光栅衍射实验的误差分析及其改进仲原 100104258 机械工程及其自动化摘要：平行光未能严格垂直人射光栅将形成误差，常用的对称测盘法只能消除误差的一阶修正项，但仍存在二阶修正项误差若采用测t最小衍射角的方法就 能有效地消除一阶、二阶修正项的误差，而且能观测到更高级次的衍射条纹，从 而减少读数误差，提高实验精度关键字：光栅衍射一阶修正项二阶修正项测t最小衍射角法summray: the parallel light is not strictly vertical grating will be formed of people shooting error, the commonly used symmetric disk method can eliminate measurement error of a first-order correction term, there are still two order correction error. The T minimum diffraction angle method can effectively eliminate the first order, two order correction of the error, but also more advanced times the observed diffraction fringes, thus reducing reading error, improve the accuracy of experiment.Key words: grating diffraction order correction of two order correction of measuring t minimum diffraction angle method衍射光栅简称光栅，是利用多缝衍射原理使光发生色散的一种光学元件。
它 实际上是一组数目极多、平行等距、紧密排列的等宽狭缝，通常分为透射光栅和 平面反射光栅透射光栅是用金刚石刻刀在平面玻璃上刻许多平行线制成的，被 刻划的线是光栅中不透光的间隙而平面反射光栅则是在磨光的硬质合金上刻许 多平行线实验室中通常使用的光栅是由上述原刻光栅复制而成的，一般每毫米 约 250-600 条线1 实验原理设平面单色光波垂直入射到光栅（图 1）表面上，衍射光通过透镜聚焦在焦 平面上，于是在观察屏上就出现衍射图样，如图 2 所示图10-1光栅片示意图光栅方程 ：d sin ©二 k 九(k = 0,±1,±2,...)图10-3 复合光光栅衍射光谱示意图图10-2 单色光光栅衍射光谱示意图当入射光为复合光时，在相同的d和相同级别k时，衍射角炉随波长增大而 增大，这样复合光就可以分解成各种单色光如图 3 所示)根据光栅方程，若 已知光栅常数，条纹级别能数出来，我们可以根据衍射角测量某光的波长d sin ©九二 波长测量表达式为： k或已知波长，可以根据衍射角测量光栅常数 d7 k九光栅常数d测量表达式为： —丽2 光栅放置误差的理论分析当平行光与光栅平面法线成a角斜入射时的光栅方程为sin( ^4^5)+ sin5 - kA/d fsin( + 日)■ sini? = kA/d t上两式中①&①k的物理意义如下图所示。
因此，如果光栅放置得不严格垂直于人射光, 而实验测量时仍用公式(1) 进行波长、分辨率等物理量的计算，将造成实验误差不失一般 性，就方程(2)考虑人射角0对测量结果的影将方程(2)展开并整理，得kX/d - &in（札-d） + sin^ 二 sin^-（ 1 + Un - 2sin:号） （厶）与(1)式比较可知，由于人射角0不等于零而产生了两项误差，如果0很小，第一项tan (①k/2)sinOutan(①k/2) x 0可视为一阶小量，第二项2sin20/2~02/2可视为二阶小量，为方便计, 称第一项为误差的一阶修正项，第二项为误差的二阶修正项如果0较大，则引起的误差不 能忽略进一步分析表明，在相同人射角0的条件下，当衍射级次k增加时，①”增加，由 k于tan①k是递增函数，因此一阶修正项增大，测量高级次的光谱会使实验误差增大;而误差的 二阶修正项与衍射级次k和衍射角①”无关k从测量理论来看，衍射级次k越高，衍射角Ok越大，估读％引起sin%的相对误差越 小，因为△ sinOk/sinOk = ctg包△①］，而ctgOk是递减函数另外角色散率dOk /d心tan①“ k k k k k k k因正比于tan①k而增大;角分辨率因正比于衍射级次k而增加。
因此测量高次的光谱非但不增 大二阶修正项的相对误差，反而能减小其它物理量的测量误差，而误差的一级修正项则与此 矛盾3 减少误差的途径如果能测出0值代入(4)进行计算，理论上能对光栅放置不精确而引起的误差进行修正 但作为教学型实验，人射角 0 的测量有一定难度，而且从测量理论上考虑，应尽可能减少直 接测量量的数目考虑到第一修正项系数为奇函数，因此可以用对称测量的方法来消除，这也是通常实验所采用的为此将(2)式和(3)式相加并两边同除2，得可见第一修正项已消除，但第二修正项仍然存在如按对称测量方法，取左右两个衍射角的平均值，计算波长等物理量应该用公式(5)，而不能简单地把(①k+①k)当作①k代人(1)式计算 比如波长几的计算，若不计第二修正项，则有因此，平行光不垂直入射引起波长测量的相对误差为其相对误差完全由人射角0决定，与衍射级次k和衍射角无关，而且对不同光栅, k第二修正项误差都一样其误差随人射角0改变的理论计算结果如图2所示图 2 光栅放置未能使平行光垂直入射引起的误差我们在JJY型(测量精度为5=1'，光栅常数d=l/300mm,待测光波长九=589.3nm)分光 计上进行了测量，测量结果以散点形式在图2上标出，测量误差与理论计算误差相一致。
当 人射角0=2°时，理论计算误差为0.061%，实验测定误差为0.11%;人射角0=4°时理论计算误 差为 0.24%，实验测定误差为 0.26%；人射角 0=30°时，理论计算误差为 15%，实验测定误 差为 14%；理论计算和实验测量结果都表明，当不垂直而偏离的角度较小时(0<2°)，这部分 误差较小而可以忽略；如果偏离角度大时，测量误差会显著增加因此通常的对称测量方法 并非是最佳的实验方案考虑(2)式，注意到衍射级次k和衍射角①k与入射角0有关，经过简单的数学证明可知，对于一定的衍射级次k,当0=Ok /2时，dOk /d0=0，而且d2Ok /d02> 0,因此存在一个最小衍k k k射角①k.,此时光栅方程简化为kmin正如找三棱镜最小偏向角一样，可以通过实验方便地测量出这一最小衍射角即首先把 望远镜的十字叉丝对准某一衍射级次的谱线，转动载物台带动光栅作微小转动，在望远镜中 可见到光谱线跟随着光栅转动而移动，由此可确定最小衍射角的截止位置，记下此时的读数 2，然后取走光栅，将望远镜对准平行光管，记下此时的读数①贝y叭.=1坚-叫与通1 2 kmin 2 1常的测量方法一样，只需两次读数就能测出波长等物理量，而且消除了第一、第二修正项引 起的误差。
因此，测量光栅最小衍射角，由方程(8)进行波长、分辨率等物理量的计算，不 仅消除了一阶、二阶修正项引起的误差，而且还有另外一个优点，即增加光栅的衍射级次k， 如实验室常用光栅，用对称测量法一般只能观测到二级衍射条纹，采用最小衍射角法，贝能 方便地观则到四级衍射条纹，因而增加①k.值，减少读数引起的相对误差，从而有效地提 kmin高测量精度图 3 最小衍射的测量4 结束语光栅衍射实验是测量精度比较高的普通物理实验，以波长测量为例，如果分光计的调 整和光栅放置精确，则测量最大误差可由下式进行估算取分光计的仪器误差8作为测量角度的误差，光栅常数d通过测量某一标准 波长为兀的入射光的衍射角求得，则测量光栅常数d的误差为Ad/d二ctg©k*△①k，所以 0 o k k=迈两％ x （10）可见，测量波长的相对误差随衍射角的增加而快速减小以对汞灯光谱的绿光波长测量 为例，对一、二级谱线，其衍射角分别约为933',和1923',取△①k =8=1',贝△皿分别 k为 0.24%和 0.12%，但学生测量结果的相对误差大多超过1.0%，其主要原因在于分光计的调 整和光栅放置不精确我们将其改为测量三阶最小衍射角，结果实验精度在 1.0%以内。
因 此测量最小衍射角法可以在学生实验推广使用这种方法的主要误差在于用光强来判断两套莫尔条纹重合的光强测量精度因此，提高 测量精度的主要方法是提高光强测量精度或增加z2- z1之值设由光强测量误差引起的位置误差为Az，则当光强测量精度为0.5%，贝9△z=1.16mm,按照（15）式计算的值为0.28%实际测量 中常用不同K时的位置代入式（14）中计算，取平均值作为测量结果，偶然误差的影响减少干涉条纹重迭法中，单独每一套条纹在空间任一位置对比度都比较好，因此，当两套干 涉条纹重合时，对比度是更好的，测量将是更精确此方法的条件限制是要求试件卩角比较 小参考文献：（1） 李连臣 夏云杰 《光子学报》 1998 第 9期（2） 李红军 卢振武 廖江红 翁志成 《光学精密工程》 2000 第 1期 （ 3） 张奇志 周传宏 《光电工程》4) 王世平 《物理与工程》 20015) 王淮生 蒋秀丽 张秋霞 《上海电力学院学报》 2006 第 2期6) 刘娟 欧阳敏 周静 刘大禾 《北京师范大学学报(自然科学版)》 2008 第4 期7) 陈水波 《物理实验》 2007。