专题专题6 数列数列 目录600600分基础分基础 考点＆考法考点＆考法考点32数列的通项公式与单调性考点33等差数列的判定、基本运算与性质考点34等比数列的判定、基本运算与性质700700分基础分基础 考点＆考法考点＆考法综合问题9由递推公式求通项公式综合问题10数列求和及应用综合问题11数列的综合应用 考点32 数列的通项公式与单调性数列、项、首项1.数列的定义数列的定义2.数列的单调性数列的单调性3.数列的通项公式数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4.数列的递推公式数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1,an－2)等),那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．考点32 数列的通项公式与单调性【注意】对于某个数列，其通项公式可能没有，也可能不止一个． 考点32 数列的通项公式与单调性数列、项、首项1.数列的定义数列的定义2.数列的单调性数列的单调性3.数列的通项公式数列的通项公式4.数列的递推公式数列的递推公式5.Sn与与an的关系关系【注意】这个关系式是分段的,当n＝1和n≥2时,这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时,要牢牢记住其“分段”的特点．考点32 数列的通项公式与单调性 ü考法1观察法求数列的通项公式ü考法2由Sn与an的关系求通项数列的通项公式与单调性考点32 ü考法3数列的单调性与最值考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法1观察法求数列的通项公式 1.常见形式常见形式 给出一系列图形或一列数（式子）,求满足该规律的第n个图形（图形中元素的个数）或数（式子）. 2.利用观察法求数列的通项公式利用观察法求数列的通项公式,需抓住以下特征需抓住以下特征 (1)符号特征：如果出现奇偶项正负交替,用(-1)n或者(-1)n+1来调节； (2)观察、分析、比较,发现项与项数之间的关系,如平方关系、倍分关系等； (3)分式形式的数列：分子、分母分别找通项,同时注意观察分子、分母间的关系； (4)如果关系不明显,可以将该数列各项同时加上或者减去一个数,或者拆分成两部分(如整数部分和分数部分,变化部分和不变的部分),将规律呈现出来,便于找通项公式； (5)可以借助一些基本数列的通项公式.考点32 数列的通项公式与单调性有哪些？有哪些？ 考点32考法1观察法求数列的通项公式考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法1观察法求数列的通项公式考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法2由an与Sn的关系求通项(1)先利用a1=S1求出a1.若消掉Sn,应利用已知递推公式,把n换成n-1得到另一个式子,两式相减即可求得通项．(2)先利用a1=S1求出a1.若消掉an,只需把an=Sn-Sn-1代入递推公式得到Sn,Sn-1的关系,求出Sn后再利用an与Sn的关系求通项．【注意】需要注意公式an＝Sn－Sn－1成立的条件,所以由an＝Sn－Sn－1求出an后,一定不要忘记验证n＝1是否适合an（n≥2）.若n＝1时的a1适合n≥2时的an,则需要把数列的通项公式合并在一起,否则写成分段形式．考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法2由an与Sn的关系求通项考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法2由an与Sn的关系求通项考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法3数列的单调性与最值1.判断数列单调性判断数列单调性2.利用数列的单调性求出最值利用数列的单调性求出最值（1）利用作差或作商法，结合定义判断；（2）应用应试基础必备中的“拓展”结论.反之，也可以由单调性求参数取值范围.求数列{an}中的最大(小)项的具体方法如下：方法一：根据1中方法判断数列单调性，从而求得数列中的最值．方法二：利用不等式组 解出n的值,若只有一个n值，此处就是取得最大值的位置,若有多个值，再从这几个an中挑选最大值.同理，由 得出取得最小值的位置．考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法3数列的单调性与最值1.判断数列单调性判断数列单调性2.利用数列的单调性求出最值利用数列的单调性求出最值3.利用函数的单调性研究数列利用函数的单调性研究数列的最值的最值具体方法：写出数列相对应的函数,研究函数的单调性，结合数列中n∈N*的特点确定数列的最值.【注意】(1)数列的单调性与函数的单调性有所不同,其自变量的取值是不连续的,只能取正整数,所以在求数列中的最大(小)项时,应注意数列中的项可以是相同的,故不应漏掉等号．(2)数列是自变量不连续的函数,不能对数列直接求导判断单调性.要先写出数列对应的函数,对函数进行求导,再将函数的单调性对应到数列中去．考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法3数列的单调性与最值考点32 数列的通项公式与单调性 考点32考法3数列的单调性与最值考点32 数列的通项公式与单调性 考点33 等差数列的判定、基本运算与性质1.等差数列的定义等差数列的定义2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式3.等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式4.等差数列的常用性质等差数列的常用性质考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 ü考法4等差数列的判定与证明ü考法5等差数列的基本运算等差数列的判定、基本运算与性质考点33 ü考法6等差数列的性质ü考法7等差数列的前n项和与最值考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法4等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法：等差数列的判定与证明方法：(1)定义法(2)等差中项法(3)通项公式法(4)前n项和公式法(5)若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可．an－an－1(n≥2,n∈N*)为同一常数2an－1＝an＋an－2(n≥3,n∈N*)成立an＝pn＋q(p,q为常数,n∈N*)Sn＝An2＋Bn(A,B为常数,n∈N*)使用这些方法时需要注意的什么？考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法4等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法：等差数列的判定与证明方法：(1)定义法(2)等差中项法(3)通项公式法(4)前n项和公式法(5)若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可．【注意】 (1)证明等差数列只用（1）（2）两种方法，后三种方法只能用来判断一个数列是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.（2）一般地,等差数列的通项公式是关于n的一次函数,除非公差d=0.（3）公差不为0的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且常数项为0,若某数列的前n项和公式是关于n的常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,但它从第二项起成等差数列.考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法4等差数列的判定与证明考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法5等差数列的基本运算考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法5等差数列的基本运算考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法6等差数列的性质考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法6等差数列的性质考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法7等差数列的前n项和与最值(1)利用等差数列的单调性利用等差数列的单调性,求出其正负转折求出其正负转折项项.(2)利用二次函数的性质求最值利用二次函数的性质求最值.【注意】正负交界处可能有等于0的项, 和的最值是在两项处取得,结果相等．考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法7等差数列的前n项和与最值考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点33考法7等差数列的前n项和与最值考点33 等差数列的判定、基本运算与性质 考点34 等比数列的判定、基本运算与性质1.等比数列的定义等比数列的定义2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式3.等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式需要注意的是？考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34 等比数列的判定、基本运算与性质1.等比数列的定义等比数列的定义2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式3.等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式4.等比数列的性质等比数列的性质考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 ü考法8等比数列的判定与证明ü考法9等比数列及其前n项和的基本运算等比数列的判定、基本运算与性质考点34 ü考法10等比数列及其前n项和的性质应用考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法8等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明方法：等比数列的判定与证明方法：(1)定义法(2)等比中项法(3)通项公式法(4)前n项和公式法(5)性质法(n≥2,n∈N*)为同一非零常数a2n+1＝anan+2(n∈N*)成立an＝cqn-1(c,q是不为0的常数,n∈N*)Sn＝kqn-k(k，q是不为0的常数,且q也不为1，n∈N*)使用这些方法时需要注意的什么？考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法8等比数列的判定与证明考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法9等比数列及其前n项和的基本运算考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法9等比数列及其前n项和的基本运算考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法9等比数列及其前n项和的基本运算考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法9等比数列及其前n项和的基本运算考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法10等比数列及其前n项和的性质应用(1)计算数列中的相关量,如考法9中的五个量a1,n,q,an,Sn,可以根据其中的三个(或两个)量,求出其他量.经常用到等比中项的变形： an2=an-k·an+k；若k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则ak·al＝am·an.尤其求等比数列中两项或多项乘积时常用此法.(2)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n仍成等比数列,其公比为qn．考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法10等比数列及其前n项和的性质应用考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 考点34考法10等比数列及其前n项和的性质应用考点34 等比数列的判定、基本运算与性质 综合问题9 由递推公式求通项公式综合点1 由递推公式求通项公式 高考常涉及类型及其解决方法高考常涉及类型及其解决方法综合问题9 由递推公式求通项公式 综合问题9 由递推公式求通项公式综合点1 由递推公式求通项公式 高考常涉及类型及其解决方法高考常涉及类型及其解决方法综合问题9 由递推公式求通项公式 综合问题9 由递推公式求通项公式综合点1 由递推公式求通项公式 其他类型及其解决方法其他类型及其解决方法综合问题9 由递推公式求通项公式 综合问题9 由递推公式求通项公式综合点1 由递推公式求通项公式 其他类型及其解决方法其他类型及其解决方法综合问题9 由递推公式求通项公式 综合问题9 由递推公式求通项公式综合点1 由递推公式求通项公式 其他类型及其解决方法其他类型及其解决方法综合问题9 由递推公式求通项公式分清构造的新数列的首分清构造的新数列的首项与原数列的首项的关项与原数列的首项的关系系,,避免把首项混淆．避免把首项混淆． 综合问题9 由递推公式求通项公式综合点1 由递推公式求通项公式 综合问题9 由递推公式求通项公式 综合问题9 由递推公式求通项公式综合点1 由递推公式求通项公式 综合问题9 由递推公式求通项公式 ü综合点2与等差数列有关的求和方法ü综合点3与等比数列有关的求和方法数列求和及应用综合问题10 ü综合点4根据数列的特征及转化思想求和综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点2 与等差数列有关的求和方法1.公式法公式法2.倒序相加法倒序相加法综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点2 与等差数列有关的求和方法1.公式法公式法2.倒序相加法倒序相加法3.裂项相消法裂项相消法综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点2 与等差数列有关的求和方法综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点2 与等差数列有关的求和方法综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点3 与等比数列有关的求和方法1.公式法公式法2.错位相减法错位相减法注意注意这种方法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列,且等比数列的公比q≠1.错位相减法求和的步骤如下:①将数列求和式的每一项同乘数列的公比q；②将q的次数相同的项相减；③将所得的结果进行求和、整理即可．综合问题10 数列求和及应用【注意】在应用错位相减法求数列的前n项和时,一定要抓住数列的特征,即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得.所谓“错位”相减,就是要找“同类项”相减. 综合问题10 数列求和及应用综合点3 与等比数列有关的求和方法综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点3 与等比数列有关的求和方法综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点4 根据数列的特征及转化思想求和 1.并项求和法并项求和法一个数列的前n项和可两两结合求解,则称之为并项求和.一般地,若数列中相邻两项或几项的和是同一个常数（周期数列）或数列是（-1）n型摆动数列等，将有规律的项放在一起,可使用并项求和法.2.分组求和法分组求和法数列的通项较复杂时,把原数列的每一项拆成两项(或多项)的和或差,从而将原数列分解成两个(或多个)数列的和或差,而这两个(或多个)数列或者是等差数列、等比数列,或者是已知其和,求出这两个(或多个)数列的和,再相加或相减,得到原数列和的方法便是分组求和法.综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点4 根据数列的特征及转化思想求和 综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点4 根据数列的特征及转化思想求和 综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点4 根据数列的特征及转化思想求和 综合问题10 数列求和及应用 综合问题10 数列求和及应用综合点4 根据数列的特征及转化思想求和 综合问题10 数列求和及应用 ü综合点5等差、等比数列的综合ü综合点6数列的实际应用数列的综合应用综合问题11 ü综合点7数列与函数、不等式的综合应用综合问题11 数列的综合应用 综合问题11 数列的综合应用综合点5 等差、等比数列的综合 （3）掌握“一定条件下，等差数列与等比数列的转化”： {an}是各项均为正数的等比数列{logaan}(a>0,a≠1）是等差数列；{an}是等差数列 （a>0,a≠1）是等比数列.（1）将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程. （2）求解过程中，注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论. 综合问题11 数列的综合应用 综合问题11 数列的综合应用综合点5 等差、等比数列的综合 综合问题11 数列的综合应用 综合问题11 数列的综合应用综合点6 数列的实际应用 1.数列应用题常见模型数列应用题常见模型(1)等差模型等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值,该模型是等差模型,这个固定值就是公差．(2)等比模型等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系,或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系．2.解答数列应用题的步骤解答数列应用题的步骤(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．综合问题11 数列的综合应用 综合问题11 数列的综合应用综合点6 数列的实际应用 【点拨】解决这类问题首先是认真阅读相关的题目，把实际问题转化为熟悉的数学问题，其次是应用数学知识解决数学问题，再把解决的数学问题回归到实际问题中进行回答即可. 综合问题11 数列的综合应用综合点7 数列与函数、不等式的综合应用 1.数列可看作自变量为正整数的函数数列可看作自变量为正整数的函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,我们可以用函数的观点来研究数列.例如要研究数列的单调性、最值、周期性,可以先构造出通项公式(或其他)所对应的函数y=f(x)(x>0),然后对函数y=f(x)进行分析．(1)函数特征比较明显的,直接根据函数的性质求出相关信息.(2)函数特征不明显的,可以通过对函数求导,研究其性质.2.数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容,考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者是借助数列对应函数的单调性比较大小．(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题．(3)考查与数列有关的不等式的证明问题,此类问题大多还要借助构造函数去证明,或者是直接利用放缩法证明．【注意】数列与函数不同,数列只能看成自变量为正整数的一类函数,所以不能对数列求导,只能对数列的通项公式(或其他)所对应的函数y=f(x)(x>0)求导．综合问题11 数列的综合应用 综合问题11 数列的综合应用综合点7 数列与函数、不等式的综合应用 综合问题11 数列的综合应用 综合问题11 数列的综合应用综合点7 数列与函数、不等式的综合应用 综合问题11 数列的综合应用 综合问题11 数列的综合应用综合点7 数列与函数、不等式的综合应用 综合问题11 数列的综合应用 敬请期待下一专题敬请期待下一专题…………Thanks！！ 。