利用旋转变换巧解几何问题杨新华(山东省阳信县河流镇中学, 251807)? ?旋转变换在平面几何解题中有着广泛的应用, 特别是当条件中出现等腰三角形、 正三角形、 正方形、 中线 (或中点 ) 时, 常考虑通过图形的旋转构造全等三角形, 以集中条件, 求得问题的解决. 常用旋转法求解的题目有两类.一、 不用旋转法难以解决的问题例 1? 费尔马问题.如何找一点 P, 使它到 ?ABC的三个顶点的距离之和PA + PB +PC最小?这个问题是法国著名数学家费尔马提出来的, 它是几何中一个著名的极值问题. 如图 1 .解析 ? 如图 2, 设点 Q 为 ?ABC内任一点, 要研究 QA + QB + QC的大小, 可以先把它们首尾相连. 现将 ?AQC 绕点 A 逆时针旋转60?到 ?AQ C 位置, 则 ?A 与 ?ACC 均为正三角形, 所以 QB + QA + QC = QB + + Q C , 这里右面三段已经首尾相连了. 因为点 B、 C 为定点, BC 为定长, 所以当 B、 Q、 Q 、C 四点成一直线时, QA + QB + QC为最小, 这时!BQA = 180?- !A = 180?- 60?= 120? .!AQC = !AQ C = 180?- !AQ Q= 180?- 60?= 120? .!BQC = 360?- !BQA - !AQC= 360?- 120?- 120?= 120? .由此可见, Q点对 ?ABC每边的张角都是120? .进一步研究就可彻底解决费尔马问题:当 ?ABC的每一内角都小于 120?时, 所求的P点对三角形每边的张角都是 120? , 可在 AB、BC边上分别作 120?的弓形弧, 两弧在三角形内的交点就是P点:当 ?ABC有一内角大于或等于 120?时,易知所求的 P 点就是钝角的顶点. 就这样, 一个看上去很难的几何问题, 只作了一次旋转就轻轻松松得以解决.例 2? (2008年广东中考题 )如图 3, 已知正方形 ABCD 内一动点 E到 A、 B、 C三点的距离之和的最小值为 2 +6, 求此正方形的边长.解析 ?实际这是费尔马问题的变形, 只是背景不同, 要解决这个问题, 关键是要找到最小值时 E点的位置, 否则无从下手. 用旋转法, 把 EA、 EB、 EC连接起来, 通过直线距离找最小值. 将 ?ABE 绕 B 点逆时针旋转 60? , 得?FBG, BE变到 BG, BA变到 BF, 连接 GE, EC,FC. 由于 !EBG = 60? , BE = BG, 故 ?BEG为等边三角形, GE = EB, 得FC ∀ FG + GE + EC,即 FC ∀ EA + EB + EC.#9#第 2期 ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 初中数学教与学在此, F、 C为定点, 则 FC 为定长, 故当 E点落在 FC上时, FC便是 EA + EB+ EC的最小值.而 FC =2+6, 过点 F作FH ∃ BC交 CB的延长线于点 H, 由于 !ABF = 60? , 所以!FBH = 30? .设 BC = x,则FB = x, FH =x 2, HB =3 2# x.在 Rt?FHC中,FC2= FH2+ H C2.( 2 +6)2=x 22 +x +3 2x2x = 2,或 x = - 2(舍去 ).即正方形的边长为 2.注 ? 在利用旋转变换解题时, 将哪一个点作为旋转中心, 让哪一个 (部分 )图形旋转,旋转多大角度, 这三点是利用旋转法解题的关键, 要根据具体问题来加以分析.二、 用旋转法比较简单这类题目在解题时需要换个角度, 用运动的观点来观察认识处理图形.1. 凭借正方形旋转变换解题与正方形有关的问题, 常取正方形的顶点为旋转中心, 旋转角取 90? .例 3? 如图 4, 在正方形 ABCD 的 BC、 CD边上分别有点 E、 F, !EAF = 45? , AH ∃ EF,H为垂足, 求证: AH = AB.解析 ? 从表面看, 应该设法证 ?AEH 与?AEB全等. 但是, 由题目条件, 较难直接证得, 尤其是 !EAF = 45?这个条件不易用上.由 !EAF = 45?可知, !BAE与 !FAD的和也是 45? , 不过这两个角的位置太分散了. 因此,考虑用旋转法使这两个角靠近. 让 ?ADF 绕点 A顺时针旋转 90? , 使AD与AB重合, 如图 5,?ADF 转到 ?ABK 的位置上, 此时 !FAD 到了 !KAB的位置, !KAE正好是 45? , 由于 !D= 90? , K、 B、 E三点必共线. 由图发现 AB、 AH分别是 ?AEF 和 ?AEK 的高, 若能证出此两个三角形全等, 就可据全等三角形对应边上的高相等, 证出AH 和AB相等. 事实上, 据旋转有 AK = AF, AE为公共边, !KAE = !EAF =45? , 得这两个三角形全等, 从而 AH = AB.2 . 凭借等边三角形旋转变换解题例 4?如图 6, 已知点 P 为等边三角形ABC内一点, PA = 2, PB = 2 3, PC = 4, 求?ABC的边长.解析 ?这个图形结构简明, 总共有 6条线段: 3条已知的线段架成三叉状, 长度正好构成直角三角形; 3条未知的线段正好围成一个正三角形, 我们怎样从 2, 2 3, 4求出边长 x呢?这个问题的困难在于条件分散, 不好利用. 要是能把那些分散的元素集中起来, 比如说, 把三叉状的三条线段集中起来构成一个三角形, 说不定解起来就方便了. 把 ?PBA 绕点 B逆时针旋转 60?到 ?PBC的位置, 如图 7,使 BA与 BC重合, PB变到 P B, 连接 CP , 可知?BPP 为等边三角形.PP = PB = 23, CP = PA = 2,?PCP 的三边长分别为 2, 2 3, 4, 由勾股定理逆定理知 ?PCP 为直角三角形, 且!CPP = 30? , 从而? !CPB = !CPP + !BPP = 30?+ 60? = 90? .在直角三角形 ?BPC中,#10#初中数学教与学 ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 2010年BC =PC2+ PB2=42+ ( 2 %3)2= 27,即 ?ABC的边长为 2 7. 三叉状的数值为2, 2 3, 4的线段, 经过旋转, 居然围成了一个三角形 &&& 而且是直角三角形 (?PCP ).3. 凭借等腰三角形旋转变换解题例 5? 如图 8, ?ABC为等腰直角三角形,!ACB = 90? , 点 M、 N 为斜边 AB上两点, 若!MCN = 45? , 试说明 AM、 MN、 NB构成一个直角三角形.解析 ? 要说明 AM、 MN、 NB 可构成一个直角三角形, 而现在这三条线段在同一直线上, 如何将三条线段集中于同一三角形中呢?若以点 C为旋转中心, 将 ?CBN 顺时针旋转90?至 ?CAN , 如图 9, 使 CB变到 CA, CN 变到CN , BN 变到 AN , 连接 MN , 因 !M CN =45? , 所以 !MCN = 45? ,M C为公共边, 从而?MCN ∋ ?MCN , 得 MN = MN .又因 !N AM = !N AC + !CAM = !B+ !CAB = 90? , 所以 ?N AM 为直角三角形,即 AM、 MN、 NB可构成一个直角三角形.4. 凭借中线旋转变换解题例 6? ?ABC中, AB = 5, AC = 6, 则BC边上中线 AD 的长的取值范围为多少?解析 ? 如图 10, 两已知线段 AC、 AB与所求线段 AD 不在同一三角形中, 故考虑用旋转将所涉及的线段集中到同一三角形中, 以便利用三角形的三边关系. 如图 11, 将 ?ADC绕点 D顺时针旋转 180? , 得 ?EDB, DC与 DB重合, AC与 EB重合, AD = DE, AB、 AC、 AD 都到同一个三角形 ABE中去了.? ? 因为 BE- AB FP, 所以 CF+ BE > FP. 因点E、D、 P共线, 所以 !FDE = !FDP = 90? . 知?FDE ∋ ?FDP, 所以 FP = EF, 从而 CF +BE > EF.从以上问题可以看出, 应用旋转法解题,图形本身一般应该有这样的特点, 就是必须有同一端点的两条线段相等这个条件. 这时,我们把这个端点当作旋转中心, 把相等的两条线段的夹角作为旋转角, 这样, 一个以其中一条线段为基准的图形就会旋转到以另一条线段为基准的新的位置上去, 通过图形的旋转, 达到集中条件、 沟通已知、 便于求证的目的.#11#第 2期 ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 初中数学教与学。