第三章 等比数列的前n项和教材分析一、内容安排本小节首先通过具体例子说明如何求等比数列的前n项和,然后导出等比数列的前n项和公式,最后举例说明公式的运用．二、目的要求通过本小节的教学，要让学生掌握等比数列的前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题． 三、教材分析和建议1．本小节的重点是等比数列的前n项和公式. 学习中可能遇到的困难是等比数列的前n项和公式的推导以及公式的综合运用.为此要启发学生利用等比数学的特点，即等比数列每一项乘以公比就得到它后面相邻的一项,从而与有n-2项相同,彼此相减就可以消去这些相同的项．2．通过等比数列的前64项和 ． ①可以看到,如果①的右边各项都乘以2,就得到. ②可以发现,①的右边第2项到第64项与②的右边第1项到第63项相同,①,②两式左边,右边分别相减就可以消去这些相同项,求得.这里2是的公比.由此启发得出一般求等比数列前n项和的思路,即在 的两边都乘以公比q,进而推得公比不为1的等比数列的前n项和公式.注意运用公式的条件是数列为等比数列且公比不为1．当时,数列变为它的前n项和．3．例1～例4是等比数列前n项和公式的运用．（1）例1中已知，q（）及，可用第1个公式求和．（2）例2中，不是等比数列，不能直接用等比数列的前项和公式．但是等比数列（公比为）,也是等比数列（公比为）．由，可知，这两个等比数列的公比都不为1．分别求出这两个等比数列的和，进一步就得到了所求的和．在本例中，遇到这样分子或分母是分式的式子，像这样的式子叫做繁分式．繁分式的化简可以化成繁分式的分子除以分母进行，也可以利用分式的基本性质．上式的化简可如下进行： （3）例3的解题思路是由已知条件得出关于公比的一个等式（不必由这个等式求出的具体数值），再来证明结论．在本题中，，这一点可以用反证法证明．本题也可运用公式，由，得出，即．所以，即成等差数列．（4）例4是一个城市汽车发展规划和环境保护的实际问题，教科书安排这道题，主要是为了帮助学生学会提出问题，合理选择解决问题的方案，并通过解决问题来验证结论和猜想．本问题的提出，是建立在人民生活水平不断提高、城市化发展加快与环境污染加重的矛盾之上的．而解决问题的依据，则是找到汽车保有量随时间变化的规律．但要直接得到汽车保有量关于时间的通项公式难度会很大．这就要求教师对学生进行引导，使学生能认识到解决问题的关键是从每年汽车保有量的变化入手，经过观察归纳得到通项公式．在信息技术日益重要的今天，学生应当养成借助信息技术工具解决问题的意识和习惯，本体还可以利用图形计算器或计算机进行探索和验证． 4．习题3.5安排了11个题目．其中第5题中的图形称为希尔宾斯基地毯，其中正方形的个数的变化规律是后一次在前一次生成的每一个正方形的四周又生成8个小正方形……．第6题是已知及求，．一般来说，已知和求，，只有一些特殊情况时（如），问题才容易获得解决，否则将遇到复杂的方程，难于求解．第8题要分两种情况进行证明（公比为1的等比数列也符合成等差数列的条件）．补充材料例4的结论可以根据所得的通项公式，利用图形计算器或计算机作出数列{an}的图象，并跟踪图象上的点，得到有效的验证．以下提供在TI-92Plus图形计算器上的具体操作步骤：目 的 步 骤 按 键 显 示 内 容1）进入SEQUENCE模式 MODE► 4ENTER2）输入关系式显示Y＝编辑器；输入关系式yn =(1－7%) yn－1+3.5． [Y=] ( 1 － 7 100 ) u1 ( n － 1 ) 3.53）设置表格进入TblSet状态，设置从第一年开始，研究每年的汽车数量． [TblSet]1 ▼ 1 4）显示表格数据进入TABLE状态，计算并以表格的形式显示出从第一年开始每年的汽车数量．移动光标进行观察． [TABLE] 5）调整窗口变量通过对图象的观察，适当调整窗口变量，以利于所研究图象的显示. ［WINDOW］6）显示并观察图象利用GRAPH功能作出汽车数量随时间变化的散点图．进入Trace状态，移动光标观察每个点的数据． ［GRAPH］F3 阅读材料 有关储蓄的计算 本材料在介绍整存整取定期储蓄及活期储蓄的基础上，还介绍了零存(每月某日存入相同的金额)整取(到期一次提取本金及利息)储蓄存款的利息的计算．这种存款的利息的计算的关键是弄清各期存款的利息，实际上，每期存款利息＝本金期数每期利率，各期利息之和就是所求利息．由此得到利息计算公式．在导出公式过程中运用了等差数列的前项和公式．考虑到个人取得储蓄存款利息应依法纳税，存款到期实际所得为 本金＋利息－应纳税额．。