工程图学第3章点几何元素的投影

第第3 3章章 几何元素的投影几何元素的投影3.1 点的投影P b●●AP采用多面投影过空间点A的投射线与 投影面P的交点即为点A在P 面上的投影B1●B2●B3●点在一个投影面上的 投影不能确定点的空间位 置点在一个投影面上的投影a●3.1.1 点在两面投影体系中的投影1.两面投影体系如图所示的两个互相垂直的投影面，处于正面直立位置的 投影面为正投影面，以V表示，简称V面处于水平位置的投 影面称为水平投影面，以H表示，简称H面 V面与H面的交线称为OX投影轴 ，简称X轴两个互相垂直的投影面把空间 分为4个分角，依次为Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示2.点的两面投影图a— 点 A的水平投影a’— 点A的正面投影展开方法：将H面绕X轴向下旋转90°3. 点的两面投影规律 1） 点的水平投影和正面投影的连线垂直于X轴，即aa⊥X轴;2） 点的水平投影到X轴的距离等于空间点到V面的距离， 即 aax=Aa’;3) 点的正面投影到X轴的距离等于空间点到H面的距离, 即 a’ax=Aa.HWV3.1.2 3.1.2 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影投 影 面◆正面投影面（简称 正面或V面）◆水平投影面（简称水 平面或H面） ◆侧面投影面（简称 侧面或W面）投 影 轴oXZOX轴 V面与H面的交线OZ轴 V面与W面的交线OY轴 H面与W面的交线Y三个投影面互 相垂直1. 点的三面投影三个投影轴互相垂直投影轴的交点称为原点空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的 投影用小写字母或加“，”表示 。

WHVoXa●a●a●A●ZYWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向后翻向下翻不动投影面展开aaZaayayaXYHYWO●●az●xY轴分解为两部分——YH、YW点的三面投影和坐标的关系为：画出A点投影图和举例Ø 水平投影 a 反映了A点X和Y的坐标；Ø 正面投影 a’反映了A点X和Z的坐标；Ø 侧面投影a”反映了A点Y和Z的坐标yxzOAVHWa'aa“ XZYaxaayz点 的 投 影 规 律:① aa⊥OX轴② aa⊥OZ轴③ aax= aaz●●●●XYZOVHWAaaaxaazay ●●YWZazaXYHaywOaaxayHa●2. 点的坐标和三面投影规律点的坐标与三面投影的关系 Aa“=a'az=aay=axO=xA Aa'=aax=a“az=ayO= yA Aa=a'ax=a“ay=azO=zA综合点的坐标和三面 投影的投影规律如下：1、a'a⊥OX，a'az=aayH=xA 2、a'a“⊥OZ，a'ax=a“ayw=zA 3、aax=a“az=yAZazX●●YWayHaywOaaxayHa●Y●●●●ZOVHWAaaaxaazayxzY具体作图时用45°辅助线帮助作图【例】已知A（20、15、15），作出A点的三面投影。

1)作OX、OY和OZ轴，并作∠YHOYW的角平分线45º线 2) 自O点沿OX轴量取20，即XA = 20，得ax点3) 过ax点作OX轴的垂线，在此垂线上沿OYH轴方向量取15，即YH = 15，得a点；在此垂线上沿OZ轴方向量取15，得a＇点4) 由a‘作OZ轴的垂线，交OZ 轴于az , 在此垂线上沿OYW轴方向量取aza″= axa = YA = 15，得a″●●aaax例：已知点的两个投影，求第三投影例：已知点的两个投影，求第三投影●a●●aaaxazaz解法一:通过作45°线 使aaz=aax解法二:用分规直接量 取aaz=aaxa●3. 3. 特殊投影点：特殊投影点：d dee f’f e fd zxYWYH0例：已知点的两投影，求其第三投影例：已知点的两投影，求其第三投影daa  a 3.1.3 3.1.3 两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置指两点 在空间的上下、前后、左右 位置关系判断规律：▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前▲ z 坐标大的在上B点在A点之前、 之右、之下baa abb●●●●●●XYHYWZ1. 两点的相对位置的确定例题例题2 2 已知已知A A点在点在B B点之前点之前5 5毫米，之上毫米，之上9 9毫米，之右毫米，之右8 8 毫米，求毫米，求A A点的投影。

点的投影a a aXZYWYHOb bb 9852. 重影点重影点：空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点A、C为H面的重影点被挡住的投 影加( )●●●●●aacc( )a c图1—9 重影点的投影一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一 个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相 邻的投影面之间的距离 即a'a⊥0X ；a'a“⊥0Z；aax =a”az点的三面投影规律点的一个投影反映了点的两个坐标已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个 投影都不在投影轴上投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影 与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与 所在投影轴重合，另一个投影在原点上与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都 与原点重合 各种位置点的投影两点的相对位置两点的相对位置是根据两点相对于投影 面的距离远近（或坐标大小）来确定的X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。

根据一个点相对于另一点上下、左右、 前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作 出其三面投影若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则 这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影 面的重影点重影点在三对坐标值中，必定有两对相等从投 影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的 投影遮住而不可见判断重影点的可见性时，需要看 重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可 见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示重影点及可见性判别3.2 直线的投影3.2.1 3.2.1 直线投影的性质和画直线投影的性质和画 法法空间两点确定一条直线，只要将两点 的同名投影用直线连接，就得到直线的同 名投影直线对一个投影面的投影特性1. 1. 直线投影的性质直线投影的性质AB●●●●ab直线垂直于投影面 投影重合为一点积 聚 性直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面 投影比空间线段短ab=ABcosα●●AB●●abαAM B●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●直线投影的基本特性 一般情况下， 直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点2. 直线投影的画法3.2.2 各种位置的直线投影面 平行线平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜投影面 垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面1 1、、 一般位置直线一般位置直线投影特性：三个投影都与投影面倾斜且都缩短。

即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的真实大小abbaba一般位置直线与H面的夹角:α 与V面的夹角:β与W面的夹角:γ0°＜α、β、γ＜90°2 2、、投影面的平行线投影面的平行线水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线baaba bbaabba①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反 映直线与另两投影面倾角的真实大小 ②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，且长 度缩短水平线侧平线正平线γ投 影 特 性：实长实长实长βγααβbaaabb3. 3. 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线反映线段实长且垂直于相 应的投影轴铅垂线正垂线侧垂线② 另外两个投影，① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)ABbbaaCXO3.2.3 3.2.3 一般位置直线的实长及对投影面的倾角一般位置直线的实长及对投影面的倾角|zA-zB|1 1、、 几何分析几何分析在平面ABba中， 过A点作AC∥ab， 得△ABC为一直角 三角形。

求线段AB的实长 和H面的倾角α，可 归结为求直角三角形 ABC的实形问题2、 作图方法XaabbAB|zA-zB|ab求AB直线的实长和H面的倾角α方法一： XaabbZB-ZAZB-ZAabAB|zA-zB|方法二：求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角aXabbabABAB ab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|ABbbaaCXO|YA-YB|求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角ZXabaOYHYWabbXZYOABbbabaa|XA-XB||XA-XB|例题例题 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB，其投影，其投影a’ba’b’ ’和和b b, ,求水平投影求水平投影ababa|zA-zB|ab ab|yA-yB|ABABab|zA-zB|bXabAB有两解3.2.4 3.2.4 直线上的点直线上的点1. 1. 直线上点的投影直线上点的投影直线上的点，其各投影面上的投影必在该直线的同面 投影上；反之，如果点的各投影面的投影在直线的同面投 影上，则该点必在直线上。

◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投 影上并将线段的同名 投影分割成与空间相同 的比例即： 2. 点分割线段成定比AC/CB=ac/cb= ac / cbABCVHb ccbaa定比定理直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：ABbbaaXOcc Cc从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上利用这一特性可以在直线上找点，或判断投影上利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上已知点是否在直线上 定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比即A CA C: : C BC B = = a c a c : : c bc b= = a a c c : : c c b b = = a a c c : : c c b b 点C不在 直线AB上例：判断点C是否段AB上abcab c①c②abcab●点C在直 线AB上已知直线上点的一个投影，怎样求其余投影dd’例2：判断点K是否段AB上。

ab●k 因k不在a b上，故点K不在AB上应用定比定理abkabk●●另一判断法?例题3 已知点C 段AB上，求点C 的正面 投影bXaabccaccbXOABbbaacCcHVbbXaaL例： 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的 投影， 使BC 的实长等于已知长度LcLABzA-zBcab3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置平行相交交叉垂直相交空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉1. 平行两直线投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然aVHcbcdABCDbda由于空间两平行直线对于同一投影面的倾角相同，故两直线。