1运用二次函数解商品销售利润最大问题福建 周奕生商品怎么样销售才能使利润最大，这是商家老板最为关心的问题，也是近几年来中考命题的热点之一，解答这类问题最常用的方法之一是建立二次函数模式，利用二次函数的最大值或最小值解之．例１ 某商店经营一种成本为每千克４０元的水产品．据市场分析，若按每千克５０元销售，一个月能销售出５００千克；销售单价每涨１元，月销售量就减少１０千克．针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题：（１）当销售单价定为每千克５５元时，计算月销售量和月销售利润；（２）设销售单价定为每千克ｘ元，月销售利润为ｙ元，求ｙ与ｘ之间的函数关系式（不必写出ｘ的取值范围） ；（３）商店想在月销售成本不超过１００００元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少？解：（１）月销售量为：５００－（５５－５０）×１０＝４５０（千克） ，利润为（５５－４０）×４５０＝６７５０（元） ；（２）仿（１）可得ｙ＝（ｘ－４０） 〔５００－（ｘ－５０）×１０〕 ，整理，得： ；40102xy（３）要使销售利润达到８０００元，即ｙ＝８０００，故 ，8412x解之，得ｘ＝６０或８０．当ｘ＝６０时，月销售量为４００千克，所需成本１６０００元，与题意不符；当ｘ＝８０时，月销售量为２００千克，所需成本为８０００元．故销售单价应定为每千克８０元．请大家想一想：当每千克定价为多少元时，所获月利润最大？最大利润是多少？，此时所需成本是多少？例２ 某高科技发展公司投资５００万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代品，并投入资金１５００万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本是４０元，在销售过程中发现：当销售单价定为１００元时，年销售量为２０万件；销售单价每增加１０元，年销售量将减少１万件，设销售单价为ｘ（元） ，年销售量为ｙ（万件） ，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资）为ｚ（万元） ．（１）试写出ｙ与ｘ之间的函数关系式（不必写出ｘ的取值范围） ；（２）试写出ｚ与ｘ之间的函数关系式（不必写出ｘ的取值范围） ；（３）计算销售单价为１６０元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别是多少？（４）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于１１３０万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？解：（１）当销售单价定为ｘ元时，年销售量减少 （ｘ－100）万件，10故ｙ＝２０－ （ｘ－１００）＝－ ｘ＋３０；102（２）ｚ＝（３０－ ｘ） （ｘ－４０）－５００－１５００10＝－ ＋３４ｘ－３２００；210x（３）当ｘ＝１６０时，ｚ＝－ × ＋３４×１６０－３２００＝－３２０，26反过来，当ｚ＝－３２０时，－ ＋３４ｘ－３２００＝－３２０，210x整理，得 －３４０ｘ＋２８８００＝０，解得 ＝１６０， ＝１８０，1x2x故同样的年利润，销售单价还可以定为１８０元，当销售单价定为１６０元，即ｘ＝１６０时，年销售量ｙ＝－ ｘ＋３０＝１４（万10件） ；当销售单价定为１８０元，即ｘ＝１８０时，年销售量ｙ＝１２（万件） ．（４）由ｚ＝－ ＋３４ｘ－３２００＝－ ，得210x37102x当ｘ＝１７０时，ｚ最大值为－３１０，也就是说，当销售单价定为１７０元时，年获利最大，并且到第一年年底公司还差 ３１０万元就可收回全部投资．第二年的销售单价定为ｘ元时，年获利为：ｚ＝（３０－ ｘ） （ｘ－４０）－３１０＝－ ＋３４ｘ－１５１０，10210x当ｚ＝１１３０时，－ ＋３４ｘ－１５１０＝１１３０，2x解得 ＝１２０， ＝２２０．12x又函数ｚ＝－ ＋３４ｘ－１５１０的图象如图0所示，故由图象可知当１２０≤ｘ≤２２０时，ｚ≥ １１３０．所以第二年的销售单价应定在不低于１２０元，且不高于２２０元之间．想一想：第二年的定价定为多少时，年利润最大？例３ 某商场经营一批进价为ａ元／台的小商品，经调查得如下数据：销售价（ｘ元／台） ３５ ４０ ４５ ５０日销售量（ｙ台） ５７ ４２ ２７ １２日销售额（ｔ元） 1995 1680 12１5 ６００日销售利润（Ｐ元） ２８５ ４２０ 4０5 ２４０（１）请把表中空白处填上适当的数；1130 120 220Ｏ ｘｚ3（２）在所给的坐标系中，根据（１）中的数据描出实数对（ｘ，ｙ）的对应点，并且写出ｙ与ｘ的一个函数关系式；（３）根据（２）中的关系写出Ｐ与ｘ的函数关系式，并指出当销售单价ｘ为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：（１）由题意，得ｔ和Ｐ的计算公式分别是：ｔ＝ｘｙ，Ｐ＝ｔ－ａｙ，把ｘ＝３５，ｙ＝５７，Ｐ＝２８５代入，得ａ＝３０，从而ｔ＝ｘｙ，Ｐ＝ｘｙ－３０ｙ，显然，填写表格的关键是日销售量ｙ．由ｘ＝４０，ｔ＝１６８０，得１６４０＝４０ｙ，ｙ＝４２，故日销售量的第一空填４２；由ｘ＝５０，Ｐ＝２４０，得２４０＝５０ｙ－３０ｙ，ｙ＝１２，故日销售量的第二空填１２；余者如表中的带下划线的数；（２） （ｘ，ｙ）的四个实数对是（３５，５７） ， （４０，４２） ， （４５，２７） ，（５０，１２） ，其对应点如图所示；观察这些点的位置可知它们在同一直线上，因此，ｙ是ｘ的一次函数，设ｙ＝ｋｘ＋ｂ，把点（４０，４２）和（５０，１２）分别代入，得，解之，得ｋ＝－３，ｂ＝１６２，40251kb所以，ｙ＝－３ｘ＋１６２；（３）因为Ｐ＝ｘｙ－３０ｙ，ｙ＝－３ｘ＋１６２，所以，Ｐ＝ｘ（－３ｘ＋１６２）－３０（－３０ｘ＋１６２） ，整理，得Ｐ＝－３ ＋２５２ｘ－４８６０，2x当ｘ＝－ ＝４２时，Ｐ最大值＝４３２，53故当销售单价ｘ为４２元，可获得最大日销售利润４３２元．例４ 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从２月１日起的２００天内，西红柿市场售价Ｐ与上市时间ｔ的关系用图甲的一条线段表示；西红柿的种植成本Ｑ与上市时间ｔ的关系用图乙中的抛物线表示． （其中，市场售价和种植成本的单位为：元／１００千克，时间单位为：天）（１）写出图甲表示的市场售价Ｐ与时间ｔ的函数关系式；（２）写出图乙表示的种植成本Ｑ与时间ｔ的函数关系式；（３）如果市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时上市的西红柿纯收益最大（可借助配方或草图观察）？解：（１）从图甲中可见：当ｔ＝０时，Ｐ＝３００；当ｔ＝２００时，Ｐ＝１００．设Ｐ＝ｋｔ＋ｂ，则0 10 20 30 40 50 60 x605040302010yＯ 100 200 ｔＰ300200100图甲4，解得ｋ＝－１，ｂ＝３００，3021bk故Ｐ＝－ｔ＋３００（０≤ｔ≤２００） ；（２）从图乙中可见：抛物线的顶点为（１５０，１００） ，且经过点（５０，１５０） ，故可设抛物线的解析式为Ｑ＝ａ ，2150t把ｔ＝５０，Ｑ＝１５０代入，得１５０＝１００００ａ＋１００，ａ＝ ，120故Ｑ＝ （０≤ｔ≤２００） ；1202510t（３）设ｔ时刻的纯收益为Ｓ元，则Ｓ＝Ｐ－Ｑ＝（－ｔ＋３００）－｛ ｝ ，1202510t整；理，得Ｓ＝－ （０≤ｔ≤２００） ，120t即Ｓ＝－ （元） ，35t又０≤ｔ≤２００，故当ｔ＝１００时，Ｓ最大值为 （元） ．32520015010050O50 100 150 200 ｔ图乙Ｑ。