第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了．一．反正弦函数1．定义：函数y＝sinx(x∈[-，])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsinx(x∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-，]内，正弦函数值为x的角就是arcsinx， 即 sin(arcsinx)＝x， x∈[－1，1] 2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-，]．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即 arcsin(－x)＝－arcsinx， x∈[－1，1] ⑷ y＝arcsinx的图象：与y＝sinx(x∈[-，])的图象关于y＝x对称．[来源:学科网]⑸ arcsin(sinx)的值及y＝arcsin(sinx)的图象： arcsin(sinx)＝x， x∈[-，] 二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y＝cosx(x∈[0，p])的反函数就是反余弦函数，记为y＝arccosx(x∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，p]内，余弦函数值为x的角就是arccosx，即 cos(arccosx)＝x， x∈[－1，1] 2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，p]．⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即 arccos(－x)＝p－arccosx， x∈[－1，1] ⑷ y＝arccosx的图象：与y＝cosx(x∈[0，p])的图象关于y＝x对称．⑸ arccos(cosx)的值及y＝arccos(cosx)的图象： arccos(cosx)＝x， x∈[0，p] 三．反正切函数1．定义：函数y＝tanx(x∈(-，))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctanx(x∈R)．这个式子表示：在区间(-，)内，正切函数值为x的角就是arctanx，即 tan(arctanx)＝x， x∈R 2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为R；值域为(-，)．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是R上的奇函数，即 arctan(－x)＝－arctanx， x∈R ⑷ y＝arctanx的图象：与y＝tanx(x∈(-，))的图象关于y＝x对称．⑸ arctan(tanx)的值及y＝arctan(tanx)的图象： arctan(tanx)＝x， x∈(-，) 四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．A类例题例1证明：⑴ cos(arcsinx)＝；sin(arccosx)＝； tan(arccotx)＝．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x)＝ ； tan(arcsinx)＝ ； cos(arctanx)＝ ； tan(arccosx)＝ ．证明：⑴ 设arcsinx＝a，则a∈[－，]，且sina＝x，于是，cosa＝，即cos(arcsinx)＝ ；同理可证其余．⑵ 设arctanx＝a，则a∈(-，)，tana＝x．于是，seca＝，所以，sina＝tana·cosa＝，就是sin(arctan x)＝；同理可证其余．说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算． 例2证明：⑴ arcsinx＋arccosx＝， x∈[－1，1] ⑵ arctanx＋arccotx＝， x∈R证明：令arcsinx＝a，arccosx＝b，则a∈[-，]，b∈[0，p]，－b∈[-，]而 sina＝x，sin(－b)＝cosb＝x，即sina＝sin(－b)，但a与b都在区间[-，]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而a＝－b．就是arcsinx＋arccosx＝．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例3计算：⑴ sin(arcsinx＋arcsiny)；x，y∈[－1，1] ⑵ cos(arccosx＋arccosy)．x，y∈[－1，1]解：⑴ sin(arcsinx＋arcsiny)＝x＋y．⑵ cos(arccosx＋arccosy)＝xy－·．情景再现1．若arctanx＋arctany＋arctanz＝p，证明：x＋y＋z＝xyz； ⑵ 证明：cot[arctanx＋arctan(1－x)]＝1－x＋x2．2．设f(x)＝x2－πx, α＝arcsin，β＝arctan,γ＝arc cos(－),d＝arc cot(－ ),则A．f(α)＞f(β)＞f(d)＞f(γ) B．f(α)＞f(d)＞f(β)＞f(γ) C．f(d)＞f(α)＞f(β)＞f(γ) D．f(d)＞f(α)＞f(γ)＞f(β) 3．函数y＝arc cos(-x2)的值域是A．[-，] B．[-，] C．[，π] D．[，π] B类例题例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．解：设 arccot3＝a，arccot7＝b，arccot13＝g，arccot21＝d，则0 xxk.Com]当a＝0时，得sinx＝0或1，有实解；当a＝－时，sinx＝，有实解．即a的取值范围为[－，0]．说明 例8解方程：cosnx-sinnx＝1，这里，n表示任意给定的正整数．分析：可先从n＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解． n＝1时，cosx＝sinx＋1， n＝2时，cos2x＝sin2x＋1， n＝3时，cos3x＝sin3x＋1， n＝4时，cos4x＝sin4x＋1．解：原方程就是，cosnx＝1＋sinnx．⑴ 当n为正偶数时，由于cosnx≤1，sinnx≥0，故当且仅当cosnx＝1，sinnx＝0，即x＝kp(k∈Z)时为解．⑵ 当n为正奇数时，若2kp≤x≤2kp＋p，则cosnx≤1，sinnx≥0，故只有cosnx＝1，sinnx＝0时，即x＝2kp(k∈Z)时为解；若2kp＋p
xxk.Com]当a＝0时，得sinx＝0或1，有实解；当a＝－时，sinx＝，有实解．即a的取值范围为[－，0]．说明 例8解方程：cosnx-sinnx＝1，这里，n表示任意给定的正整数．分析：可先从n＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解． n＝1时，cosx＝sinx＋1， n＝2时，cos2x＝sin2x＋1， n＝3时，cos3x＝sin3x＋1， n＝4时，cos4x＝sin4x＋1．解：原方程就是，cosnx＝1＋sinnx．⑴ 当n为正偶数时，由于cosnx≤1，sinnx≥0，故当且仅当cosnx＝1，sinnx＝0，即x＝kp(k∈Z)时为解．⑵ 当n为正奇数时，若2kp≤x≤2kp＋p，则cosnx≤1，sinnx≥0，故只有cosnx＝1，sinnx＝0时，即x＝2kp(k∈Z)时为解；若2kp＋p
