利用空间向量解决立体几何问题学习提纲\引入两个重要空间向量1、 直线的方向向量；2、 平面的法向量•、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1) 直线与直线的位置关系；(2) 直线与平面的位置关系；| (3)平面与平面的位置关系； *、求解空间中的角度；3、 求解空间中的距离一■引入两个重要的空间向量1•直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向 量都称为直线的方向向量如图，在空间直角坐标系中，由AOWi，与〃（兀2丿2忆2）确定的直线A3的方向向量是2平面的法向量■如果表示向量厂的有向线段所在的直线垂直 于平面％称这个向量垂直于平面a,记作 才丄a,这时向量丹片做平面a的法向量.■ 3•在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的 坐标呢？■如图，设务(x1 ,Yi冃)、b=(x2,y2,z2)是平面a内 的两个不共线的非零向量，由直线与平面垂直 的判定定理知，若n工a且n工b,则n工a.换句话 说，若n・a TOXn・b :则n丄a.（1）求平面的法向量的坐标的一般步骤：■第一步（设）:设出平面法向量的坐标为n=（x5y,z）.■第二步（列）根据na = 0>nb = 0可列出方程组[片兀+儿）；+ Z&二0[x2x + y2y+ Z2Z = 0■第三步懈）:把z看作常数，用z表示x、y.■第四步（取）:取z为任意一个正数（当然取得越特殊越 好），便得到平面法向量F的坐标.■例1在棱长为2的正方体ABCD・AiBiCQi中Q 是面AC的中心，求面OA〔Di的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OAQ1的法向量的法向量为n=(x,y5z)5 那么0(1, 1, 0), A〔(0, 0, 2), 6(0, 2, 2) 由颈=(-1, -1, 2) , odx= (-1, 1, 2)-兀- y+ 2z 二 0 [x = 2z十 y + 2“0 解得:I :取z =1 ；；； ；；；；得平|ft|OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:■第一步:写出平面申两个不平行的向量■ a = (x^y^zj, b = (x25y2,z2)5■第二步:那么平面法向量为® 儿 S二■立体几何问题的类型及解法■ 1 •判定直线、平面间的位置关系 ；＜■ (1)直线与直线的位置关系■不重合的两条直线a,b的方向向量分别为^① 若玄〃 B即a=Ab^则a // b.② 若W丄B即ab = 0,贝临丄b■例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形,ZC〔CB=ZCiCD=ZBCD 二 Q 求证:CG丄BD■证明：设莎二瓦莎二b, cc^ = c,■依题意有吃|=| 6 |,■于是莎二 cd -cb a-b■ •: cc、・ JB = c (a -E)= c a -c b■ = |c|-|a|cos0-|c[-|b[ cos0=O・・・CCi丄BD■ (2)直线与平面的位置关系■ 直线L的方向向量为瓦平面a的法向量为可 且L■①若a//n,即百二入r0WL丄a ；； ；■②若百丄瓦即a n = 0,则a // a.n a■例3棱长都等于2的正三棱柱ABC・A[BiCi,■ D,E分别是AC,CC1的中点，求证：■解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.M-A(-15O5O)5B(O5V75O)5 E(15o51), A心 g B〔(0伍2), C2O2).■设平面DB。
的法向量为Tf=(xyz),则fx + 2z = 0 民刑亠 p f= _2z■ !v?, = o 解N得〔八■取 得 n=(-2,0,1)■ (1)布二(2,0,-1)=・了,从而A〔E 丄平面DB■ (2)ab^ =(i,V3,2)，而 aF- n =-2+0+2=0/.AB^ 〃平面DBC〔• (3)平面与平面的位置关系■平面a的法向量为石,平面|3的法向量为nJ■①若叫〃皿BPn1=An2,则a〃0 -②若币丄応,即帀n2= 0,则a丄0■例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BBn CD的中点，求证:平面AED丄平面A〔FD"韭驴以A为原点建立如图所示的的直角坐 标系A・xyz,■设：正方体的棱长为乙■買款屠噺忍1哪诙6■设平面AED的法向量为n〔=(xyz)得—乙2O■取z=2得“讦㈠,0,2)■同理可得平面A/D的法向量^2=(2,0,1)■V 屯・芯=-2+0+2=0・••平面AED丄平面A〔FD2 •求空间中的角■ (1)两异面直线的夹角■利用向量法求两异面直线所成的夹角，不用 再把这两条异面直线平移，求出两条异面直 线的方向向量，则两方向向量的夹角与两直 线的夹角相等或互补，我们仅取锐角或直角 就行了.■例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点，则对角线DB〔与CM所成角的余弦 值为 ■-解：以A为原点建立如图所示的直角坐标 系A-xy乙设正方体的棱长为2,那么M(1A 0), C(252,0)5 B[(2,0,2), D(0,2 ,0),于是：CM = (-1-2,0) DB^} = (2,-2,2) ■设DB[与CM所成角为e, 碣 而所成角为a,■ /• cos0 =|cosa|_ -2 + 4 + 0 _ 2 _ V15J1 + 4 + 0J4 + 4 + 4 — 7?・4・語一 30(2)直线与与平面所成的角若rl是平面a的法向量，百是直线L的方向向量, 设L与a所成的角6, n-^a所成硏角a-例6正三棱柱ABC・A[BiCi的底面边长为比高为VL,求A®与侧面ABBA所成的角。
■解:建立如图示的直角坐标系，则■ A（±O,O）,B（O各,0）A［行 O）.C（・仁0®）设面ABBA的法向量为n=(x,y5z)AB — ( ,_ d,O), AA] = (0,0, \l~2a)1 4 2 2由Pr+2rav + 0 = 0 ,解得 P= ,[ 辰Z = 0 I z = o取，得肚(3用,0),= （―tz,0, 血）与斤夹角为a而 sin 0• • 0 ==1 cos a丨—3a + 0 + 0 丨a/ 9 + 3 + 0 Jo? + 0 + 2q13a 12• ypia 2故：A®与侧面ABBA所成的角大小为30■ （3）二面角■设币、祗分别是二面角两个半平面a、0的法 向量，由几何知识可知，二面角a丄的大小 与法向量①、幵2夹角相等（选取法向量竖坐 标z同号时*目等）或互补（选取法向量竖坐标 Z异号时互补），于是求二面角的大小可转化 为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.■例7在四棱锥S・ABCD中ZDAB=ZABC=90 狈0棱SA丄底面AC, SA=AB=BC=1, AD=2,求 二面角A-SD-C的大小.解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则B (1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D (0, 2, 0) , S (0,0, 1).■设平面SCD的法向量％=(x,y,z),则由SC取 z = 2 得叫=(1，2)・y =—2=(1J-1XCD = (-1,1,0)得 I Zx + y — Z = o z ",解得—乂 + y = O■而面SAD的法向量?？2 = (1,0,0).■于是二面角A-SD-C的大小e满足cos 0 =cos < n[,n2 >=J1 + 1 +■ •••二面角A-SD-C的大小为_ 1 _ y/~6 6arc cos ・63 •求解空间中的距离■ (1)异面直线间的距离■两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用 向量的正射影性质直接计算.■如图，设两条异面直线a、b的公 垂线的方向向量为帀这时分别在 a、b上任取A、B两点，则向量在汗 上的正射影长就是两条异面直线—-a、b的距离.・・•彳」乔 才,=I必•厂I• —► • —► ••即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.■例8在棱长为1的正方 mBCD-A1B1C1D1中, 求异面直线A®与BD间的距离.■解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz55M A(O5O5O)5B(15O5O),D(O515O)5C1(15151)5 设异面 直线AC［与BD辱垂线的方向向量n=(x,y5z), 则由疋 =(1,1,1), BD ={-1丄価■J 乂 +y+Z = O 1^ = - f \ l \」—"八° ^ = -i K=(-15-152).:■ */ AB = (1,0,0) ,■・••异面直线AC［与BD间的距离I—1 — 0 + 0IJ1 + 1 + 4■ （2）点到平面的距离蚀0（翊线AB及墾 AH.I ~\H 1=1 AB l-sin <9 =1 A8 l-l cos■ A为平面a外一点（如图），砌平面c（的法向量，过A作\AB\- I AB \-\n\I AB • n I沪于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模 的比直 —一丨佔・〃 Id = ■例9在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1 = 7? ,AC=BC=1, z^ACB=90■求比到面A〔BC的距离.■会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平 面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.■例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形5AB=45 ZABC=60°，狈0棱PA丄底面AC且PA=4,E是PA 的中点，求PC与平面PED间的距离.解:以A为原点、AB为x轴、AACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系，则F为CD的中点，于是A(0,0,0), B(4,O3O)5 F(0,2 QO), C(2,2V7 ,0), D(-252V?5O)5P(O5O54),E(O5O52).设面BED的法向量n=(x5y,z)5由BE = (-4,0,2), DE—4x + 2 乙=O[2x - 2佑，+ 2乙=~PC = (2,2^3,-4)=(2,—2坂2),得J "匕’収一 2,得 n=(15 52).2 =亍:.h^= 2+6-8=0,故PC〃面BED，•••PC到面BED的距离就是P到面BED的距离，EP =£0,2)I EP ・ 〃 II I Jl + 3 + 4■空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。
这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。