随机结构激励模型及随机振动反应分析结构在服役期间， 必将受到各种荷载的作用 对于建筑结构， 在服役期间不可避免的会受到风力的作用， 而且甚至会受到地震的作用；海洋上的结构， 如海上风力发电高塔，海洋平台等，会受到海洋波浪的作用；行驶在路面上的车辆，由于路面的不平顺使得车辆受到动力作用；飞机在飞行中由于大气的自由流动也会受到扰动 这些作用在结构上的荷载， 不仅随着时间发生变化， 而且具有明显的随机性而对于随机动力荷载下结构响应的问题，确定性的动力分析无法考虑随机性，随机振动理论应运而生Equation Chapter 1 Section 1随机振动的物理数学基础早在30 年代已基本奠定1827 年 Brown 对悬浮在水中微小花粉粒子杂乱运动的观察，为最早的系统对随机激励响应的实验研究19 世纪后期 Maxwell 和 Boltzmann 用统计方法描述系统可能状态和达到的概率，但没有考虑统计随时间的演化1919 年 Rayleigh 用“随机振动”一词描述一等价于平面随机行走的声学问题用随机方法研究动力学行为始于1905 年， Ein stein从理论上解释了Brown 运动，1915 年 Smoluchowski 扩展了 Einstein 的结果并进行实验研究。
1908 年 Langevin 导出含有随机项的微分方程，成为随机微分方程的第一个例子， Fokker 于 1915 年、Plank 于 1917 年、Колмогоров于 1931年、伊藤于 1946 年都对随机微分方程的研究作出贡献1933 年 Андронов等应用随机微分方程讨论随机扰动下一般动力系统的运动1920 年 Taylor 引入相关函数概念，Wiener 于 1930 年和 Хинчин于 1934年分别建立了谱的理论， 这些数学工具首先应用于通讯和控制系统而不是结构和机械的强度分析，因为工程技术尚无此要求随机振动的研究始于50 年代中期由于喷气和火箭技术的发展在航空和航天工程中提出一系列问题，如大气湍流引起的飞机颤振， 喷气噪音导致的飞行器表面结构声疲劳，传动系统中滚动件不光滑而啮合不完善的损伤积累，火箭推进中运载工具有效负载可靠性等，都促使研究者运用已有数学工具，并借鉴这些工具在通讯等学科中的应用以解决面临的工程问题Miles 于 1954 年和Powell 于 1955 年分别研究了飞行器结构颤振损伤积累的时间无规和空间涨落1955年 Morrow 和 Muchmore 把谱分析引进随机振动并建立了结构随机响应等基本概念。
1957 年 Erigen 研究了连续体的随机振动并讨论振型相关性1958 年Crandall 主编《随机振动》的出版标志着随机振动这一振动力学分支的诞生60年代以来，随机振动在应用和理论方面都发展迅速振动测试技术是随机振动应用的前提在 70 年代之前基本采用模拟式仪器由于计算机技术的迅速发展及1965 年 Cooley 和 Tukky 发明快速 Fourier 变换算法， 70 年代以来数字式测试设备广泛采用 在此基础上系统的识别与诊断及随机振动实验技术有很大发展，应用范围也愈来愈广泛， 由飞机和火箭扩展到汽车、 船舶及高层建筑、 海洋工程结构等在理论研究中，非线性随机振动备受重视1959 年 Caughey 研究提出随机等效线性化方法，而该方法在1954 年便被 Booton 应用于控制系统 1961 年Crandall 建立随机摄动法 1966 年以后，Stratonovich、Khasminskii、Papanicolaou与 Kohler 等发展了随机平均法结构随机振动分析，一方面要研究随机激励模型，地震、海浪、风等荷载形式都是极为复杂的， 模拟这些随机动力荷载， 即要掌握大量的数据资料， 也要把握其内在的物理机制， 这些工作都不是轻而易举能够解决的；另一方面研究随机振动分析方法。
对于线性的结构，由于服从叠加原理，能够较为容易的解决而非线性结构，对于实际的结构，即使是确定性的动力问题，都是难以求解的，随机振动更是困难1. 随机结构激励的一般模型随机激励的一般模型可分为平稳模型和非平稳模型两种平稳模型就是平稳随机过程结构随机激励的平稳模型记为()Fst，则( )Fst的均值是常数、相关函数只依赖于时间差，即()()( ) ()1221,, ssssFFFFmtmRt tRtttt===-(1.1) 当()0 sFmt =时，( )Fst的相关函数与其谱密度( )FsSw之间有如下关系：( )()1()( )2ssssi FFi FFRSedSRed(1.2) 即( )sFR和()sFS构成 Fourier 变化对当()0 sFmt1时，()Fst的协方差函数( )sF与其( ) sFS之间有上述关系式 (1.2)对于结构随机激励的平稳模型， 我们只要知道它的均值和相关函数、或者均值和谱密度就可完全确定这个模型的统计特性在确定具体的结构随机激励平稳模型时，我们总是根据大量的实测时程曲线去统计确定均值和相关函数的具体表达形式、或者均值和谱密度的具体表达形式，二者只要知道其中一个， 即可由关系式(1.2)求得另一个。
不同的平稳随机模型主要反映在相关函数或谱密度的具体表达形式上的不向结构随机激励的平稳模型就是非平稳随机过程，可以分为两类： 均匀调制非平稳模型和调制非平稳模型1) 均匀调制非平稳随机模型：这种随机模型又称为可分离式非平稳随机模型，它可以表示为确定性函数与平稳随机过程的乘积，即( )( )( )FFstf tt=(1.3) 式中( )f t是表示随机激励非平稳特性的确定性函数；( )Fst是平稳随机过程假定模型 (1.3)中()F t的均值()0Fmt=因此，平稳随机过程( )Fst的均值()0 sFmt =对于均值不为零的非平稳随机激励( )F' t，我们取( )( )()'FF'Fttmt=-，从而有模型(1.3)的形式当已知( )Fst的相关函数( )sFR或者谱密度()sFS时，非平稳随机干扰()F t的相关函数和谱密度可容易地求得为12( )( )sFFRf tf tR(1.错误！未找到引用源 ) 2()()sFFSftS(1.5) 与平稳随机模型类似， 非平稳随机模型的统计特性也完全由其均值和相关函 数或者是均值和谱密度所确定 在工程实际中， 为了建立起这种随机激励的非平稳模型，在大量实测记录统计分析的基础上，首先合理确定平稳随机过程( ) sFR的统计特性——相关函数或者谱密度，其次合理确定反映该随机干扰非平稳待性的确定性函数( )f t。
2)调制非平稳随机模型：这种非平稳随机模型可以表示为( )()( ),itF tA tedwww￥--=Zò(1.6) 式中(),A t w是时间t和频率w的确定性函数，称为调制函数；( )Z w是均值为零的正交增量过程，它通过下式与某个平稳过程( ) sF联系起来：( )( )2sFE dZSdwww轾=犏犏臌(1.7) 式中( )sFSw是( )sF的谱密度这里假定模型 (1.6)中()F t的均值( )0Fmt=对于均值不为零的非平稳随机激励( )F' t，总可以取( )( )()'FF'Fttmt=-，从而有模型 (1.6)的形式调制非平稳随机模型的相关函数和谱密度可分别表示为()() ()( )()21*1212,,, sittFFRttA tAtSedwwwww￥--=ò(1.8) ()()( )2 ,, SFFStA tSwww=(1.9) 式中*表示复共轭因此，调制非平稳随机模型的统计特性完全由调制函数(),A t w和平稳过程( )sFt的统计特性——相关函数或谱密度完全确定1.1. 脉动风速随机模型风荷载是高耸结构 (如烟囱、电视塔、输电线塔和桅杆等)、高层建筑、大跨和桥梁结构等的主要荷载。
作用于结构的风力主要与风速有关脉动风速的随机模型： 实测资料表明， 在一次大风过程中， 在风速最强的时段内，任意固定高度处的风速总是围绕其平均值平稳地变化，因此，风速(),v z t可以分解为两部分：平均风速( )avz和脉动风速( ),dvz t，即风速可以表示为()( )(),,adv z tvzvz t=+(1.10) 平均风速沿高度的变化规律一般符合指数律或对数律1) 指数律：根据实测结果的分析，Davenport 等人提出的指数律可以表示为( )aaassvzzvz骣÷?÷?=÷?÷?桫(1.11) 式中sz 和asu分别是标准高度及标准高度处的平均风速；a是地面粗糙度（指数律用） 地面粗糙的程度愈大，a亦愈大2) 对数律：根据近地风速摩擦层的理论研究和实测结果的分析，Гaндин等人提出的对数律可以表示为( )00lnlnlnlnaassvzzzvzz-=-(1.12) 式中0z 是风速等于零的高度， 随地面粗糙程度而变化， 因而也称为地面粗糙度 （对数律用） 地面粗糙的程度愈大、0z 愈大 脉动风速是随机的，可以用随机过程来表示， 而且大量的实测分析结果表明，它是平稳随机过程，且由(1.10)知，脉动风速的均值是零。
利用风速实测记录统计确定脉动风速的相关函数或谱密度的方法通常有两种：一种是将强风记录进行相关分析直接得到相关曲线，然后通过曲线拟合求得相关函数的具体表达形式； 另一种是将强风记录通过超低频滤波器直接得到谱曲线，然后通过曲线拟合求得谱密度的具体表达形式1.2. 地震地面运动的随机模型由于地震发生、 震源机制、 传播途径与场地条件等因素的随机性，使观测地震动加速度时程具有显著的随机性地震动的随机性包括两个层面： 一是地震活动的随机性，地震活动性指的是地震活动的时、空、强度和频度的规律；另一层面是地震动过程的随机性 基于随机过程理论研究地震动源于真实强震记录的获得，1947 年 Housner 针对强震记录所表现出的强烈不规则性，提出用随机过程理论解释和描述地震动的加速度时程至今，已有多种随机地震动模型提出按所提出的随机地震动模型平稳与否， 可以将现有的描述地震动随机性的方法归纳为平稳地震动随机模型和非平稳地震动模型鉴于非平稳模型的不成熟性， 在此只讨论平稳模型1) 时域平稳模型1947年，Housner提出用平稳脉冲序列模拟真实地震动，假定地震动加速度可以简化成一系列集中脉冲的集合， 每个脉冲的大小一定， 但到达时刻是随机的，其分布是均匀的。
加速度的表达式为： ( )()gi iatVttd=-?(1.13) 式中，( )gat为 t 时刻的加速度， V 表示集中速度脉冲，( )td为 Dirac 函数，it表示第 i 个脉冲的到达时刻尽管这个模型存在着一些问题，但作为一个开创性工作是值得充分肯定的 Goodman等推广了 Housner的概念，仍然假定地震动加速度为一系列集中脉冲， 但不仅每个脉冲的到达时刻是随机的，而且大小也是随机的彼此独立， 有相同的分布 时域平稳模型只能在现象上获得和真实地震动相似的时间序列， 但是真实地震动的特征， 如能量在频域的分布等， 无法通过这种方法体现因此，在工程上时域平稳模型没有得到广泛的应用2) 频域平稳模型和时域上模拟相比， 在频域上进行地震动模拟的研究更为活跃针对地震动加速度时程功率谱并不是常数这一特点，Kanai 提出了过滤白噪声模型他假定基岩传来的地震波是白噪声， 基岩上的土层为单自由度体系， 求这个单自由度体系的绝对加速度功率谱，并用这个谱来模拟地表加速度功率谱谱的表达式为：( )22022221414g gAg ggSSwxw wwwxww骣÷?÷?+÷?÷÷?桫=轾骣骣犏鼢珑鼢珑犏-+鼢珑鼢犏鼢珑桫桫犏臌(1.14) 式中，,ggwx分别为场地土卓越频率和阻尼比，0S为白谱强度，这个谱具有单峰形状。
后来 Tajimi 用上式求解了建筑物结构的最大反应1964年，Housner 和 Jennings根据美国若干地震动记录确。