 E，动量 p。

粒子特性参量（E，p）和波动特性参量（，)由 Einstein 关系联系起来：E ＝ h ＝hc /  （4）p ＝ h /  ＝ h / c ＝ ℏk （5）p ＝ℏk ＝ (h / ) k0 (k 0 ：光传播的方向) （5 ）光子能量（4）式的实验证实：光电效应实验装置：结果：仅当入射光的频率  > min，才有光电流（光电子） 光电效应的理论解释（1905，Einstein）h － W0 ＝ （W 0：脱出功；V e ：电子脱离速度） （6）21emmin = W0 /h爱因斯坦 由于对光电效应的成功解释获得 1922 年度诺贝尔物理奖说明：光 (光子，photon) 以 h为单位携带能量， （4）式是正确的 （问题：2h 能否被吸收？）光子动量（5）式的实验证实：康普顿－吴有训散射实验（ 高能光子 －X 光被 低能自由电子 散射的实验）实验：变阻器VA－e金属电极-，X 射线低能自由电子，散射光3结果： － ＝  ＝ （1－cos） （7）cmh0康普顿散射公式（7）的理论解释：A， 能量守恒撞前： h+m0C2 (低能电子，忽略电子动能)；撞后： h＋(m 02c4 +P2c2)1/2 （相对论能量）能量守恒： h+m0C2 ＝ h＋(m 02c4 +P2c2)1/2 (8)B， 动量守恒撞前： 水平方向：h/c ； 垂直方向：0撞后： 水平方向：（h /c） cos +Pcos；垂直方向：(h /c)sin－Psin动量守恒：h/c = （h /c）cos +Pcos (9)0 = (h/c)sin－Psin  （10）联立（8） ， （9）和（10） ，消除 P 后整理得（7）式（作业） 。

说明：光 (光子，photon) 以 p = h / 为单位携带动量， （5）式是正确的康普顿（美国人）由于 X 光被 低能自由电子散射的实验获得 1927 年度诺贝尔物理奖2.1.3 光的波粒二象性光即有波动的属性，又具有粒子的属性光具有波粒二象性光的波动性参量（，）和光的粒子性参量（E，p）通过(4－5) 两式－爱因斯坦关系式联系起来§2.2 物质的波粒二象性2.2.1 德布罗意（法国人，1924，巴黎大学文理学院本科生）的类比假设-E = hp = h/=h/c-E = hp = h/cPE = (m02c4 +P2c2)1/24波动性：被人们强调光（具有波粒二象性） 德氏类比 粒子性：被人们忽略粒子性：被人们强调实物粒子（大到星体，小到电子和原子）波动性：是否被忽略了？如果是这样，实物粒子也应该具有波粒二象性！（大胆设想）如果实物粒子具有波粒二象性，表征粒子特征的参量 E 和 p 和表征波动特征的参量和 通过如下关系式联系起来：波长：  ＝ h / p （11）频率：  ＝ E / h （12）同 4，5 两式平面光波的数学表达式（1）：E(k, t) ＝ E0 ，)2(trkie其中, k ＝ p /ℏ ＝ (h / ) k0；2 ＝  ＝ E /ℏ 。

实物粒子(E, p)波的数学表达式： ( p, t) = 0 （13）/)(Etrpie德布罗意对如上“假设”的佐证：氢原子的“定态条件”L＝nℏ 的推导：若“电子”有波动性，要成为“定态”波（不向外辐射能量）必须是“驻波” 驻波”条件：弦振动 ：2L＝n ； 电子圆形轨道：2r ＝ n （r= n/2） （14）电子绕核运动的角动量：L=r×p, 数值：L = rp =（n/2）*（ h / ）= nℏ ：定态条件！（波动性的逻辑结果！）称实物粒子的这种波动性为物质波（又为：德布罗意波） 1924 年，德布罗意建议做电子束被单晶的衍射实验，证实物质波的存在；1927 年，美国人戴维孙－革末通过电子束被镍单晶的衍射实验，成功地证实了电子的波动性德布罗意由于物质波的工作，获 1927 年度的诺贝尔物理学奖；戴维孙由于电子束被镍单晶的衍射实验，获 1937 年度的诺贝尔物理学奖2.2.2 物质波的物理诠释Ln=25“电子”有动量、能量、大小（定域） ，属于典型的“实物粒子” 电子如果具有波动性，其物质波的波长满足： ＝ h / p ＝ h/ me ；如果电子的动能，v由“电子枪”通过静电场加速电子而获得，则：E k ＝ ＝eV  ve 21＝ 。

21)(emV ＝ (nm) （15）Veh25.1)(质子：M p＝1836 m e， ＝ (nm)；43/).(M=0.01（kg）的铁球， ve =0.001（m/s） ， ＝ h / p＝6.6*10 -19 (nm)和铁球自身的尺寸相比，波动性可以忽略！结论：物质波仅对“微观粒子”有意义电子经杨氏双缝的干涉实验（十大经典实验物理实验之首！）电子枪V-e-e6a） 示意图b) 270 个电子屏上的光团（定域性） ，反映出电子的粒子性；但是，非经典粒子Why？如若是，仅分布在两条直线上！c) 2000 个电子；d）60000 个电子屏上出现较明显（c）和明显的(d)干涉条纹，反映出电子的波动性；但是，非经典波Why？如若是，图 b)，也应该出现干涉条纹！问题：“电子波” （物质波）究竟是什么波？就任意一个电子，经过双缝后只能出现在屏上的一个位置；但是，此电子出现在屏上“亮”纹处的概率性大， “暗”纹处的概率性小大量的这种概率分布确定的电子，在屏上形成干涉条纹所以， （物理诠释：）物质波是一种概率波如果用波函数 ( r, t)表示物质波， ( r, t)2d (d：体积元)表示粒子在 t 时刻，在 d中出现的概率。

 量子力学基本原理之一类似掷骰子，一次只出现一面，究竟出现那一面？不知道！但是，每一面出现的概率是确定的（概率为 1/6；如果 6 面的大小不一，概率就不同Einstein 的不同观点：上帝造物不靠掷骰子 ！ －靠明确的动力学关系确定）2.2.3 不确定关系（测不准关系  量子力学基本原理之二）对一实物粒子，如果不考虑其波动性，位置（q）和动量（p）是确定的物理量（粒子的定域性） ，可以同时准确测量对一列波，其可弥漫在整个空间，位置（q）和动量（p）不再是确定的物理量（波的非定域性） 由实物粒子的“波粒”二象性，决定了： （1） （实物粒子）坐标和动量的不确定性同时测量一个实物粒子的坐标（q）和动量（p）时，如果：q 的不确定量为 q， q＝ ；（q ：一次测量量； ：多次测量均值）2)(qp 的不确定量为 p， p＝ ；（p ：一次测量量； ：多次测量均值）p则： qp  ℏ/2 （16）xpx  ℏ/23D 直角坐标中的形式： ypy  ℏ/2zpz  ℏ/2（16）的举例说明：光的单缝衍射实验（动量确定的平面波）=/qqp0=(h / ) k0p0 pp7（位置的不确定量）（动量的不确定量）p ～ p0＝（h/）/qpq ～ h（近似关系！）显然，q p  ℏ/2 中，如果： p→0（动量确定） ，则 q→ （位置不确定） ；q→0（位置确定） ，则 p→  （位置不确定） 。

从公式：q p  ℏ/2 和图形两方面看）结论： 动量和位置二者不可同时准确测量2） （实物粒子）能量和动时间的不确定性以一自由的实物粒子(势能为零 )为例：E＝ ， 所以，mp2 ptqmdtp( qptEEt ＝pq  ℏ/2（非自由的实物粒子也成立） （17）（17）的应用举例：光谱线的自然宽度理想情况： （由于自发辐射存在） 实际情况：0 = (E2 – E1)/h =[(E2ℏ/4) –E1)]/h=0  (1/8)理想的线谱： =0 谱线宽度：1/4= A/4 =  (基态)t== E2  ℏ/2 E2E2＝0h0 =1/At=E2  E2  2＝E 2 ℏ/4E1E1 =0E1E1＝08将由自发发射引起的谱线宽度称为光谱线的自然宽度例如，～10 －9 s，由此引起的光谱线的自然宽度 ～10 8HZ（可见光＝10 14－10 15 HZ） 3） “不确定关系”仅对“微观粒子”有意义设有两个实物粒子，V＝ 100 m/s, x = 10- 6 m , p～h/2 x = 6.6×10-28 Kg m/s粒子 1： m = 0.01 Kg ,p = 1 Kg m/s, p/ p～0 : 动量的“不确定”性可以忽略！粒子 2：m = m e = 9.1×10-31 Kg （微观粒子）,p = 9.1×10-29 Kg m/s, p/ p～10 . 动量的“不确定”性不可以忽略！可见， “不确定关系”仅对“微观粒子”有意义。

2.2.4 波函数和量子态1， 波函数的规一化 ( r, t)2d ：表示粒子在 t 时刻，在 d中出现的慨率； ( r, t)2 ：慨率密度； ＝ 1 （18）t),一般地， ， ( r, t) ＝ c ( r, t) , （c 为复常数）＝ c2dt2'), ( r, t) = ， ( r, t) / c：规一化波函数2, 波函数的完备性指粒子的波函数 ( r, t)一经确定，其相应的物理量 q, p, E, L，等的分布就完全确定；换言之，粒子的状态就完全确定故：波函数＝状态函数；波函数所表示的粒子状态又称为量子态, 用>（狄拉克符号）表示3, 量子态的表象类似矢量 A ，可以在直角坐标系（ x, y, z）,也可以在球坐标系（, ,r）,柱坐标系（ ,r,z）表示一样，量子态>的不同表示方式称为量子态的 表象量子态的表象有 q(坐标)， p(动量) ， E（能量） ， L（角动量。