布里渊区与能带11、 布里渊区与能带由周期性边界条件 r k V： 晶体体积简约区的体积倒格子原胞体积Wb简约区中k的取值总数r(k) WbN晶体原胞数考虑电子自旋，简约区中共可填充2N个电子每一个布里渊区的体积都等于倒格子原胞体积Wb ，每一 个布里渊区都可以填充2N个电子y k eikxuk x 其中 uk x 1 波函数由两部分组成：s波数为k的行进平面波： y 0) eikxk(n 0n 0n 0是波数为kk+2pn/a 的散射波的振幅s该平面波受周期场的影响而产生的散射波：因子 n1 2mU(1)y kl 在一般情况下， 由各原子产生的散射波的位相各不 相同， 因而彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅 均较小， 可以用微扰法处理l 若行进平面波的波长l2p/k正好满足条件2anl， 相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相， 它们 将相互加强， 从而使行进的平面波受到很大干涉E 0 ) E E k 2 2k(散射波中， 这种成分的振幅变得无限大， 微扰不再适用当 即时由上式可求得k 或 nl 2a这实际上是Bragg反射条件2asinqnl 在正入射情况 （即 sinq1 ） 。
2. 简并微扰当 E 0 ) E E 时，非简并微扰已不适用 k k2 k n k Gn 2 2 2 2 2 22 222 2k(k态和k态为简并态必须用简并微扰来处理y 0) eikx 和 y ) eik x零级近似的波函数是这两个简并态的线性组合 在k和k接近布里渊区边界时 0k(k( p a 1 kk k k k k n 1 np 2np np在布里渊区边界上: 1零级近似的波函数也必须写成 ( 0) Ay 0 ) By 代入Schrdinger方程 H0 H ( 0 ) E (0) H0 H Ay 0 ) By ) E Ay 0 ) By ) 0k(k( 0k(k( 0)k(k(Hkk k H k k H k U n )n k (0UUE 0k上式分别左乘yk(0)*或yk(0)* ，并积分得k = k + n由于 Hk k H k k U nE E ) E ) E 1 2E 1 22 2 0)k(2 2k(0) 0k(k(0E E 0) U n UnE E 0)k(k(久期方程:解得这里 0此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑相互作用强的k和k在微扰中的相互影响，而将其他影 响小的散射波忽略不计了。
影响的结果是使原来能量较 高的k态能量升高，而能量较低的k态的能量降低，即微 扰的结果使k态和k态的能量差进一步加大UnUn2E E(0) E E(0) E k ( 0 ) (0)0) k k k(2E 0k(对应于k态和k态距离布里渊区边界较远的情况E E 0) Unk( Ek Ek（设D 0）(1)E E 0 ) E 2 Un E Tn 布里渊区边界处自由电子的动能 E 0) 1 2 Tn 1 2E 1 2 Tn 1 22 2 0)k(0)0)0)0)22220)k( k( 0k( 0)k(k( (2) E E 0) Un 对应于k和k很接近布里渊区边界的情况k(令得E Tn Un 2 Tn 1 E Tn Un 2Tn 1 两个相互影响的态k和k，微扰后的能量分别为E 和E，当D 0时， k态的能量比k态高，微扰后使k态 的能量升高，而k态的能量降低当D 0时，E 分别以 抛物线的方式趋于Tn Un 对于D 0 ， k态的能量比k 态高，微扰的结果使k态的能量升高，而k态的能量降 低Un2TnUn2Tn由于周期场的微扰，E(k)函 数在布里渊区边界k=np/a 处出现不连续，能量的突 变为：E E E 2 U 称为能隙，即禁带宽度，这 是周期场作用的结果。
g nnEnEk (0)Ek(0)ETT6.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似一、方程与微扰计算方程： 2 U r y r Ey r 周期场： U r U r Rl Rl 为格矢Fourier展开： U r U0 Un eiGn rn 0U0 ( V ) U r dt 势能函数的平均值Un ( V ) U r e iGn r dt 微小量。