1 椭圆题型总结一、焦点三角形1. 设 F1、F2是椭圆12322yx的左、右焦点，弦AB 过 F2，求1ABF的面积的最大值法一）解：如图，设2(0)xF B，22|AFm BFn，根据椭圆的定义，1|2 3AFm，1|2 3BFn，又12|2F F，在 AF2F1和 BF2F1中应用余弦定理，得2222(23)44cos(23)44 cosmmmnnn，23cosm，23cosn，11211| |2 ()sin22F ABBASF Fyymn22()sin3cos3cos24 3sin2sin令sint，所以01t ，21( )22tg tttt在(0 1，上是增函数当1t，即2时，max1( )3g t，故1ABF的面积的最大值为433（法二） 解： 设 AB ：x=my+1 ，与椭圆2x2+3y2=6 联立，消 x 得 (2m2+3)y2+4my-4=0 AB 过椭圆内定点F2，恒大于 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 =48(m2+1) 1ABFS=|y1-y2|=4 322123mm=4 32221(23)mm令t=m2+11 ，m2=t-1，则1ABFS=431144tt，t1,+) f(t)=144tt在 t1,+)上单调递增，且f(t)9,+) t=1 即 m=0 时， ABF1的面积的最大值为4 33。
注意： 上述 AB 的设法： x=my+1 ，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即 m=0 的时候在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论F2F1AOBxyF2F1AOBxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 2 2. 如图， M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足：6.PMPN(1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 若21cosPMPNMPN，求点P 的坐标. 解： (1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M、N 为焦点，长轴长2a=6 的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴 a=3，从而短半轴b=225ac， 所以椭圆的方程为221.95xy(2) 由2,1cosPMPNMPNg得cos2.PMPNMPNPMPNgg因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M、N 构成三角形 . 在PMN 中，4,MN由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPNg将代入，得22242(2).PMPNPMPNg故点 P在以 M、N 为焦点，实轴长为2 3的双曲线2213xy上. 由( )知，点 P 的坐标又满足22195xy，所以由方程组22225945,33.xyxy解得3 3,25.2xy即 P 点坐标为3 353 353 353 35(,)22222222、（，-）、（ -，）或（，-）.二、点差法定理在椭圆12222byax（ab0）中，若直线l与椭圆相交于M、N 两点，点),(00yxP是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN. 3. 直线 l 经过点 A(1，2)，交椭圆2213616xy于两点 P1、P2，（1）若 A是线段 P1P2的中点，求l 的方程；（2）求 P1P2的中点的轨迹名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 3 解： （1）设 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则116361163622222121yxyx016)(36)(21212121yyyyxxxx*A(1，2)是线段 P1P2的中点， x1+x2=2，y1+y2=4，016)(436)(22121yyxx，即922121xxyy。
l 的方程为2) 1(92xy，即 2x+9y-20=0（2）设 P1P2的中点 M(x，y)，则 x1+x2=2x，y1+y2=2y，代入 * 式，得yxxxyyk942121，又直线 l 经过点 A(1，2)，21ykx，整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0， P1P2的中点的轨迹：221()(1)2151029xy4. 在直角坐标系xOy中，经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点P 和Q. （1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OQOP与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解： （1）直线l的方程为.2kxy由. 12,222yxkxy得：.0224)12(22kxxk直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点，)12(83222kk0.解之得：k22或k22. k的取值范围是,2222,. （2）在椭圆1222yx中，焦点在x轴上，1,2 ba，).1 ,2(),1 , 0(),0,2(ABBAP2P1yxAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4 设弦 PQ的中点为),(00yxM，则).,(100yxOM由平行四边形法则可知：.2OMOQOPOQOP与AB共线，OM与AB共线 . 1200yx，从而.2200 xy由2200abxykPQ得：2122k，.22k由（ 1）可知22k时，直线l与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k. 三、最值问题5. 已知 P 为椭圆2214xy上任意一点， M（m，0） （mR） ，求 PM 的最小值。
目标： 复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题提示： 设 P(x,y)，用距离公式表示出PM，利用二次函数思想求最小值解： 设 P(x,y)，PM=22()xmy=22()14xxm=23214xmx=2234()1433mmx，x-2,2，结合相应的二次函数图像可得（1）43m-2，即 m2，即 m32时， (PM)min=|m-2|. 说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b，最远的点是长轴端点，最大值为a； （3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c；6. 在椭圆2214xy求一点 P，是它到直线l：x+2y+10=0 的距离最小，并求最大最小值目标： 复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题 的 一般处理方法提示： （1）可等价转化为与直线l 平行的椭圆的切线 与 直线 l 之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 5 解法一： 设直线 m：x+2y+m=0 与椭圆2214xy相切，则222014xymxy，消去 x，得 8y2+4my+m2-4=0, =0, 解得 m=22. 当 m=22时，直线与椭圆的切点P 与直线 l 的距离最近，最近为|102 2 |5=2 102 55，此时点 P 的坐标是 (2,22)；当 m=-22时，直线与椭圆的切点P 与直线 l 的距离最远，最远为|102 2 |5=2 102 55，此时点 P的坐标是 (2,22)。
解法二： 设椭圆上任意一点P(2cos,sin ), 0,2) 则 P 到直线 l 的距离为|2cos2sin10 |5=22sin()1045当 =4时， P 到直线 l 的距离最大，最大为2 102 55此时点 P 的坐标是 (2,22)；当 =54时， P 到直线 l 的距离最小，最小为2 102 55，此时点P的坐标是 (2,22)说明： 在上述解法一中体现了“ 数形结合 ” 的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离 在解法二中， 利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择7. 设 AB 是过椭圆221925xy中心的弦， F1是椭圆的上焦点，（1）若 ABF1面积为45 ，求直线AB 的方程；（2）求 ABF1面积的最大值解： （1）设 AB：y=kx，代入椭圆221925xy，得 x2=211925k=2225259k，x1=-x2=2225259k，又， SABF1=12|OF1| |x1-x2|=2|x1-x2|=45 ， |x1-x2|=25 ，2225259k=5， k=2 53，直线AB 的方程为y=2 53x。
2） S ABF1=12|OF1| |x1-x2|=4 2225259k，当 k=0 时， (SABF 1)Max=12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 6 8. （2014 金山区一模23 题）已知曲线)0(1=+:1babyaxC所围成的封闭图形的面积为54，曲线1C的内切圆半径为352. 记曲线2C是以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 设AB是过椭圆2C中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点. （1）求椭圆2C的标准方程；（2）若OAmMO =（O为坐标原点），当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；（3）若M是l与椭圆2C的交点，求ABM的面积的最小值. 【解答】：(1)C1是以 ( a，0)、(0， b)、 (a，0)、(0，b)为顶点的菱形，故，2分又 ab0，解得： a2=5，b2=4，因此所求的椭圆的标准方程为；4 分(2)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y=kx(k0) ，A(xA，yA)，令，得，|OA|2=，6 分设 M(x，y)，由题意得：|MO|2=m2|OA|2，(m0)，即：，因为 l 是 AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为，代入上式消去k 得：，又 x2+y20 ，整理得：(m0)，9 分当 k=0 或斜率不存在时，上式仍然成立，综上所述，点M 的轨迹方程为(m0) 10 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 7 (3) 当 k 存在且不为零时，由(2)得：，|OA|2=，由，得：，|OM|2 13分|AB|2=4|OA|2=，故= 14分=， 当且仅当4+5k2=5+4k2时，即 k= 1 时，等号成立，此时 ABM 的面积的最小值为 16 分当 k=0 时，=，当 k 不存在时，=，综上所述，ABM 的面积的最小值为18分9. 设椭圆中心在坐标原点，(2 0)(0 1)AB，是它的两个顶点，直线)0(kkxy与 AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（1）若6EDDFuu u ruuu r，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值（1）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykx k如图，设001122()()()D xkxE xkxF xkx， 其 中12xx， 且12xx，满 足 方 程22(14)4kx， 故212214xxk 由6EDDFuu u ruu u r知01206()xxx。