信息光学第二章2

, )exp2 ()xyU x yAjf xf y任一传播方向的平面波• 空间频率 表示空间频率 表示x-y平面上的复振幅分布 平面上的复振幅分布 • 代表了一个传播方向余弦为 的单色平面波代表了一个传播方向余弦为 的单色平面波 • 我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 有我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 有• 由 有由 有xy( f , f )(cos , cos )coszf ( , , )exp2 ()xyzU x y zajf xf yf z222coscoscos1222 21xyzfff注 意 注 意空间频率空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如的概念同样可以描述其它物 理量如光强度光强度的空间周期分布，但它们有的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义不同的物理含义 对于对于非相非相干照明的平面上的干照明的平面上的光强分布光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 述。

但， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 述但空间频率空间频率 不再和单色平面波 有关不再和单色平面波 有关， 也就不再对应沿某一 方向传播的平面波 ， 也就不再对应沿某一 方向传播的平面波 (,)xyffexp j2 (xy)xyff复振幅分布的空间频谱复振幅分布的空间频谱指数基元 代表一个传播方向余弦为的单位振幅的单色平面波 表示物函数 可以看做不同方向传播的单色平 面波分量的线性叠加平面波分量的传播方向与空间频 率 相对应，其相应的振幅和常数相位取决于频 谱 指数基元 代表一个传播方向余弦为的单位振幅的单色平面波 表示物函数 可以看做不同方向传播的单色平 面波分量的线性叠加平面波分量的传播方向与空间频 率 相对应，其相应的振幅和常数相位取决于频 谱 , )( ,)exp2 ( xy)xyxyxyg x yG f fjffdf dfexp j2 ( xy)xyff(cos,cos)xyffg( x,y)(,)xyG ff(,)xyff为平面波的为平面波的角谱角谱。

引入引入角谱角谱的概的概 念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义．念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义．平面波的角谱 coscoscoscos(,)( , )exp2 ()Gg x yjxydxdy(,)xyG ff用方向余弦表示，有（傅里叶变换）用方向余弦表示，有（傅里叶变换）coscos(,)G 衍射理论问题：已知入射到衍射平面的光波场衍射理论问题：已知入射到衍射平面的光波场 分布，求任意观察面（点）上光场分布分布，求任意观察面（点）上光场分布000( x ,y ,z )x0y0oQ( x,y,z )xyPzz1r2.2 基尔霍夫衍射理论2.2 基尔霍夫衍射理论衍射理论所要解决的问题衍射理论所要解决的问题光场中任一点Q的复振幅 能否用光场中其它各点的 复振幅表示出来？光场中任一点Q的复振幅 能否用光场中其它各点的 复振幅表示出来？例如能否由如图孔径平 面上的场分布计算孔径后 面任一点Q处的复振幅？这 是一个根据边界值求解波例如能否由如图孔径平 面上的场分布计算孔径后 面任一点Q处的复振幅？这 是一个根据边界值求解波 动方程的问题。

动方程的问题Q入射光入射光2.2 基尔霍夫衍射理论2.2 基尔霍夫衍射理论1. 惠更斯-菲涅尔原理1. 惠更斯-菲涅尔原理光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子 波源，这些子波源是相干的，则在波继续传播的空 间上任一点处的光振动，都可看做是这些子波源各光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子 波源，这些子波源是相干的，则在波继续传播的空 间上任一点处的光振动，都可看做是这些子波源各 自发出的子波在该点相干叠加的结果其数学表达式为：自发出的子波在该点相干叠加的结果其数学表达式为： 0()()()jkreUQUp kd Src主要问题：1 该理论缺乏严格的理论依据 2常数c中应包含exp(-jππ/2)因子，惠更斯 -菲涅尔原理无法解释 3K(θ)的具体函数形式难以确定基尔霍夫衍射理论基尔霍夫利用数学工具格林定理，通 过假定衍射屏的边界条件，求解波动方程， 导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更基尔霍夫利用数学工具格林定理，通 过假定衍射屏的边界条件，求解波动方程， 导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更 斯斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论 基础上 菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论 基础上 。

基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式QPnP0ΣΣr0r• P P0 0点的单色点光源照射衍射屏点的单色点光源照射衍射屏 • P为孔径平面上任一点，Q为孔径 后方的观察点P为孔径平面上任一点，Q为孔径 后方的观察点 • r和r r和r0 0分别是Q和P分别是Q和P0 0到P的距离， 二者均比波长大得多到P的距离， 二者均比波长大得多 • n表示衍射屏面法线的正方向在单色点源照明下，平面孔径后 方光场中任一点Q的复振幅为 n表示衍射屏面法线的正方向在单色点源照明下，平面孔径后 方光场中任一点Q的复振幅为 0 000cos( , )-cos( , )1( )2jkrjkra en rn reU Qdsjrr   基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式孔径平面上的复振幅分布是球面波，有 代入基尔霍夫衍射公式，有：孔径平面上的复振幅分布是球面波，有 代入基尔霍夫衍射公式，有：(P.36 式（2.46）有错误)(P.36 式（2.46）有错误)其中：其中：若 并代入衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅 尔衍射公式完全相同若 并代入衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅 尔衍射公式完全相同。

00 0 0( )jkraUPer01( )( )( )jkreU QUP KdSjr1cj0cos( , )-cos( ,)( )2n rn rK  基尔霍夫衍射公式说明：基尔霍夫衍射公式说明：上述基尔霍夫衍射公式仅仅是上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个球面波单个球面波照 明孔径的情况作出的讨论，但衍射公式却照 明孔径的情况作出的讨论，但衍射公式却适用于更 普遍的任意单色光波适用于更 普遍的任意单色光波照明孔径的情况因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波照明孔径的情况因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波 的线性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个 球面波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡 献叠加因此， 基尔霍夫衍射公式中 可以理解的线性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个 球面波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡 献叠加因此， 基尔霍夫衍射公式中 可以理解 为在任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布为在任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布 0U (P)基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外 的阴影区内 ，则衍射公式的积分限可以扩 展到无穷，从而有：根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外 的阴影区内 ，则衍射公式的积分限可以扩 展到无穷，从而有：这里省略常数项c。

这里省略常数项c0()0UP0()()()jkreU QUP KdSr 衍射与障碍物衍射与障碍物不论以什么方式 不论以什么方式改变光波波面改变光波波面 —— （1）（1）限制波面范围限制波面范围 （ （2）振幅以一定分布 衰减，（3）以一定的空间分布使复振幅2）振幅以一定分布 衰减，（3）以一定的空间分布使复振幅相位相位 延迟延迟，（，（4）4）相位与振幅相位与振幅两者兼而变化，都会两者兼而变化，都会 引起衍射，均称为衍射 所以障碍物的概念，除去不透明屏上有 开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅 的透明片把能引起衍射的障碍物统称为衍 射屏引起衍射，均称为衍射 所以障碍物的概念，除去不透明屏上有 开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅 的透明片把能引起衍射的障碍物统称为衍 射屏衍射屏处光场衍射屏处光场描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量——复振幅 透过率：：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射 屏上的光场的复振幅； 复振幅 透过率：：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射 屏上的光场的复振幅； ：是衍射屏后表面的复振幅。

若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的 既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也 可理解为衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为：是衍射屏后表面的复振幅若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的 既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也 可理解为衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为 Σ若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动到观Σ若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动到观 察面的传播，则 察面的传播，则 ( )( )( )tiU PPU Pt()iUP()tUP0()UP0( )( )( )( )tiUPU PU Pt P基尔霍夫衍射与叠加积分基尔霍夫衍射与叠加积分• 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式• 令令• 有有1( ,)( )jkreP QKjrh01( )( )( )jkreU QUP KdSjr0( )( ) ( ,)U QUPP Q dSh物理意义：• 衍射屏面上任一点P ，其复振幅为 衍射屏面上任一点P ，其复振幅为 • P点处的小面元dS对观察点Q的贡献 P点处的小面元dS对观察点Q的贡献• 表示在P点有一个单位脉冲即 时，在观察点Q造成的复振幅分布，称为脉冲响应或 点扩散函数。

表示在P点有一个单位脉冲即 时，在观察点Q造成的复振幅分布，称为脉冲响应或 点扩散函数 • 由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，是Σ上 所有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，是Σ上 所有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加 • 如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便是将函 数 变换成 的变换式如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便是将函 数 变换成 的变换式 • 按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效为 一种线性系统的线性变换， 代表了这个系统的按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效为 一种线性系统的线性变换， 代表了这个系统的 全部特性 全部特性 0( )UP0( )UP0( )( ) ( , )dU QU PP Q dsh( ,)P Qh0( )( ) ( ,)U QUPP Q dSh0( )1UP dS ( )U Q( ,)P Qh( ,)P Qh光波传播的线性性质不仅存在于 单色光波在自由空间中的传播，同 样存在于孔径和观察平面之间光波传播的线性性质不仅存在于 单色光波在自由空间中的传播，同 样存在于孔径和观察平面之间是非 均匀媒质是非 均匀媒质的情况，如两者之间存在 有光学系统，则线性系统的脉冲响 应函数h（P，Q）有不同的。