§4 矩阵的初等变换一、初等变换的概念 二、矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 四、初等变换的应用引例：求解线性方程组①②③④一、矩阵的初等变换①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×① ④－3×① ①②③④①②③④② ÷2③＋5×② ④－3×②①②③④①②③④④－2×③ ③④①②③④①②③④取 x3 为自由变量，则 令 x3 = c ，则 恒等式①②③④三种变换： ü 交换方程的次序，记作 ； ü 以非零常数 k 乘某个方程，记作 ； ü 一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 . 其逆变换是：结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变 换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2.在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．iji ×k i ＋k jiji ×k i×k jiji÷k i－k j定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：ü 对调两行，记作 ；ü 以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ； ü 某一行加上另一行的 k 倍，记作 .其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换． 初等变换初等行变换初等列变换增广矩 阵结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换.①②③÷2 ①②③④①②③④②－③③－2×① ④－3×①①②③④①②③④② ÷2③＋5×② ④－3×② ①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④①②③④B5 对应方程组为 令 x3 = c ，则 备注n带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：¨矩阵加法＋¨数乘矩阵、矩阵乘法ר矩阵的转置 T（上标）¨方阵的行列式|∙|n不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：¨初等行变换¨初等列变换有限次初等行变换有限次初等列变换行等价，记作 列等价，记作 二、矩阵之间的等价关系有限次初等变换矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性 ；对称性 若 ，则 ；传递性 若 ，则 ．行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2. 每个台阶只有一行；3. 阶梯线的竖线后面是非零行 的第一个非零元素.行最简形矩阵：4. 非零行的第一个非零元为1;• 这些非零元所在的列的其它 元素都为零.行最简形矩阵：4. 非零行的第一个非零元为1;• 这些非零元所在的列的其它 元素都为零.标准形矩阵： 6. 左上角是一个单位矩阵，其 它元素全为零.行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参 数完全确定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系 任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换 有限次初等列变换 有限次初等变换 结论有限次初等行变换 定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵. (1)对调单位阵的两行（列）； (2)以常数 k≠0 乘单位阵的某一 行（列）；(3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ．三、初等变换与矩阵乘法的关系(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列）， 记作 E5(3, 5)记作 Em( i, j )．(2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 E5(3(5)) 记作 Em(i(k))． (3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行,记作 E5(35(k)) 记作 Em(ij(k))．以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列． ?两种理解！结论把矩阵A的第 i 行与第 j 行对调，即 .把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 .以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 .以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 .把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .性质1 设A是一个 m×n 矩阵，ü 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；ü 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.口诀：左行右列.初等变换 初等变换的逆变换 初等矩阵 ?因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以 ．一般地， ．因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以 ．一般地， ．?因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以 ．一般地， ．?初等变换 初等变换的逆变换 初等矩阵 初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：?性质2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．推论1 方阵 A 可逆的充要条件是 .推论2 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B .四、初等变换的应用解例１即初等行变换例２解列变换行变换。