分析时代分析时代 第七章第七章 第七章第七章 分析时代分析时代 微积分的创立，被誉为微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜人类精神的最高胜利利”（恩格斯）．在（恩格斯）．在18世纪，微积分进一步深入发展，世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交炽在一起，刺激和推动这种发展与广泛的应用紧密交炽在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析分析”这样这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域．在一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域．在数学史上，数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期．数学过渡的重要时期． 英国早期作出重要贡献的数学家有：泰勒、麦克英国早期作出重要贡献的数学家有：泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等劳林、棣莫弗、斯特林等 麦克劳林之后，英国数学陷入了长期麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态．微积分发明权的争论滋长了不列颠数停滞的状态．微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚．学说中弱点的束缚． 7.1 187.1 18世纪的数学家世纪的数学家 7.1.1 7.1.1 泰勒和麦克劳林泰勒和麦克劳林 英英 格格 兰兰 数数 学学 家家 泰泰 勒勒 (Brook Taylor,1685——1731)做做过过英英国国皇皇家家学学会会秘秘书书．．他他在在1715年年出出版版的的《《正正的的和和反反的的增增量量方方法法》》一一书书中中，，陈陈述述了了他他早早在在1712年年就已获得的著名定理就已获得的著名定理 泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器．但泰勒对该定理的证明很不严谨，积分进一步发展的有力武器．但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性．也没有考虑级数的收敛性． 泰勒公式在泰勒公式在 时的特殊情形后来被爱丁堡大时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把直把x=0时的泰勒级数称为时的泰勒级数称为“麦克劳林级数麦克劳林级数”．． 麦克劳林麦克劳林(Colin Maclaurin, 1698——1746, 苏格兰苏格兰)是牛顿是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《《流数流数论论》》（（1742），以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试），以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从图从“若干无例外的原则若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这出发严密推演牛顿的流数论，这是使微积分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功．是使微积分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功． 麦克劳林是一位数学上的奇才。
他麦克劳林是一位数学上的奇才他11岁就考上了格林斯岁就考上了格林斯哥大学15岁取得硕士学位，并且为自己关于重力的功的论岁取得硕士学位，并且为自己关于重力的功的论文作了杰出的公开答辩文作了杰出的公开答辩19岁就主持阿伯丁的马里沙学院数岁就主持阿伯丁的马里沙学院数学系，并于学系，并于21岁发表其第一本重要著作岁发表其第一本重要著作《《构造几何构造几何》》他他27岁成为爱丁堡大学数学教授的代理或助理岁成为爱丁堡大学数学教授的代理或助理 他关于流数的论文是在他他关于流数的论文是在他44岁岁(只在死前只在死前4年年)发表的，发表的，这是麦克劳林为了答复英国哲学家、牧师伯克莱对微积分学这是麦克劳林为了答复英国哲学家、牧师伯克莱对微积分学原理的攻击而写的，也是牛顿流数法的第一篇符合逻辑的、原理的攻击而写的，也是牛顿流数法的第一篇符合逻辑的、系统的解说系统的解说 麦克劳林级数：麦克劳林级数： 7.1.2 伯努利家族 在数学和科学的历史上最著名的家族之一是瑞士伯努利在数学和科学的历史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家族家族.从十七世纪末叶以来，这个非凡的瑞士家族在三代时间从十七世纪末叶以来，这个非凡的瑞士家族在三代时间里生出了八个数学家里生出了八个数学家(其中三个是杰出的其中三个是杰出的)，他们又生出了在，他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代．许多领域里崭露头角的成群后代． 这个家族的记录开始于雅各布这个家族的记录开始于雅各布·伯努利伯努利(1654—1705)和和约翰约翰·伯努利伯努利(1667—1748)兄弟。
他们都是莱布尼茨忠实的兄弟他们都是莱布尼茨忠实的学生与朋友．他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大学生与朋友．他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容．部分内容． 雅各布雅各布·伯努利对数学的主要贡献是：伯努利对数学的主要贡献是：△发表过无穷级数的论文 △研究过许多特殊曲线△推导出平面曲线的曲率半径公式 △引入伯努利数 △发明极坐标 △提出概率论中的伯努利定理或大数定律 雅雅各各布布·伯伯努努利利从从小小喜喜爱爱科科学学，，但但父父亲亲执执意意要要他他学学神神学学，，于于是是一一有有机机会会他他便便尽尽早早放放弃弃了了神神学学他他自自学学了了牛牛顿顿和和莱莱布布尼尼兹兹的的微微积积分分，，从从1687年年起起直直到到去去世世任任巴巴塞塞耳耳(Basel)大大学学数学教授．数学教授． 雅格雅格布布• •伯努利伯努利( (瑞，瑞，1654-1705)1654-1705) 约翰的著作，内容很广泛，它包括：约翰的著作，内容很广泛，它包括： △与反射和折射有联系的光学问题△曲线族的正交轨线的确定△用级数求曲线的长和区域的面积△解析三角学△最速降线问题和等时线问题 比起哥哥来，弟弟约翰比起哥哥来，弟弟约翰··伯努利更是一位多产的数学家。
伯努利更是一位多产的数学家他原来也他原来也错选了了职业，起先学医，并在，起先学医，并在16941694年年获巴塞耳大学博巴塞耳大学博士学位，士学位，论文是关于肌肉收文是关于肌肉收缩问题的．的．受哥哥的影响，受哥哥的影响，他也他也爱上了微上了微积分，分，并并很快就掌握了它，用它来解决几何学、微分方很快就掌握了它，用它来解决几何学、微分方程和力学上的程和力学上的许多多问题．．16951695年年，，他任荷他任荷兰格格罗宁根宁根(Groningen)(Groningen)大学数学物理学教授，而在他哥哥雅大学数学物理学教授，而在他哥哥雅各各布死后布死后继任巴塞耳大学教授．任巴塞耳大学教授． 约翰约翰• •伯努利伯努利( (瑞，瑞，1667-1748)1667-1748) 约翰之子丹尼尔约翰之子丹尼尔·伯努利伯努利(Daniel Bernoulli，，1700一一1782)，，起初也像他父亲一样学医，写了一篇关于肺的作用的论文获得医起初也像他父亲一样学医，写了一篇关于肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃原业而改攻他天生的专长，学学位，并且也像他父亲一样马上放弃原业而改攻他天生的专长，成为彼得堡的数学教授．成为彼得堡的数学教授．1733年他回巴塞耳，先后任植物学、解年他回巴塞耳，先后任植物学、解剖学与物理学的教授．他获得法兰西科学院的剖学与物理学的教授．他获得法兰西科学院的10项奖．项奖． 他在多年内发表了物理学、概率论、微积分和微分方程方面他在多年内发表了物理学、概率论、微积分和微分方程方面的许多著作：的许多著作：△提出伦理道德方面的数学期望的概念△写过关于潮汐的论文△建立了空气动力学理论，△提出流体动力学原理△研究了弦振动 许多人认为他是第一位真正的数学物理学家。
v第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人: 7.1.3 7.1.3 欧拉欧拉 18世纪微积分最重大的进步是由欧拉(Leonard Euler，瑞士,1707—1783)作出的．瑞士法郎上的欧拉 18世纪最伟大的数学家、分析的化身、“数学家之英雄” •圣彼得堡科学院圣彼得堡科学院(1727-1741, 1766-1783)(1727-1741, 1766-1783)•柏林科学院柏林科学院(1741-1766)(1741-1766)•17481748年年《《无穷小分析引论无穷小分析引论》》、、17551755年年《《微分微分学原理学原理》》、、1768-17701768-1770年年《《积分学原理积分学原理》》•最多产的数学家、最多产的数学家、《《欧拉全集欧拉全集》》8484卷卷•李善兰译的李善兰译的《《代数学代数学》》（（18591859）等著作记载）等著作记载了欧拉的学说了欧拉的学说•““读读欧拉，他是我们大家的老师读读欧拉，他是我们大家的老师””•““四杰四杰””：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯欧拉欧拉( (瑞士瑞士, 1707-1783), 1707-1783) 微积分史上里程碑式的著作微积分史上里程碑式的著作 :△ 1748年出版的《无限小分析引论》 △ 1755年发表的《微分学》 △ 1768—1770 发表《积分学》，共3卷它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。
这三它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如：批标准的符号如： 一 函数符号∑ 一 求和号 一 自然对数底 一 虚数号 欧拉出生于瑞士巴塞尔一个牧师家庭，欧拉出生于瑞士巴塞尔一个牧师家庭，13岁就进入巴塞尔岁就进入巴塞尔大学，数学老师是约翰大学，数学老师是约翰·伯努利．伯努利． 伯伯努努利利后后来来在在给给欧欧拉拉的的一一封封信信中中这这样样赞赞许许自自己己这这位位学学生生在在分析方面的青出于兰：分析方面的青出于兰： “我介绍高等分析时，它还是个孩子，而您正在将它带大我介绍高等分析时，它还是个孩子，而您正在将它带大成人成人．．” 欧拉主要的科学生涯是在俄国圣彼得堡科学院欧拉主要的科学生涯是在俄国圣彼得堡科学院(1727-1741；；1766-1783)和德国柏林科学院和德国柏林科学院(1741-1766)度过的．度过的． 欧欧拉拉是是历历史史上上最最多多产产的的数数学学家家．．他他生生前前发发表表的的著著作作与与论论文文有有560余余种种，，死死后后留留下下了了大大量量手手稿稿．．欧欧拉拉自自己己说说他他未未发发表表的的论论文文足足够够彼彼得得堡堡科科学学院院用用上上20年年，，结结果果是是直直到到1862年年即即他他去去世世80年年后后，，彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作．彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作． 1911年年瑞瑞士士自自然然科科学学协协会会开开始始出出版版欧欧拉拉全全集集，，现现已已出出版版70多多卷卷，，计计划划出出齐齐84卷卷，，都都是是大大四四开开本本．．欧欧拉拉从从18岁岁开开始始创创作作，，到到76岁岁逝逝世世，，因因此此单单是是收收进进全全集集的的这这些些文文稿稿，，欧欧拉拉平平均均每每天天就就要要写写约约1.5页页大大四四开开纸纸的的东东西西，，而而欧欧拉拉还还有有不不少少手手稿稿在在1771年年的的彼彼得得堡堡大火中化为灰烬．大火中化为灰烬． 欧拉欧拉28岁左眼失明，岁左眼失明，56岁双目失明，他完全是岁双目失明，他完全是依靠惊人的记忆和心算能力进行研究与写作．依靠惊人的记忆和心算能力进行研究与写作． 1783年年9月的一天，欧拉在与同事讨论了天王星月的一天，欧拉在与同事讨论了天王星轨道计算以后疾病发作，喃喃自语道：轨道计算以后疾病发作，喃喃自语道：“我要死了我要死了!”如巴黎科学院秘书孔多塞如巴黎科学院秘书孔多塞(M．．Condorcet)形容的形容的那样，他那样，他“停止了计算，也停止了生命．停止了计算，也停止了生命．” 7.1.4 7.1.4 克莱洛和达朗贝尔克莱洛和达朗贝尔 克莱洛克莱洛(Claude Alexis Clairaut,l713-1765)是数是数学上的神童，学上的神童，11岁就写了一篇关于三次曲线的论文。
岁就写了一篇关于三次曲线的论文这篇早年的论文和以后的一篇关于空间挠曲线的微这篇早年的论文和以后的一篇关于空间挠曲线的微分几何的奇妙论文，使他未到法定的年龄分几何的奇妙论文，使他未到法定的年龄(18岁岁)就就获得法国科学院的席位获得法国科学院的席位 达朗贝尔达朗贝尔( (法法, 1717-1783), 1717-1783)•自学成才，进入巴黎科学院：院士、终自学成才，进入巴黎科学院：院士、终身秘书身秘书•1751-17571751-1757年与狄德罗年与狄德罗(1713-1784)(1713-1784)共同共同主编主编《《百科全书百科全书》》•““科学处于科学处于1717世纪的数学时代到世纪的数学时代到1818世纪世纪的力学时代，力学应该是数学家的主要的力学时代，力学应该是数学家的主要兴趣•《《动力学动力学》》、、《《数学手册数学手册》》 •数学分析的重要开拓者之一，其成就仅数学分析的重要开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔尔• •伯努利伯努利 伯乐伯乐 达朗贝尔对青年科学家十分热情，他非常支持青达朗贝尔对青年科学家十分热情，他非常支持青年科学家研究工作，也愿意在事业上帮助他们。
年科学家研究工作，也愿意在事业上帮助他们 他曾推荐著名科学家他曾推荐著名科学家拉格朗日拉格朗日到普鲁士科学院到普鲁士科学院工作，推荐著名科学家工作，推荐著名科学家拉普拉斯拉普拉斯到巴黎科学院工作到巴黎科学院工作达朗贝尔自己也经常与青年科学家进行学术讨论，从达朗贝尔自己也经常与青年科学家进行学术讨论，从中发现并引导他们的科学思想发展在十八世纪的法中发现并引导他们的科学思想发展在十八世纪的法国，达朗贝尔不仅灿烂了科学事业的今天，也照亮了国，达朗贝尔不仅灿烂了科学事业的今天，也照亮了科学事业的明天科学事业的明天 晚年晚年 达朗贝尔的日常生活非常简单，白天工作，晚上去沙龙活动达朗贝尔的日常生活非常简单，白天工作，晚上去沙龙活动他终生未婚，他终生未婚，但有一位患难与共、生死相依的情人但有一位患难与共、生死相依的情人————沙龙女沙龙女主人勒皮纳斯达朗贝尔与养父母感情一直很好，直到主人勒皮纳斯达朗贝尔与养父母感情一直很好，直到17651765年年他他4747岁时才因病离开养父母，住到了勒皮纳斯家里，病愈后他岁时才因病离开养父母，住到了勒皮纳斯家里，病愈后他一直居住在她的家里。
可是在以后的日子里他在事业上进展缓一直居住在她的家里可是在以后的日子里他在事业上进展缓慢，更使他悲痛欲绝的是勒皮纳斯小姐于慢，更使他悲痛欲绝的是勒皮纳斯小姐于17761776年去世了在绝年去世了在绝望中达朗贝尔度过了自己的晚年，望中达朗贝尔度过了自己的晚年，17831783年年1010月月2929日卒于巴黎日卒于巴黎 由于达朗贝尔生前反对宗教，巴黎市政府拒绝为他举行葬由于达朗贝尔生前反对宗教，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼所以当这位科学巨匠离开这个世界的时候，既没有隆重的礼所以当这位科学巨匠离开这个世界的时候，既没有隆重的葬礼、也没有缅怀的追悼，只有他一个人被安静的埋葬在巴黎葬礼、也没有缅怀的追悼，只有他一个人被安静的埋葬在巴黎市郊的墓地里市郊的墓地里 达朗贝尔(Jean-le-Rond d’Alembert，1717—1783)和克莱洛一样，出生于巴黎，死于巴黎但两人却是常不友好的、科学上的对手达朗贝尔原是某贵妇的私生子，出生后被抛弃在巴黎一教堂旁，被一对穷苦的玻璃匠夫妇收养并接受教育达朗贝尔24岁被接纳到法国科学院，后竟成为巴黎科学院院士和终身秘书．△ 1743年发表了他的《动力学论著》 △ 1744年写了一篇关于流体的平衡和运动的论文 △ 1746年写了一篇关于风的起因的论文 △ 1747年写了一篇关于振动弦的论文 在这些文章中，达朗贝尔导出了偏微分方程，这使他成为研究这种方程的先驱。
拉格朗日拉格朗日( (法法, 1736-1813), 1736-1813)•数学、力学和天文学中都有重大历史性贡数学、力学和天文学中都有重大历史性贡献，分析学中仅次于欧位的最大开拓者，献，分析学中仅次于欧位的最大开拓者，论著超过论著超过500500篇篇•17541754年年(18(18岁岁) )发现莱布尼茨公式发现莱布尼茨公式•17551755年任数学教授年任数学教授( (都灵时期都灵时期: 1754-: 1754-1766)1766)•17881788年年《《分析力学分析力学》》( (柏林时期柏林时期: 1766-: 1766-1787)1787)•17971797年年《《解析函数论解析函数论》》( (巴黎时期巴黎时期: 1787-: 1787-1813)1813)•分析力学的创立者、分析力学的创立者、天体力学的奠基者天体力学的奠基者•17991799年伯爵，年伯爵，18131813年帝国大十字勋章年帝国大十字勋章 7.1.5 7.1.5 拉格朗日拉格朗日 拉格朗日(Joseph Louis Lagrange，1736—1813)出生于意大利的都灵19岁就被任命为都灵炮兵学校数学教授。
欧拉和达朗贝尔力荐他到柏林科学院任职1766年当欧拉离开柏林时，弗雷德里克大帝在写给拉格朗日的信中说：“欧洲最伟大的国王”希望有“欧洲最伟大的数学家”在他宫里拉格朗日接受了这个邀请，担任欧拉辞去的职位达二十年 在离开柏林几年之后，拉格朗日接受了新建立的高等师范学院的教授职位，后来又到高等工艺学院任教授第一个学校是短命的，而第二个学校在数学史上是著名的，因为现代法兰西的大数学家们中有许多在这里受过教育，而且有许多在这里当过教授拉格朗日 拉格朗日的著作对后来的数学研究有很深的影响，因为他是认识到分析的基础处于完全不能令人满意的状态，从而试图使微积分严谨化的最早的第一流数学家今天用得很普遍的记号 ,…就起源于拉格朗日 拉格朗日嗜好数论，在这个领域中也写了几篇重要的论文他在方程论方面的早期工作，使伽罗瓦后来有可能提出他的群论 欧拉写得过于细并且随便凭借直观，而拉格朗日写得简明并且谋求严格他在风格上是“现代的”，堪称第一个真正的分析家拿破仑与他那个时代的许多法国大数学家很亲近，他对拉格朗日总的评价是： “拉格朗日是数学科学方面的高耸的金字塔。
7.1.6 7.1.6 拉普拉斯和勒让德拉普拉斯和勒让德 拉普拉斯和勒让德是拉格朗日的同时代的人，虽然他们的主要著作发表于十九世纪 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace，1749-1827) 1749年出生于法国诺曼底地区的一个贫穷的家庭他的数学才能使他较早获得好的教学职位他在天体力学、概率论、微分方程和测地学领域内，都做了杰出的工作他写了两部不朽的著作： △ 《天体力学》（5卷，1799-1825） △ 《概率的解析理论》（1812） 五卷《天体力学》使他赢得了“法兰西的牛顿”的称号 拉普拉斯 拉普拉斯对数学物理的影响是巨大的．通常认为他偏爱应用而对纯粹数学不感兴趣．美国天文学家鲍迪奇，在他把拉普拉斯的论著译成英文时指出： “每当我遇到拉普拉斯在书中说‘显然可知’时，我就知道该花好多小时的冥思苦想去补充其脱节之处并确实证明它是多么显然可知但拉普拉斯有自己的想法．他在《概率的解析理论》“绪论”中曾这样写道： “分析和自然哲学中最重大的发现都应归功于这种丰富多产的方法，也就是所谓的‘归纳’方法．牛顿二项式定理和万有引力原理就是归纳法的成果”．与18世纪的其他数学家相比，拉普拉斯更醉心于发现结果而淡出证明。
不过无论如何，数学在他心目中有特殊的地位，因为他说过：“一切自然现象都是少数不变定律的数学推论”． 拉普拉斯的名字是与宇宙起源的星云学说、势论的所谓拉普拉斯方程分不开的，虽然这两项贡献没有—项是起源于拉普拉斯的他的名字与拉普拉斯变换和行列式的拉普拉斯展开式，也是分不开的 拉普拉斯曾得到达朗贝尔的帮助当上了巴黎军事学校数学教授，后来与拉格朗日(Lagrange)和勒让德(Legendre)并称“巴黎三L”．拉普拉斯是一个政治上的机会主义者，在法国革命动荡不定的日子里，无论哪个党偶然得势，他都去逢迎1827年逝世，正好是牛顿死后100年据说留下的遗言是： “我我们们知知道道的的，，是是很很微微小小的的；；我我们们不不知知道道的的，，是是无无限限的．的．” 勒让德(Adrien-Marie Legendre，1752—1833)以其很通俗的《几何学基本原理》在初等数学史上为人们熟知在其中他试图以精心排列和简化许多命题来对欧几里得《原本》作教学方法上的改进勒让德在高等数学方面的主要工作集中在数论，椭圆函数、最小二乘法和积分上 。
勒让德的名字，今天是与二阶微分方程联系在一起的，这在应用数学上是相当重要的满足此微分方程的函数被称作勒让德函数这种方程，当 为非负整数时，有特别有趣的所谓勒让德多项式的多项式解 7.1.7 7.1.7 蒙日蒙日 蒙日蒙日(Gaspard Monge，，1746—1818)是一位几何学者，是一位几何学者，16岁就在里昂学院任物理学讲师岁就在里昂学院任物理学讲师1768年，蒙日在梅齐埃尔担年，蒙日在梅齐埃尔担任数学教授，任数学教授，1771年还在那里担任物理学教授；年还在那里担任物理学教授；1780年被任年被任命为巴黎利瑟姆动力学讲座教授；命为巴黎利瑟姆动力学讲座教授；1795年高等工艺学校建立，年高等工艺学校建立，他首任校长，还在那里担任数学教授他在那里开设的画法他首任校长，还在那里担任数学教授他在那里开设的画法几何课，听课人数每次多达几何课，听课人数每次多达400余人 除了创造射影几何之外，蒙日还被认为是微分几何之除了创造射影几何之外，蒙日还被认为是微分几何之父他写的父他写的《《分析在几何学上的应用分析在几何学上的应用》》出了五版，是曲面出了五版，是曲面微分几何最重要的早期论著之一。
微分几何最重要的早期论著之一 蒙日不象三个蒙日不象三个L(Lagrange，，Laplace和和Legendre)那样避那样避开法国革命，蒙日是支持法国革命的他担任过革命政府的开法国革命，蒙日是支持法国革命的他担任过革命政府的海军部长，并且参加了为军队制造武器和火药的工作曾签海军部长，并且参加了为军队制造武器和火药的工作曾签署了处决路易十六的报告书王政复辟后，蒙日被剥夺了一署了处决路易十六的报告书王政复辟后，蒙日被剥夺了一切职务，不久谢世切职务，不久谢世 他与拿破仑有亲密的友谊，是拿破仑军营中最有威信他与拿破仑有亲密的友谊，是拿破仑军营中最有威信的科学参谋他与数学家傅立叶的科学参谋他与数学家傅立叶(Joseph Fourier，，1768—1831)一道随拿破仑进行倒霉的一道随拿破仑进行倒霉的1798年的埃及远征回到法年的埃及远征回到法国后，蒙日继续担任他在高等工艺学院的职位，在那里他国后，蒙日继续担任他在高等工艺学院的职位，在那里他被证明是一位非凡的、天才的教师他的演讲启发了许多被证明是一位非凡的、天才的教师他的演讲启发了许多后来有才能的几何学者后来有才能的几何学者. 7.2 7.2 微积分的发展微积分的发展 18世纪这些数学家虽然不像牛顿、莱布尼茨那样创立了微世纪这些数学家虽然不像牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没，假如没有他们积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没，假如没有他们的奋力开发与仔细耕耘，牛顿和莱布尼茨草创的微积分领地就的奋力开发与仔细耕耘，牛顿和莱布尼茨草创的微积分领地就不可能那样春色满园，相反也许会变得荒芜凋零．以下概要论不可能那样春色满园，相反也许会变得荒芜凋零．以下概要论述这一时期微积分深入发展的几个主要方面．述这一时期微积分深入发展的几个主要方面． ( (一一) )积分技术与椭圆积分积分技术与椭圆积分 18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现．在这方面，积分技术的而且作出了许多影响深远的新发现．在这方面，积分技术的推进尤为明显．推进尤为明显． 约翰约翰·伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教科书中求函数积分的常用方法．天微积分教科书中求函数积分的常用方法． 当18世纪的数学家们考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示．例如雅各布·伯努利在求双纽线（ ）弧长时，得到弧长积分 在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分 欧拉在1744年处理弹性问题时也得到积分 所有这些积分都属于后来所说的所有这些积分都属于后来所说的“椭圆积分椭圆积分”的范畴，它的范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数(如如三角函数、对数函数等三角函数、对数函数等)表示出来．椭圆积分的一般形式表示出来．椭圆积分的一般形式是是 (其中 是 的有理函数， 则是一般的四次多项式)． 勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本形式．对椭圆函数的一般研究在形式．对椭圆函数的一般研究在19世纪世纪20年代被阿贝年代被阿贝尔和雅可比尔和雅可比(C.G.Jacobi，，1804—1851)分别独立地从分别独立地从反演的角度发展为深刻的椭圆函数理论．反演的角度发展为深刻的椭圆函数理论． ( (二二) )微积分向多元函数的推广微积分向多元函数的推广 虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是重积分理论的主要是18世纪的数学家．世纪的数学家． 1720年，尼古劳斯·伯努利(Nicolaus BernoulliⅡ)证明了函数 在一定条件下，对 求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有 欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实．在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论． 达朗贝尔在达朗贝尔在1743年的著作年的著作《《动力学动力学》》和和1747年关于弦振年关于弦振动的研究中，也推进了偏导数演算．不过当时一般都用同一动的研究中，也推进了偏导数演算．不过当时一般都用同一个记号个记号d表示通常导数与偏导数，表示通常导数与偏导数，专门的偏导数记号专门的偏导数记号 多重积分实际上已包含在牛顿关于万有引力的计算中，但牛顿使用了几何论述．在18世纪，牛顿的工作被人以分析的形式推广．1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为 的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分： 到到19世纪世纪40年代才由雅可比在其行列式理论中正式创用并逐年代才由雅可比在其行列式理论中正式创用并逐渐普及渐普及 。
到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序．而拉格朗日在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究． ( (三三) )无穷级数理论无穷级数理论 微积分的发展与无穷级数的研究密不可分．牛顿在他的流数论中自由运用无穷级数，他凭藉二项式定理得到了 和 等许多函数的级数．泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法．在18世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具． 雅各布·伯努利在1689—1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，使他成为当时这一领域的权威，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下的面积和曲线长等方面的应用．这些构成了雅各布·伯努利对微积分算法的重要贡献． 就级数理论本身而言，其中一个很有启发性的工作是关于调和级数的和是无穷的证明．伯努利首先指出了 故有 这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量． 它相当于 其中的 叫做“伯努利数”。
利用它可以作 的近似计算当 很大时， 调和级数的讨论引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是利用发散级数而获得的一些著名的数值逼近公式．例如，斯特林在1730年得到一个发散的级数表示： 除了调和级数，当时引起热烈辩论的另一类发散级数是 雅各布·伯努利在1696年的论文中作如下推理： 当 时得到： 但另一方面 伯努利称这些互相矛盾的结果为“有趣的悖论”． 1703年，意大利数学家格兰弟(G.Grandi)通过 的级数展开又重新发现这一悖论：在级数 中令 ，得 格兰弟称之为“无中生有．” 这类发散级数悖论刺激了人们对无穷级数收敛性的思考18世纪先后出现了一些级数收敛判别法则．如莱布尼茨变号级数收敛定理(1713)；麦克劳林积分判别法(1742)；达朗贝尔级数绝对收敛判别法(1754)，等等． ( (四四) )函数概念的深化函数概念的深化 18世纪微积分发展的一个历史性转析，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象．这一转折首先也应归功于欧拉，欧拉在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”，微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论。
函数概念在17世纪已经引入，牛顿《原理》中提出的“生成量”就是雏形的函数概念．莱布尼茨首先使用了莱布尼茨首先使用了“函数函数”(function)这一术语．这一术语．他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”．最先将函数概念公式化的是约翰·伯努利．欧拉则将伯努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为： “变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式．” 在这一定义的基础上，函数概念本身大大丰富了．欧拉在《引论》中明确区分了代数函数与超越函数，将超越函数看成是以无限多次算术运算而得到的表达式，也就是说可用无穷级数表示的函数．欧拉还区分了显函数与隐函数、单值函数与多值函数等．通过一些积分问题的求解，一系列新的超越函数被纳入了函数的范畴． 除了上面已提到的椭圆积分外，18世纪得到的最重要的超越函数还有Γ-函数、B-函数： 这两个函数在欧拉《无限小分析引论》中都有论述，但欧拉早在1730年给哥德巴赫的一封信中已经发现它们． Γ-函数是欧拉用插值法将阶乘 概念推广到非整数情形时得到的积分表达式，“Γ-函数”的名称及记号 是勒让德后来(1811)给出的．欧拉在1771年进一步建立了这两个函数之间的关系： Γ-函数，B-函数与椭圆积分等一起，是18世纪新发现的超越函数的重要例子，对于函数概念的拓广多有影响． 在18世纪，已有的初等函数包括三角函数、指数函数和对数函数则被推广到了复数领域，这也是受到了积分计算的激发．因为例如当人们用部分分式法则来求积分 时，会导致形式为的积分，其中被积式的系数有可能是复数．由于这种积分在形式上可看作是对数函数，这就引起了关于什么是复数的对数和负数的对数的探讨． 1714年英国人柯茨(R．Cotes)得到了关系： 这一结果后又被欧拉独立得到并写进了《无限小分析引论》，《引论》中还发表了著名的公式： 这公式现在也叫“棣莫弗公式”，棣莫弗在1707—1730年曾逐步得到了相当于这一公式的结果 。
这些公式不仅使人们能正确回答什么是复数的对数，更重要的是揭示了三角函数、指数函数和对数 函数之间的深刻联系而形成了初等函数的统一理论． ( (五五) )微积分严格化的尝试微积分严格化的尝试 牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱,这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评． 1695年，荷兰物理学家纽汶蒂(B.Nieuwentyt)在其著作《无限小分析》中指责 牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据” 最令人震憾的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱，伯克莱(G.Berkeley，1685—1753).1734年担任克罗因(在今爱尔兰境内)主教的伯克莱，发表了一本小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》，副题中“不信神的数学家”是指曾帮助牛顿出版《原理》的哈雷(E.Haley)．伯克莱在书中认为当时的数学家们 以归纳代替演绎，没有为他们的方法提供合法性证明． 他集中攻击牛顿流数论中关于无限小量的混乱假设，例如在首末比方法中，为了求幂 的流数，牛顿假设 有一个增量o，并以它去除 增量得 o +… 然后又让o“消失”，得到 的流数 。
伯克莱指出这里关于增量o的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”．他讥讽地问道： “这些消失的增量究竟是什么呢?它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的消逝量的鬼魂鬼魂吗?” 《分析学家》的主要矛头是牛顿的流数术，但对莱布尼茨的微积分也同样竭力非难，认为其中的正确结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得． 伯克莱主教（爱尔兰，伯克莱主教（爱尔兰，1985）） 伯克莱对微积分学说的攻击主要是出于宗教的动机，目的是要证明：流数原理并不比基督教义“构思更清楚”、“推理更明白”．但他的许多批评是切中要害的，在客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力． 为了回答伯克莱的攻击，在英国本土产生了许多为牛顿流数论辩护的著述，其中以前面已提到的麦克劳林《流数论》最为典型，但所有这些辩护都因坚持几何论证而显得软弱无力．欧洲大陆的数学家们则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难．在在18世纪，这方面的代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日．世纪，这方面的代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日． 达朗贝尔在他为《科学，艺术和工艺百科全书》撰写的“微分”(Differentiel，1754)等条目中，讨论他所谓的“微分演算的形而上学”，即微分学的基础。
他在这里发展了牛顿的首末比方法，但用极限概念代替了含糊的“最初比”与“最终比” 达朗贝尔定义量 的极限为 ，如果“量 可任意逼近 ，这就是说， 与 之间的差可任意小”．他指出微分演算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限”，并认为“这也许是关于微分学的最精确、最简洁的定义” 欧拉在《微分学》中提出了关于无限小的不同阶零的理论，欧拉认为无限小就是零，但却存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算只不过是不同无限小量的几何比的研究．”他断言如果采取了这种观点，“在这门崇高的科学中，我们就完全能保持最高度的数学严格性” 拉格朗日则在《解析函数论》(1797)一书中，主张用泰勒级数来定义导数，以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“纯粹的代数分析艺术”． 我们可以说，欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核19世纪的分析严格化，正是这些不同方向融会发展的结果． 7.3 微积分的应用与新分支的形成 18世纪数学家们一方面努力探索使微积分严格化的途径；一方面又往往不顾基础问题的困难而大胆前进，大大扩展了微积分的应用范围，尤其是 与力学的有机结合，已成为18世纪数学的鲜明特征之一。
这种结合的紧密程度是数学史上任何时期不能比拟的． 当时几乎所有数学家都不同程度地同时也是力学家．欧拉的名字同刚体运动与流体力学的基本方程相联系；拉格朗日最享盛名的著作是《分析力学》(1788)，它将力学变成分析的一个分支;拉普拉斯许多最重要的数学成果是包含在他的五大卷《天体力学》(1799—1825)中. 这种广泛的应用成为新思想的源泉而使数学本身大大受惠，一系列新数学分支在18世纪成长起来． ( (一一) )常微分方程常微分方程 常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的，牛顿和莱布尼茨的著作中都处理过与常微分方程有关的问题．从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程，这些问题在当时往往以挑战的形式被提出而在数学家之间引起热烈的讨论．有名的如悬链线问题： 求一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点而形成的曲线． 这问题于1690年由雅各布·伯努利提出，第二年莱布尼茨、惠更斯(C.Huygens，1629—1695)和约翰·伯努利均发表了自己的解答，其中约翰·伯努利通过建立悬链线方程 解出了曲线 类似的还有与钟摆运动有关的“等时曲线”方程(1690，雅各布·伯努利)以及与光线路径问题有关的“正交轨线”方程(1715，莱布尼茨、牛顿)等． 数学家们起初是采用特殊的技巧来对付特殊的方程，但逐渐开始寻找带普遍性的方法． 莱布尼茨在1691年已用分离变量法分离变量法解出了形如 的方程．1696年他又用变量替换 将现在所称的“伯努利方程”(雅各布·伯努利，1695) 化成了关于 的线性微分方程．伯努利兄弟也推进了分离变量法分离变量法与变量代换法．与变量代换法． 解一阶常微分方程 的所谓“积分因子法”，先后由欧拉(1734—1735年间)和克莱洛(1739—1740年间)独立地提出．他们的方法是将方程乘以一个叫“积分因子”的量而使它化为“恰当方程”． 恰当方程是指方程左端 恰好是某个函数 的全微分 欧拉和克莱洛都给出方程是恰当的条件： 并指出了如果方程是恰当的，它就可以积分． 到1740年左右，几乎所有求解—阶方程的初等方法都已知道． 在常微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程是“黎卡提方程” 最先由意大利学者黎卡提(J.F.Ricatti)导出(1724)．这个方程本身是一阶方程，但黎卡提是通过变量替换从一个二阶方程“降阶”得到它的，这种降阶法后来成为处理高阶方程的主要手段． 1728年，欧拉在一篇题为《将二阶微分方程化为一阶微分方程的新方法》的论文中，引进了著名的指数代换将三类相当广泛的二阶常微分方程化为一阶方程，这是二阶常微分方程系统研究的开始． 高阶常微分方程求解的重要突破，是欧拉1743年关于 阶常系数线性齐次方程的完整解法． 对于 阶常系数方程 欧拉利用指数代换 ( 为常数)得到所谓特征方程 当 是该方程的一个实单根时，则 是原微分方程的一个特解．当 是特征方程的是重根时，欧拉用代换 求得为包含 个任意常数的解．欧拉指出： 阶方程的通解是其个特解的线性组合．他是最早明确区分“通解”与“特解”的数学家． 18世纪常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774—1775年间用参数变易法参数变易法解出了一般 阶变系数非齐次常微分方程。
简单情形的参数变易法可追溯到牛顿和约翰·伯努利欧拉在1739年则用此法解出了二阶方程 拉格朗日研究一般方程 其中P、Q、R、…、V、X皆为x的函数．已知相应齐次方程的通解为 此处 为积分常数,而 是齐次方程的特解．拉格朗日将 看作 的函数并利用 的各阶微商表达式及原方程求出 和 ，从而得到非齐次方程解． 参数变易法参数变易法来源于天体力学中的三体问题．三体问题为常微分方程理论提供了持久的刺激．在此问题中扮演中心角色的是—组二阶方程： 分别表示三个球形物体的质量， 表示第 个物体质量中心 的变动坐标， 为从 到 的距离．由于三体问题方程不可能精确地解出，其研究中一个重要的方向就是寻求近似解，即所谓“摄动理论”． 参数变易法是摄动理论的有力工具．拉普拉斯《天体力学》对三体问题及摄动理论也有重大贡献．． 常微分方程常微分方程l 包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式l 形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的进和互相推动的•初等解法初等解法q 分离变量法分离变量法q 变量代换法变量代换法q 积分因子法积分因子法q 黎卡提方程黎卡提方程q 降阶法降阶法q 常系数线性方程常系数线性方程2001年9月6日哈勃拍到的"星体爆发"星系 微积分对弦振动等力学问题的应用则引导到另一门新的数学分支——偏微分方程，一般将达朗贝尔1747年发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》看作为偏微分方程论的发端．虽然在达朗贝尔之前，泰勒和约翰·伯努利等也曾对弦振动进行过数学描述，但他们均未采用偏导数概念 (二二)偏微分方程偏微分方程 拉格朗日拉格朗日( (法国法国, , 1958)1958)l 包含未知函数以及偏导数的等式包含未知函数以及偏导数的等式l 偏微分方程理论研究一个方程偏微分方程理论研究一个方程( (组组) )是是否有满足某些补充条件的解否有满足某些补充条件的解, , 有多少个有多少个解解, , 解的各种性质与求解方法解的各种性质与求解方法, , 及其应及其应用用 达朗贝尔在上述论文中则明确推导出了弦的振动所满足的偏微分方程： 并给出了形如的通解．达朗贝尔还讨论了初始条件 ，他坚持18世纪标准的函数概念(即某种解析表达式)而要求初始函数和方程的解都是解析的． 在达朗贝尔发表他的弦振动研究后不久，欧拉也做了这方面的工作并写成一篇论文《论弦的振动》(1749年发表)，欧拉沿用了达朗贝尔的方法，但引进了初始形状为正弦级数 的特解 与达朗贝尔不同的是，欧拉允许任意种类的初始曲线，这方面的研究促使他对函数概念进行新的思考． 几年之后，约翰·伯努利之子丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli，1700—1782)也发表了他的《弦振动问题新思考》(1753)，他假定了所有可能的初始曲线均可表为正弦级数，从而弦振动问题所有可能的解都能是正弦周期模式的迭加： 丹尼尔的做法受到了达朗贝尔与欧拉的激烈反对，后二者都认为并非每一个函数均能表示成无穷三角级数．这场围绕着用三角级数表示任意函数的旷日持久的争论，将许多数学家卷了进来，直到19世纪傅里叶级数的工作出现以后才告平息． 18世纪获得的另一类重要的偏微分方程是位势方程，这与当时另一类热门的力学问题——计算两个物体之间的引力相关． 拉普拉斯在1785年发表的论文《球状物体的引力理论与行星形状》中，引进了标量函数y，它与引力分量 之间有关系： 稍后(1787)他又给出了这方程直角坐标形式 这就是所谓“位势方程”，现在通常就称“拉普拉斯方程”． 欧拉1752年在研究流体内部任一点速度问题时也曾得出同样的方程，但他不知道怎样求解，拉普拉斯首先用球调和函数解出了位势方程．位势理论主要是经拉普拉斯的工作才引起普遍关注，并由格林、高斯等发展为数学物理的重要部分． ( (三三) )变分法变分法 在18世纪出现的数学新分支中，变分法的诞生最富有戏剧性． 变分法起源于“最速降线”和其它一些类似的问题．所谓最速降线问题，就是 求出两点之间一条曲线，使质点在重力作用下沿着它由一点至另一点降落最快(即所需时间最短)． 这问题最早由约翰·伯努利提出来向其他数学家挑战，刊登在1696年6月《教师学报》上．问题提出后半年未有回音，他遂于1697年发表著名的元旦《公告》，再次向“全世界最有才能的数学家”挑战．《公告》中有一段话说： “能够解决这一非凡问题的人寥寥无几，即使是那些对自己的方法自视甚高的人也不例外”． 这段话被认为是隐射牛顿的．牛顿于1月29日从造币局回到住所，从一封法国来信中看到了伯努利的挑战，他利用晚饭后的时间一举给出了正确的解答——摆线(或称旋轮线)．牛顿将结果写成短文匿名发表在《哲学汇刊》上，伯努利看到后拍案惊呼：“从这锋利的爪我认出了雄狮!” 差不多同时，莱布尼茨、洛必达(G.F.A.L’Hospital，1661—1704)、雅各布·伯努利以及约翰·伯努利本人也都得到了正确的解答，他们的解答都刊登在同年5月的《教师学报》上． 用现代符号表示，最速降线问题是相当于求函数 ，使表示质点从 到 下降时间的积分 取最小值，其中g是重力加速度，α是与初始坐标及速度有关的常数. 伽利略曾解过这个问题，但误认为答案是一段圆弧．牛顿和雅各布·伯努利等人的研究意义不仅是在于给出了正确的答案摆线，更重要的是揭示了这一问题区别于普通极值问题的特征．因此这些工作与同时期出现的等周问题(求具有给定弧长的曲线，使其所围面积最大，属带附加条件的变分问题)，测地线问题(求曲面上两点之间的最短路径)等一道标志着一门新数学分支——变分法的诞生． 变分法处理的是一个全新的课题：求变量 的极大或极小值，这个变量(积分)与通常函数有本质区别，即它的值依赖于未知函数而不是未知实数．也就是说，如果将 看作是“函数”，那么可以说它是“函数的函数”．欧拉对于变分问题给出了一般的处理．他在1744年发表的《求某种具有极大或极小性质的曲线的技巧》一书中，将上述积分取极值的问题看作是求函数 的通常极值当 时的极限情形，从而导出了使积分 达到极值的函数所必须满足的必要条件，即 欧拉欧拉( (瑞士瑞士, , 1957)1957) 这个二阶常微分方程后来就叫“欧拉方程”，至今仍为变分法的基本方程．欧拉的工作奠定了变分法的这门新学科的独立基础．他的变分法在许多地方还依赖于几何论证． 变分法的另一位奠基人拉格朗日则在纯分析的基础上建立变分法．拉格朗日在1760年发表的《论确定不定积分式的极大和极小值的一个新方法》中，首创了函数 的“变分”(variation)概念，并用记号δ表示．他考虑由 变化而来的，通过端 点 与 的新曲线 (这与欧拉等改变极值化曲线的个别坐标的做法不同)，然后运用整个分析工具导出了使取极值的必要条件： 这与欧拉的方程一致． 拉格朗日还第一次成功地处理了端点变动的极值曲线问题及重积分情形，1770年以后又研究了被积函数中含有高阶导数的变分问题，这些后来都成为变分法的标准内容．拉格朗日的工作使由最速降线等特殊问题发展起来的变分法名符其实地成为分析的一个独立分支． n 17861786年起勒让德年起勒让德( (法法, 1752-1833), 1752-1833)讨论了变讨论了变分的充分条件分的充分条件n 17591759年拉格朗日年拉格朗日( (法法, 1736-1813), 1736-1813)引入变分引入变分的概念的概念 7.4 187.4 18世纪的几何与代数世纪的几何与代数 分析的光芒使18世纪综合几何的发展暗然失色，但分析方法的应用却开拓出了一个崭新的几何分支——微分几何，从而改变了18世纪几何学的面貌．“代数”在18世纪数学家心目中则是“分析”的同义语，他们将分析看作是代数的延伸，代数本身的研究有时便服从于分析的需要．在这样的情况下，18世纪代数学仍然为下一世纪的革命性发展作了必要的准备． ( (一一) )微分几何的形成微分几何的形成 微积分的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率、拐点、渐伸线、渐屈线等而获得了属于微分几何范畴的部分结果．但微分几何成为独立的数学分支主要是在18世纪． 1731年，十八岁的法国青年数学家克莱洛发表《关于双重曲率曲线的研究》，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步．克莱洛通过在两个垂直平面上的投影来研究空间曲线，首先提出空间曲线有两个曲率的想法．他认识到一条空间曲线在一个垂直于切线的平面上可以有无穷多条法线，同时给出了空间曲线的弧长公式与某些曲面的面积求法． 欧拉是微分几何的重要奠基人．他早在欧拉是微分几何的重要奠基人．他早在1736年就引进了平年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标．在面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标．在《《无限小分析引论无限小分析引论》》第第2卷中则引进了曲线的参数表示：卷中则引进了曲线的参数表示： 欧拉将曲率定义为曲线的切线方向与一固定方向的交角相对于弧长的变化率，并推导了空间曲线任一点曲率半径的解析表达式 欧拉的曲率定义是对克莱洛引进的空间曲线的两个曲率之一的标准化(另一个曲率，现在叫“挠率”，其解析表示到19世纪初才得到)． 欧拉关于曲面论的经典工作《关于曲面上曲线的研究》(1760)被公认为微分几何史上的一个里程碑．欧拉正确地建立了曲面的曲率概念．他引进了法曲率(法截线的曲率)，主曲率(所有法截线的最大和最小曲率)，并得到了法曲率的欧拉公式 (其中 是主曲率，α是一法截面与主曲率所在法截面的交角)． 1771年以后，欧拉还率先研究了他所谓“可展平在一张平面上”的曲面即可展曲面，导出了可展性的充分必要条件． 18世纪微分几何的发展由于蒙日的工作而臻于高峰． 蒙日1795年发表的《关于分析的几何应用的活页论文》是第一部系统的微分几何著述．蒙日极大地推进了克莱洛、欧拉的空间曲线与曲面理论，其特点是与微分方程的紧密结合．曲线与曲面的各种性质用微分方程来表示，有共同几何性质或用同一种方法生成的一簇曲面应满足一个偏微分方程．蒙日借着这些偏微分方程对曲面簇、可展曲面及直纹面进行研究而获得了大量深刻的结果． 例如，他给出了可展曲面的一般表示，并说明除了垂直于 -平面的柱面外，这种曲面总满足偏微分方程 他还给出了直纹面满足的三阶偏微分方程，利用这些方程的积分，蒙日证明了欧拉未能证明的事实：可展曲面是特殊的直纹面，并知道逆命题是不成立的． 与18世纪大多数数学家不同的是，蒙日不仅是将分析应用于几何，同时也反过来用几何去解释微分方程从而推动后者的发展，他开创了偏微分方程的特征理论，引进了探讨偏微分方程的几何工具——特征曲线与特征锥(现称“蒙日锥”)等，它们至今仍是现代偏微分方程论中的重要概念． 蒙日是18世纪少有的对几何与分析予以同等重视的数学家，他和他领导的法国几何学派的工作对于18世纪末、19世纪初综合几何的复兴有重要的影响． 与微分几何相联系的解析几何在18世纪也有长足的进步．特别是帕伦(A.Parent)在1705、1713年将解析几何推广到三维情形，该项工作被克莱洛所继续．解析几何在18世纪突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数技巧的界限． 方程论方程论1717、、1818世纪，关于代数方程论主要在以下几个问题展开：世纪，关于代数方程论主要在以下几个问题展开： （＊）关于根的存在性问题，即代数基本定理的证明。
（＊）寻求解四次以上方程的代数解法 （＊）不解出方程而按照它的系数去探求它的根的一些性质－根与系数关系 （＊）关于根的近似计算 ( (二二) )方程论及其他方程论及其他 18世纪代数学的主题仍然是代数方程．世纪代数学的主题仍然是代数方程． 在这世纪的最后一年，年青的高斯(C.F. Gauss,1777-1855)在他的博士论文《每个单变量有理整函数均可分解为一次或二次实因式积的新证明》(1799)中公布了代数基本定理的第一个实质性证明，高斯的这一成果可以看作是18世纪方程论的一个漂亮的总结． 代数基本定理断言: 次代数方程恰有次代数方程恰有 个根个根.它最早是由荷兰数学家吉拉尔(A.Girard)于1629年提出，后经笛卡儿、牛顿等众多学者反复陈述、应用，但均未给出证明．到18世纪，由于有理函数的积分涉及多项式的因式分解，又强烈刺激了数学家们证明这一定理的愿望．欧拉、拉格朗日等名家都先后试过身手，竟均告败北． 高斯的证明另辟新径，他将多项式方程的根与复平面上的点对应起来，并说明它们是某些曲线的交点，然后证明了交点必然存在．高斯的这个证明是纯粹存在性的，而在他之前，自古希腊以来几乎所有的数学家都是通过实际构造出一个问题的解来显示其存在．当然高斯的第一个证明在逻辑上仍不完美，其中用到了与连续函数和代数曲线连续性有关的事实而未作证明，他只是说“据我所知，没有人对此表示怀疑”．高斯后来又给出了代数基本定理的另外三个不同的证明． 18世纪代数方程论发展的另一个方向是高次方程根式可解世纪代数方程论发展的另一个方向是高次方程根式可解性问题的探讨性问题的探讨．这个文艺复兴以来的难题，不像代数基本定理那样幸运，能够在18世纪奏响解决的凯歌，但这个世纪的数学家们还是做出了历史性贡献，其中拉格朗日的工作最为重要． 拉格朗日在1770年发表长篇论文《关于代数方程解的思考》，他在其中探讨一般三、四次方程能根式求解的原因，发现三次方程有一个二次辅助方程，其解为原三次方程根的函数，并且在根的置换下仅取两个值；四次方程则有一个三次辅助方程，其解在原方程根的置换下仅取三个不同值。
他称这些辅助方程的解为原方程根的“预解函数”，并试图进一步将上述方法推广到五次和五次以上的方程．他继续寻找五次方程的预解函数并希望它是低于五次的方程的解，但没有成功，因而猜测高次方程一般不能根式求解． 拉格朗日最有启发性的思想是研究根的对称函数并考虑一个有理函数当其变量发生置换时取值的个数，这蕴含了置换群的概念．到了这个世纪的最后一年，意大利的鲁菲尼(P．Ruffini，1765—1822)用拉格朗日的方法证明了不存在一个预解函数能满足一个次数低于五次的方程，并明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解． 18世纪代数方程发展的第三个方向是方程组理论．世纪代数方程发展的第三个方向是方程组理论． 首先是线性方程组与行列式理论．莱布尼茨的行列式及其性方程组消元中的应用的思想得到了发展．瑞士数学家克拉默(G.Cramer，1704—1752)在《代数曲线分析引论》(1750)一书中提出了由系数行列式来确定线性代数方程组解的表达式的法则，就是我们今天常用的“克拉默法则” 行列式理论后来被法国数学家范德蒙德行列式理论后来被法国数学家范德蒙德(A.J.Vandermonde，，1735——1796)系统化了．系统化了．范德蒙德的研究(1772)使行列式与线性方程组求解相分离而成为独立的数学对象，因此他被认为是行列式理论的奠基人．范德蒙德也将行列式用于线性方程组求解，并给出了一条法则，用二阶子行列式及其余子式来展开行列式，这法则后来被拉普拉斯推广到一般情形而称为“拉普拉斯展开”．范德蒙德也是最早注意到研究代数方程根的对称函数对于解决四次以上方程根式求解问题的重要性的学者之一，因而在数学史文献中，常常与拉格朗日一起被列为群论的先行者．常常与拉格朗日一起被列为群论的先行者． 与与方方程程论论相相联联系系的的是是人人们们对对数数的的认认识识．．18世纪的数学家还谈不上有完整的数系概念和建立数系的企图．他们在具体的研究中已经认识了整数、有理数、无理数和复数，但对接受负数与复数还存在疑虑与争议．18世纪在弄清复数的意义方面是有功绩的．达朗贝尔在1747年关于一切复数均可以表示成形式 的断言也被多数人接受，虽然他的论证还不够严密；高斯对代数基本定理的证明假定了复数与平面上点的对应，这也加强了复数的地位.但是，笼罩着虚数的疑云，要等到复数的几何表示明确地建立起来并获得广泛传播之后才能被驱散． 1806年瑞士人阿尔冈(R．Argand)、1831年高斯各自独立地发表了关于复数几何表示的研究，其中高斯的工作对于人们普遍接受复数概念影响尤大．但即使是这样，1831年伦敦大学数学教授德摩根(A.De Morgan，1806---1871)在《论数学的研究和困难》一文中仍认为虚数和负数“二者都是同样的虚构，因为 和 ( 为正数)同样是不可思议的”． 18世纪数学家在澄清无理数的逻辑基础方面没有进展，但他们以相对平静的态度接受了一些数的无理性．欧拉在1737年证明了e是无理数．他的证明以连分式为基础．因为他已经证明了每一个有理数都能表示成一个有限的连分式，所以e必定是无理数．1761年兰伯特(J.G.Lambert，1728—1777)用类似方法证明了 是无理数．稍后勒让德甚至猜测说 可能不是任何有理系数方程的根．这促使数学家们将无理数区分为代数数和超越数． 任何有理系数代数方程 的任何一个根叫代数数(包括了全体有理数和一部分无理数)．不是代数数的数叫做超越数，因为欧拉说过： “它们超越了代数方法的能力”． 但在18世纪，数学家们还没有找到任何一个具体的超越数．直到1844年，法国数学家刘维尔(J.Liouville，1809—1882)才第一次真正地显示了超越数的存在，他证明了形如( (三三) )数论进展数论进展 近代意义的数论研究是从费马开始的．费马提出了一堆定理，这些定理，毋宁说是猜想，因为费马只对其中个别命题留下了自己的证明．这些猜想，使数学家们忙碌了好几个世纪，有的至今仍为现代数论饶有兴趣的课题。
的数都是超越数．1873年和1882年，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼(C.L.F．Lindemann，1852—1939)又分别证明了e和 的超越性． 费马费马(Fermat, P.1601—1665) 费马1601年生于法国南部图鲁斯附近的波蒙，父亲是个商人，费马从小就受到良好的家庭教育．他在大学攻读法律，毕业后当了律师．费马结交了不少数学高手和哲学家，参加聚会，讨论科学、研究数学，还经常和友人通信交流数学研究工作的信息，但对发表著作非常淡漠． 费马在世时，没有完整的著作问世．当他去世后，他的儿子将费马的笔记、批注及书信加以整理汇成《数学论集》在图鲁斯出版． 费马为解析几何与微积分的创立作出了实质性的贡献．从费马与罗伯瓦、帕斯卡的通信中可以看出，他在笛卡尔《几何学》发表前至少８年就已相当清晰地掌握了解析几何一些基本原理 下面是费马提出的部分“定理”． (1) 费马小定理：如果 是素数， 与 互素，则 可以被 整除． (2) 费马大定理：方程 对任意大于2的自然数 无整数解． 这是费马在1640年10月18日致德贝西(B.Frenicle de Bessy)的一封信中提出的．1736年由欧拉证明。
这是费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时做的页边批注费马在批注中称： “我已找到了一个奇妙的证明，但书边空白太窄，写不下”． 从那时起，为了“补出”这条定理的证明，数学家们花费了三个多世纪的心血 1753年，欧拉在致哥德巴赫(CGoldbach，1690—1764)的一封信中宣布证明了 时的费马大定理，欧拉的证明后发表在他的《代数指南》(1770)一书中．直到直到1994年年9月，才由英国月，才由英国40岁的年轻数学家维尔斯岁的年轻数学家维尔斯(A.Wiles)解决．解决． (3) 费马数： ，n=0,1,2,3,…．费马在1640年给梅森的一封信中断言这样的数永远是素数．” 欧拉在1732年推翻了这一结论，他证明当n=5时， 有一个因子是641 18世纪数学家们也提出自己的猜想，其中最著名的是哥德世纪数学家们也提出自己的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想与华林问题．巴赫猜想与华林问题． 德国数学家哥德巴赫与欧拉有长达德国数学家哥德巴赫与欧拉有长达35年的书信交往，许多年的书信交往，许多重要成果就是通过这种方式记录下来．重要成果就是通过这种方式记录下来． 哥德巴赫哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。
他于究数学的富家子弟他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通的教育哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 哥德巴赫 哥德巴赫（哥德巴赫（1690.3.18～～1764.11.20）是德国数学家曾在英国牛）是德国数学家曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族，所各国访问期间结识了贝努利家族，所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师1725年到俄国，同年被选为年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；彼得堡科学院院士；1725年～年～1740年年担任彼得堡科学院会议秘书；担任彼得堡科学院会议秘书；1742年年移居莫斯科，并在俄国外交部任职移居莫斯科，并在俄国外交部任职曾提出著名的曾提出著名的哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 1742年6月7日哥德巴赫在给欧拉的一封信中写道： “我不相信关注那些虽没有证明但很可能正确的命题是无用的，即使以后它们被验证是错误的，也会对发现新的真理有益．”然后他说“我也想同样冒险提出一个假设”． 哥德巴赫的假设相当于说： 每个偶数是两个素数和；每个奇数是三个素数之和每个偶数是两个素数和；每个奇数是三个素数之和．． 这就是著名的哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想．哥德巴赫的原始陈述相当含糊，欧拉将其进一步明确化，但却未能证明这个命题．上述的形式是英国数学家华林(E,Waring，1734—1798)在他的《代数沉思录》(1770)中首先给出的． 华林在同一著作中还提出了他自己的一个猜想： 任一自然数 可表示成至多 个数的 次幂之和， 即 ,其中 为自然数， 依赖于 ． 华林举出了一些特例，如每个自然数或者是4个平方数之和，或者是9个立方数之和，或者是19个四次方数之和，等等，但均未给出证明．此猜想后以“华林问题”著称。
华林问题1909年才由希尔伯特首次证明，哥德巴赫猜想则至今悬而未决． 18世纪数论还有两项深刻的工作需要特别提到，它们都属于欧拉．一个是欧拉在1737年导出的恒等式 其中 取遍所有的正整数， 取遍所有素数．欧拉是利用算术基本定理(即每个合数可以唯一地表示素数的乘积)证明这一恒等式的，并用这一恒等式证明了素数个数无穷素数个数无穷．该恒等式在数论与分析之间架起了桥梁，是解析数论的肇端．右式函数后被黎曼推广到 取复值的情形，现称黎曼ζ函数，是现代解析数论的主要工具． （ ） 欧拉另一项工作是他在1743年发现的二次互反律二次互反律．二次互反律诚如欧拉本人预言的那样，在19世纪成为数论研究的重要课题并引出了“许多伟大的结果”，从而开启了数论的一个新领域——代数数论． 18世纪的数论是一些分散但却引人人胜的结果与猜想的记录，也许在17、18世纪数学家们提出的数论问题比解决的更多些，然而我们已经并将进一步看到，19世纪数论世纪数论两大领域两大领域————解析数论与代数数论的系统发展，都可以在解析数论与代数数论的系统发展，都可以在18世纪找到根源．世纪找到根源． 从17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓．在18世纪行将结束的时候，数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪． 拉格朗日在1781年写给达朗贝尔的一封信中说：“在我看来似乎(数学的)矿井已经挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它，……科学院中几何学(指数学)的处境将会有一天变成目前大学里阿拉伯语的处境一样，那也不是不可能的”．欧拉和达朗贝尔同意拉格朗日的观点． 法国法兰西学院一份《关于1789年以来数学科学进展的历史及其现状的报告》更是预测在数学的“几乎所有的分支里，人们都被不可克服的困难阻挡住了；把细枝末节完善化看来是剩下来唯一可做的事情了，所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了” 当然也有人看到了曙光，孔多塞在1781年写道：“不应该相信什么我们已经接近了这些科学必定会停滞不前的终点，……我们应该公开宣称，我们仅仅是迈出了万里征途的第一步”!悲观情绪悲观情绪 选择题与填空题1．发现著名公式．发现著名公式eiθ=cosθ+isinθ的是的是( D )•A.笛卡尔笛卡尔 B.牛顿牛顿 C.莱布尼茨莱布尼茨 D.欧拉欧拉 2．大数学家欧拉出生于（．大数学家欧拉出生于（ A ））•A.瑞士瑞士 B.奥地利奥地利 C.德国德国 D.法国法国 3．哥德巴赫猜想是．哥德巴赫猜想是________国数学家哥德巴赫于国数学家哥德巴赫于 18 世世纪在给数学家纪在给数学家 ________的一封信中首次提出的。
的一封信中首次提出的 简答题•1.简述微积分的发展简述微积分的发展•答答:大不列颠以泰勒、麦克劳斯、棣莫弗、斯特林继承和发展了大不列颠以泰勒、麦克劳斯、棣莫弗、斯特林继承和发展了牛顿创立的微积分；欧洲大陆以伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、牛顿创立的微积分；欧洲大陆以伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日为代表继承和发展了莱布尼茨创立的微积分拉格朗日为代表继承和发展了莱布尼茨创立的微积分•微积分的发展分为微积分的发展分为5个方面：个方面：•（（1）积分技术与椭圆积分：包括变量替换、部分分式积分，椭）积分技术与椭圆积分：包括变量替换、部分分式积分，椭圆积分；圆积分；•（（2）微积分向多元函数的推广：包括偏导数和多重积分；）微积分向多元函数的推广：包括偏导数和多重积分；•（（3）无穷级数理论：包括收敛性、调和级数、判别法；）无穷级数理论：包括收敛性、调和级数、判别法；•（（4）函数概念的深化；）函数概念的深化；•（（5）微积分严格化的尝试：其中主要著作有达朗贝尔的）微积分严格化的尝试：其中主要著作有达朗贝尔的《《科学、科学、艺术和工艺百科全书艺术和工艺百科全书》》，拉格朗日的，拉格朗日的《《解析函数论解析函数论》》。
代表学代表学科：分析学和分析科：分析学和分析 作业作业1.简述费马大定理的具体内容，并指出简述费马大定理的具体内容，并指出它是哪一年被提出的，又在何时被解它是哪一年被提出的，又在何时被解决决.2.简述分析学在简述分析学在18世纪的新分支世纪的新分支 谢谢 谢！谢！ 。