精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛 〔高等数学 〕全国高校生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2021—— 2021）1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛 〔高等数学 〕第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答以下各题（每道题 6 分共24 分，要求写出重要步骤）2nn1. 求极限 lim 1 sin 1 4n .解 由于sin 1 4n2sin 1 4 n2 2nnsin1 4n 2（ 2 分）；2n原式 lim 1 sin exp lim n ln 1 sinn 1 4n2 2n n 1 4n 2 2n〔2 分 〕 ；exp lim n sin exp lim n1e4 〔2 分〕n 1 4n2 2n n 1 4n2 2n2. 证明广义积分sin x dx 不是肯定收敛的0 x解 记 ann 1sin xdxn xn 1，只要证明an 发散即可； （ 2 分）n 01由于 ann 1sinnx dx1n 1 0sinxdx2 ； （ 2 分）n 1而 2n 0 n 1发散，故由比较判别法an 发散；n 0（ 2 分）3. 设函数 y y x 由 x33x2 y2 y32确定，求 y x 的极值；2解 方程两边对 x 求导，得3x26xy3x y6 y y 0（ 1 分）x x故 y2 y22 y ，令 yx20 ，得 x x 2y0 x 0 或 x2 y （ 2 分）将 x 2 y 代入所给方程得 x 2, y 1，将 x 0 代入所给方程得 x0, y1 ， （ 2 分）2x 2xy又 y2y 2 y2 x2x x 2 y24yy 2x2 y2 x222精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛 〔高等数学 〕y 0 0 2 2 0 0 1 0, y1 0 ，x 0, y1, y 0 22 0x 2, y1, y 0故 y 0 1 为极大值， y 2 1为微小值； （ 3 分）4. 过曲线 y3 x x0 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的面积为 34，求点 A 的坐标；解 设切点 A的坐标为t , 3t ，曲线过 A 点的切线方程为 y 3 t 1 x t3 3 t2令 y 0 ，由切线方程得切线与 x 轴交点的横坐标为x0 2t ；（ 2 分）；从而作图可知，所求平面图形的面积tS 1 3 t t 2t3 xdx3 t 3 t 3t 1，2 0 4 4故 A 点的坐标为 1,1 ； （ 4 分）x sin x arctanex二、（满分 12）运算定积分 I1 cos2 x dx0解 I x sin xarctanex2 dxx sin xarctanex2 dx1 cos x0 1 cos xx sin x arctane xx sin x arctanex1 cos2 x dx1 cos2 x dx（ 4 分）0 0x sin x1 cos2 xarctane xarctanex dxx sin x dx2 1 cos2 x（ 2 分）0 02sin xdx（ 4 分）02 1 cos2 x2 32 arctancosx 0 8（2 分）三、（满分 12 分）设 f x 在 x0 处存在二阶导数 f0 ，且f xlim0 ；证明 ：级数 fn 11 收敛；nx 0 x解 由于 f x 在 x0 处可导必连续，由f xlim 0 得f 0 lim f xf xlim x 0x 0 x（ 2 分）x 0 x 0 xf x f 0 f xf 0 lim lim 0 （ 2 分）x 0 x 0 x 0 x由洛必塔法就及定义3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛 〔高等数学 〕f x2limf xlim1 f xf0102lim f 0（3 分）x 0 x x 0 2 xf 12 x 0 x2所以 lim nn 1n1 f 02（ 2 分）由于级数1n 1 n2收敛，从而由比较判别法的极限形式f 1n 1 n收敛； （ 3 分）四、（满分 12 分）设 f x, f x0 a x b ， 证明bsinaf x dx 2 m解 由于 f x0 a x b ，所以 f x 在a, b 上严格单调增， 从而有反函数 （2 分）；设 A f a, B f b ,是 f 的反函数， 就0 y1 1f x m（ 3 分）b x y B又 f x ，就 A B ，所以 sinf x dx ysin ydy （ 3 分）a Ay sin ydy 1 sin ydy 1 cos y 2（ 2 分）0 0 m m 0 m五、（满分 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外；给定其次型的曲面积分I x3x dydz2 y3y dzdx3z3z dxdy；试确定曲面 ，使积分 I 的值最小，并求该最小值；解 记 围成的立体为 V，由高斯公式I 3x26 y29 z23 dv 3x2 2 y23z21 dxdydz （ 3 分）V V22为了使得 I 的值最小，就要求 V 是使得的最大空间区域 x 2 y3z 1 0 ，即2取V x, y, z x22 y23 z2 1，曲面: x22 y23z2 1（ 3 分）x u 1 0 0为求最小值，作变换 y vx, y, z1，就 00 1 ，2 u,v, wz w32 60 0 13从而 I3 u 2 v26 Vw2 1dudvdw （ 4 分）222 1使用球坐标运算，得 I3 d d r 6 0 0 01 r sin dr3 2 1 1cos3 6 42 4 6（4 分）6 5 3 0 6 15 154精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -高校生数学竞赛 〔高等数学 〕六、（满分 14 分）设 I rydx xdy， 其中 a 为常数，曲线 C 为椭圆a aC x2 y2x2 xy y2r 2 ，取正向；求极限 limrI a rx解 作变换y2 u v 22 u v 2（观看发觉或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线 C 变为 uov 平面上的椭圆: 3 u 21 v2r 2 （实现了简化积分曲线） ，2 2也是取正向 （ 2 分）而且 x2 y2u2 v2 , ydx xdy vdu udv （被积表达式没变，同样简洁！ ），I r vdu udvaa（ 2 分）u 2 v2曲线参数化 u2 r cos , v 32r sin , : 0 2，就有vdu udv2 r 2 d ，32 22 r 2 dI r 32 2 1 a dr（ 3 分）02 r 2 cos22 22 r sin302 cos2233a a a2sin令 Ja20 2 cos2 3d2sin 2a ，就由于2 2 cos23 32sin 22 ，从而0 Ja；因此当2a 1 时 lim I a rrd / 20 或 ad1 时 lim I arr （ 2 分）而a 1, J10 2 cos22sin 2420 cos22sin 23 3/ 2 d tandt 1 t2 1 2 12 arctan 2 3 0 3（ 3 分）0 tan20 t 21/ 3 1/ 3 0 2I1 r3 32 3 2 ；故所求极限为 I ra0, a 1, a 1（ 。