24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆1. 切线长定理在三角形中，若一个线段是另两边的切线，则这个线段的平方等于切点到两个切点的距离的乘积设三角形ABC中，D为BC边上的一个点，AD为切线，AD的平方等于BD与CD的乘积即，AD^2 = BD * CD证明：根据切线与半径的关系可知，由直角三角形的性质可得：AD^2 = BD^2 + BA^2 （公式1）AD^2 = CD^2 + CA^2 （公式2）将公式1和公式2联立，可得：BD^2 + BA^2 = CD^2 + CA^2将公式2两边同时减去CD^2，可得：BD^2 + BA^2 - CD^2 = CA^2移项得：BD^2 - CD^2 = CA^2 - BA^2利用差平方公式，可以将等式右边的表达式进行因式分解，得：(BD - CD)(BD + CD) = (CA - BA)(CA + BA)由于BD = CD，且CA = BA，可得：BD + CD = CA + BA即：AD^2 = BD * CD证毕2. 三角形的内切圆定义：在一个三角形中，内切圆是唯一与三个三角形的边都相切的圆特点：1. 内切圆的圆心是三角形的角平分线的交点。
2. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长性质：1. 内切圆的半径与三角形的边有以下关系：半周长s = (a + b + c) / 2内切圆的半径r = 面积S / s其中，a、b、c分别为三角形的三边的长，S为三角形的面积2. 内切圆的圆心O到三角形的三边的距离相等，且距离相等的点到三边的交点构成三角形的三条角平分线3. 实例演练实例1：已知三角形ABC，AB = 8cm，BC = 10cm，AC = 6cm，求三角形ABC的内切圆的半径和半周长解：首先求三角形的面积：半周长s = (AB + BC + AC) / 2 = (8 + 10 + 6) / 2 = 12cm根据海伦公式，三角形的面积S为：S = √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)) = √(12 * (12 - 8) * (12 - 10) * (12 - 6)) = √(12 * 4 * 2 * 6) = √(576) = 24cm根据性质1，内切圆的半径r为：r = S / s = 24 / 12 = 2cm所以，三角形ABC的内切圆的半周长为12cm，半径为2cm实例2：已知三角形ABC，AB = 7cm，BC = 9cm，AC = 8cm，内切圆的半周长为12cm，求三角形ABC的内切圆的半径。
解：根据性质1，内切圆的半周长s和半径r的关系为：r = S / s所以，内切圆的半径r为：r = 24 / 12 = 2cm所以，三角形ABC的内切圆的半径为2cm总结本课时学习了切线长定理和三角形的内切圆的相关知识切线长定理指出，如果一个线段是一个三角形两边的切线，那么这个线段的平方等于切点到两个切点的距离的乘积而三角形的内切圆是唯一与三个三角形边都相切的圆，内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长通过实例演练，我们可以应用这些知识解决实际问题。
