第 1 页 初中七年级（上）旋转动角问题专题 （适用于七年级上学期） 解题策略 角是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形， 也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1.角平分线的应用，如双角平分线模型； 2. 多个角间的数量关系及其等量代换； 3. 引入字母表示比例角度、动角，用方程的观点来进行角的计算； 4.角的边位置不定时，需要分类讨论. 典型例题 已知 AOB=150 ，OC 为 AOB 内部的一条射线，BOC=60 （1）如图 1，若 OE 平分 AOB，OD 为 BOC 内部的一条射线，COD=BOD，求 DOE 的度数； （2）如图 2，若射线OE 绕着 O 点从 OA 开始以 15 度/秒的速度顺时针旋转至OB 结束、 OF 绕着 O 点从 OB 开始 以 5 度秒的速度逆时针旋转至OA 结束，运动时间为t 秒，当 EOC=FOC 时，求 t 的值： （3）若射线OM 绕着 O 点从 OA 开始以 15 度秒的速度逆时针旋转至OB 结束，在旋转过程中，ON 平分 AOM， 试问 2BON 一 BOM 在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写 出 t 所在的时间段 （本题中的角均为大于0 且小于 180 的角） 版权所有 解： （1） AOB=150 ，OE 平分 AOB， EOB=AOB=75 ， BOC=60 ， COD=BOD， BOD=40 ， COD=20 ， EOD=EOB DOB =75 40 =35 （2）当 OE 在 AOC 内部时， EOC=FOC ， 9015t=605t， 第 2 页 t=3 当 OE 与 OF 重合时， 15t+5t=150 ， t=7.5 综上所述，当EOC= FOC 时， t=3s 或 7.5s （3）2BON BOM 的值为定值（ 4t12） 理由： AOM=15t AON=MON =7.5t， BON=210 7.5t， BOM=210 15t， 2BON 一 BOM=2（210 7.5t）（ 210 15t）=210 （4t 12） 同步练习 一 . 填空题 1计算： 53 40 30 +75 57 28= 2同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针 走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： （1）三点整时时针与分针所夹的角是度 （2）7 点 25 分时针与分针所夹的角是度 （3）一昼夜（ 0 点到 24 点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？ 3如图 1，射线 OC 在 AOB 的内部，图中共有3 个角： AOB， AOC 和 BOC，若其中有一个角的度数是另 一个角度数的两倍，则称射线OC 是 AOB 的“ 巧分线 ” 如图 2，若 MPN=75 ，且射线PQ 绕点 P 从 PN 位置 开始，以每秒 15 的速度逆时针旋转，射线 PM 同时绕点 P 以每秒 5 的速度逆时针旋转，当 PQ 与 PN 成 180 时， PQ 与 PM 同时停止旋转，设旋转的时间为t 秒当射线PQ 是 MPN 的“巧分线”时，t 的值为 第 3 页 4如图 1 所示 AOB 的纸片， OC 平分 AOB，如图 2 把 AOB 沿 OC 对折成 COB（OA 与 OB 重合） ，从 O 点 引一条射线OE，使 BOE=EOC，再沿 OE 把角剪开，若剪开后得到的3 个角中最大的一个角为76 ，则 AOB= 二 . 解答题 5如图， AOB=20 ， AOE=110 ， OB 平分 AOC，OD 平分 AOE （1）求 COD 的度数； （2）若以点O 为观察中心， OA 为正东方向，求射线OD 的方位角； （3）若 AOE 的两边 OA，OE 分别以每秒5 和每秒 3 的速度， 同时绕点O 按逆时针方向旋转，当 OA 回到原处时， OA， OE 停止运动，则经过多少秒时，AOE=30 ？ 6如图， O 是直线 AB 上一点， COD 是直角， OE 平分 BOC （1）若 AOC=100 ，则 DOE=；若 AOC=120 ，则 DOE =； （2）若 AOC= ，则 DOE=（用含 的式子表示） ，请说明理由； （3） 在 AOC 的内部有一条射线OF， 满足 AOC2BOE=4AOF， 试确定 AOF 与 DOE 的度数之间的关系， 并说明理由 第 4 页 7一副三角板ABC、DEF ，如图（ 1）放置，（ D=30 、 BAC=45 ） （1）求 DBA 的度数 （2）若三角板DBE 绕 B 点逆时针旋转， （如图 2）在旋转过程中BM、BN 分别平分 DBA、 EBC，则 MBN 如 何变化？ （3）若三角板BDE 绕 B 点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 8如图，直线EF 与 MN 相交于点O， MOE=30 ，将一直角三角尺的直角顶点与O 重合，直角边OA 与 MN 重 合， OB 在 NOE 内部操作：将三角尺绕点O 以每秒 3 的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（ s） （1）当 t 为何值时，直角边OB 恰好平分 NOE？此时 OA 是否平分 MOE？请说明理由； （2）若在三角尺转动的同时，直线EF 也绕点 O 以每秒 9 的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时， 另一方同时停止转动 当 t 为何值时， EF 平分 AOB？ EF 能否平分 NOB？若能请直接写出t 的值；若不能，请说明理由 第 5 页 9如图，点O 为直线 AB 上一点，过点O 作射线 OC，使 BOC=135 ，将一个含45 角的直角三角尺的一个顶点 放在点 O 处，斜边OM 与直线 AB 重合，另外两条直角边都在直线AB 的下方 （1）将图 1 中的三角尺绕着点O 逆时针旋转90 ，如图 2 所示，此时BOM=；在图 2 中， OM 是否平分 CON？请说明理由； （2）紧接着将图2 中的三角板绕点O 逆时针继续旋转到图3 的位置所示，使得ON 在 AOC 的内部，请探究： AOM 与 CON 之间的数量关系，并说明理由； （3）将图 1 中的三角板绕点O 按每秒 5 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰 好平分锐角AOC，则 t 的值为（直接写出结果） 第 6 页 10如图 1，在数轴上A，B 两点对应的数分别是6， 6， DCE=90 （C 与 O 重合， D 点在数轴的正半轴上） （1）如图 1，若 CF 平分 ACE，则 AOF=； （2）如图 2，将 DCE 沿数轴的正半轴向右平移t（0t3）个单位后，再绕点顶点C 逆时针旋转30t 度，作 CF 平分 ACE，此时记 DCF = 当 t= 1 时， =； 猜想 BCE 和 的数量关系，并证明； （3）如图 3，开始 D1C1E1与 DCE 重合，将 DCE 沿数轴的正半轴向右平移t（0t 3）个单位，再绕点顶点 C 逆时针旋转30t 度，作 CF 平分 ACE，此时记 DCF= ，与此同时，将D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移 t （0t3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t 度，作C1F1平分 AC1E1，记 D1C1F1= ，若 与 满足 | |=20 ，请直接写出t 的值为 第 7 页 参考答案 一 . 填空题 1计算： 53 40 30 +75 57 28=129 37 58 解： 534030+755728=1289758=1293758， 2同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针 走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： （1）三点整时时针与分针所夹的角是90度 （2）7 点 25 分时针与分针所夹的角是72.5度 （3）一昼夜（ 0 点到 24 点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？ 解： （1）3 30=90 ； （2）2 30 =72.5 ； （3）从重合到第一次垂直所需要的时间为， 设一次垂直到下一次垂直经过x 分钟，则 6x0.5x=2 90 5.5x=180 x=， （24 60） =24 60=43.5（次） 取整为 43 次 故总次数为43+1=44（次） 答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44 次 3如图 1，射线 OC 在 AOB 的内部，图中共有3 个角： AOB ， AOC 和 BOC，若其中有一个角的度数是另 一个角度数的两倍，则称射线OC 是 AOB 的“ 巧分线 ” 如图 2，若 MPN=75 ，且射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置 开始， 以每秒 15 的速度逆时针旋转，射线 PM 同时绕点P以每秒 5 的速度逆时针旋转，当 PQ 与 PN 成 180 时， PQ 与 PM 同时停止旋转， 设旋转的时间为t 秒当射线 PQ 是 MPN 的 “ 巧分线 ” 时，t 的值为3 或或 第 8 页 解：当 NPQ=MPN 时， 15t=（75 +5t） ， 解得 t=3； 当 NPQ=MPN 时， 15t=（75 +5t） ， 解得 t= 当 NPQ=MPN 时， 15t=（75 +5t） ， 解得 t= 故 t 的值为 3 或或 4如图 1 所示 AOB 的纸片， OC 平分 AOB ，如图 2 把 AOB 沿 OC 对折成 COB（OA 与 OB 重合） ，从 O 点 引一条射线OE，使 BOE=EOC，再沿 OE 把角剪开，若剪开后得到的3 个角中最大的一个角为76 ，则 AOB=114 解： OC 是 AOB 的平分线则AOC= BOC=AOB 或 AOB=2 AOC=2 BOC 又剪开后得到的3 个角中最大的一个角为76 ， 2COE=76 COE=38 又 BOE= EOC， BOE= 38 =19 第 9 页 BOC=BOE+ EOC=19 +38 =57 则 AOB=2 BOC=2 57 =114 二 . 解答题 5如图， AOB=20 ， AOE=110 ，OB 平分 AOC ，OD 平分 AOE （1）求 COD 的度数； （2）若以点O 为观察中心， OA 为正东方向，求射线OD 的方位角； （3）若 AOE 的两边 OA ，OE 分别以每秒5 和每秒 3 的速度，同时绕点O 按逆时针方向旋转，当OA 回到原处 时， OA，OE 停止运动，则经过多少秒时，AOE=30 ？ 解： （1）因为 OB 平分 AOC， AOB=20 ， 所以 AOC=40 ， 因为 OD 平分 AOE ， AOE=110 ， 所以 AOD=55 ， 因为 COD=AOD AOC ， 所以 COD=55 40 =15 ； （2）因为 90 55 =35 ， 所以射线 OD 的方位角是北偏东35 ； （3）设经过x 秒时， AOE=30 ， 如图 1 所示，当 OA 未追上 OE 时， 依题意，得5x 110=3x30， 解得， x=40； 如图 2 所示，当 OA 超过 OE 时， 依题意，得5x110=3x305x110=3x+30， 解得， x=70 6如图， O 是直线 AB 上一点， COD 是直角， OE 平分 BOC （1）若 AOC=100 ，则 DOE=50 ；若 AOC=120 ，则 DOE=60 ； （2）若 AOC= ，则 DOE= （用含 的式子表示） ，请说明理由； 第 10 页 （3）在 AOC 的内部有一条射线OF，满足 AOC 2BOE=4 AOF，试确定 AOF 与 DOE 的度数之间的关 系，并说明理由 解： （1） AOC=100 ， BOC=180 100 =80 ， OE 平分 BOC， COE=BOC= 80 =40 。