第三章第三章不确定性条件下的选择理论：不确定性条件下的选择理论：期望效用函数与风险厌恶期望效用函数与风险厌恶 第一节第一节 效用函数效用函数n效用效用utility是是主观主观感受，人为设定的满意程度感受，人为设定的满意程度n效用函数效用函数utility function是对满意程度的量化是对满意程度的量化n效用函数分为：序数效用、基数效用函数效用函数分为：序数效用、基数效用函数n序数效用序数效用ordinal utility：：效用之间只能排序效用之间只能排序n基数效用基数效用cardinal utility：：用具体数值表示效用的大小用具体数值表示效用的大小n期望效用：有多种结果时效用的数学期望期望效用：有多种结果时效用的数学期望nE（（u）＝）＝Σ 或或 积分积分 一、个体行为决策准则一、个体行为决策准则n（一）偏好关系（一）偏好关系n效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异n偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的n偏好关系（偏好关系（preference relation)是指消费者是指消费者对不同商品或商品组合偏好的顺序。
它可以用一对不同商品或商品组合偏好的顺序它可以用一种两维（或二元）关系（种两维（或二元）关系（binary relation）表）表述出来 1.偏好关系的表述偏好关系的表述 令令C 为商品（或者消费）集合，为商品（或者消费）集合，C 中有中有M 种可供选种可供选择的商品它是择的商品它是M 维实数空间维实数空间 中的一个非负子集，它中的一个非负子集，它总是被假定为闭集和凸集总是被假定为闭集和凸集x、、y、、z……是它的子集，是它的子集，或者称之为商品束（或者称之为商品束（commodity bundle）或者消费束）或者消费束（（consume boundle）我们可以在消费束的集合上）我们可以在消费束的集合上建立下面的偏好关系（建立下面的偏好关系（preference relation）或者偏）或者偏好顺序（好顺序（preference ordering）：）： （（1）） 弱偏好于弱偏好于x，，x 至少与至少与y 一样好 （（2）） 强偏好于强偏好于x ；； 但，但， 不成立 （（3）） 无差异于无差异于x 、、y；即：；即： 和和 n 2.偏好应满足的基本公理（偏好应满足的基本公理（Axiom）条件：）条件：n （（1）完备性（）完备性（completeness））:n 中有一种关系成立。
中有一种关系成立n 完备性假定保证了消者具备选别判断的能力完备性假定保证了消者具备选别判断的能力2）自返性（）自返性（reflexivity）：）： ，则有则有 自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一贯性 n （（3）传递性：）传递性：n n n 传递性保证了消费者在不同商品之间偏好传递性保证了消费者在不同商品之间偏好n的首尾一贯性的首尾一贯性n 同理：同理： n （（4）连续性（）连续性（continunity））n 对于任意的对于任意的X、、y，集合，集合 和和 是闭是闭集，则集，则 和和 是开集n 即如果即如果x是一组至少与是一组至少与y一样好的消费束，而一样好的消费束，而n且它趋近于另一消费束且它趋近于另一消费束z，则，则z与与y至少同样好至少同样好这样就可以得到一条连续的无差异曲线这样就可以得到一条连续的无差异曲线 n （（4）单调性（）单调性（monotonicity））n ， n 单调性说明增加一点商品至少与原来的情单调性说明增加一点商品至少与原来的情n况同样好。
只要商品是有益的，单调性就必然况同样好只要商品是有益的，单调性就必然n成立n 强单调性说明同样的物品，如果其中有些种强单调性说明同样的物品，如果其中有些种类的数量严格多于原来的物品，消费者则必定严类的数量严格多于原来的物品，消费者则必定严格偏好于他们格偏好于他们 n 且 则n（（5）局部非饱和性（）局部非饱和性（local non-satiation））n 和和 〉〉0，总存在，总存在 使得使得n 在技术上，局部非饱和性和单调性保证了在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无差异曲线具有一个负的斜率无差异曲线具有一个负的斜率 n （（6）凸性（）凸性（convexity））n 严格凸性（严格凸性（strictly convexity）：）：n n 凸性可理解为边际替代率递减凸性可理解为边际替代率递减 （二）确定性环境下的效用函数（二）确定性环境下的效用函数1.基数效用与序数效用基数效用与序数效用 基数效用：基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以用他从奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。
对满意程享用或消费过程中所所获得的效用来度量对满意程度的这种度量叫做基数效用度的这种度量叫做基数效用. 序数效用：序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托世纪意大利的经济学家帕累托等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全可以建立在序数效用的基础上所谓序数效用是可以建立在序数效用的基础上所谓序数效用是以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而效用值的大小本身并没有任何意义效用值的大小本身并没有任何意义 n 2.效用函数定义n 如果对于 有n 和n 成立，则函数关系 是一个代表了偏好关系的效用函数 n 定理定理1：：n 一个效用函数可以通过正单调变换而获一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个效用函数与原来的效用函数具有得另一个效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关系：同样的偏好关系：n 且且 是单调递增函数，则有：是单调递增函数，则有： 定理定理2：： 如果消费者在消费集如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有上的偏好关系具有完备性、自返性，传递性和连续性，则存在完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一个能够代表偏好顺序的连续效用函数一个能够代表偏好顺序的连续效用函数u :C→R。
n（三）消费者效用最大化问题（三）消费者效用最大化问题n n令令 则最大化问题为：则最大化问题为：n n 上述约束式为瓦尔拉斯（上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集 n 最优解：最优解：n （三）不确定性环境下的行为选择（三）不确定性环境下的行为选择 1.关于风险与不确定性关于风险与不确定性 奈特（奈特（Knight.F））《《风险、不确定性和利润风险、不确定性和利润〉〉中关于确定型、风险和不确定性的解释：中关于确定型、风险和不确定性的解释： 确定性：是指自然状态确定性：是指自然状态如如何出现已知，并替换何出现已知，并替换行动所产生的结果已知它排除了任何随机事件行动所产生的结果已知它排除了任何随机事件发生的可能性发生的可能性 风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题即对于未来可问题，但排除了未数量化的不确定性问题即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。
但对于哪一种事件会发生却事先一无所知但对于哪一种事件会发生却事先一无所知 不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种题即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚状态发生的概率不清楚 由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险件同时视为风险 即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入主观概即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的界线就模糊了，几乎率或设定概率分布的概念，其二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
成为一个等同概念 （（2）不确定性下的理性决策原则）不确定性下的理性决策原则 A.数学期望最大化原则数学期望最大化原则 数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣这种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广定情形下的推广 问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下的行为决策准则？的行为决策准则？ n 典型案例：圣彼德堡悖论（典型案例：圣彼德堡悖论（Saint Petersbury Paradox））n 考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以得到果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得元，第一次反面，第二次正面得 2 元，前两次反面，第三次正面得元，前两次反面，第三次正面得 4 元，元，……如果前如果前 n-1 次都是反面，第次都是反面，第 n 次出现正面得次出现正面得 元。
元n问：游戏的参加应先付多少钱，才能使这场赌博问：游戏的参加应先付多少钱，才能使这场赌博是是“公平公平”的？的？ n 该游戏的数学期望值：该游戏的数学期望值：n 但实验的结果表明一般理性的投资者参加该但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意支付的成本（门票）仅为游戏愿意支付的成本（门票）仅为2-3元n 圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何人们只愿意支付有限的价格？赌博，为何人们只愿意支付有限的价格？ B.期望效用原则期望效用原则 Daniel Bernoulli （（1700-1782）是出生于瑞）是出生于瑞士名门著名数学家，士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡年期间一直在圣彼德堡科学院研究投币游戏其在科学院研究投币游戏其在1738 1738 年发表年发表《《对机遇性赌博的对机遇性赌博的分析分析》》提出解决提出解决““圣彼德堡悖论圣彼德堡悖论””的的““风险度量新理风险度量新理论论””指出人们在投资决策时不是用指出人们在投资决策时不是用““钱的数学期望钱的数学期望””来来作为决策准则，而是用作为决策准则，而是用““道德期望道德期望””来行动的来行动的。
而道德期而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关穷人与富望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的人对于财富增加的边际效用是不一样的 n即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是递减的是递减的n 伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：戏的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算： n因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不可接受的结果而贝努力提出的用期望效用取代期望收可接受的结果而贝努力提出的用期望效用取代期望收益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提供最终的解决方案提供最终的解决方案n根据期望效用，根据期望效用，20%的收益不一定和的收益不一定和2倍的倍的10%的收的收益一样好；益一样好；20%的损失也不一定与的损失也不一定与2倍的倍的10%损失一损失一样糟样糟 。
C.后期望效用理论后期望效用理论 由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，如前景理论、遗憾理论、加望效用理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的期望效用理权的期望效用理论、非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用的新的解释效用的新的解释 1953年，阿莱斯（年，阿莱斯（Allias）曾做过一组心理试验，要求受验）曾做过一组心理试验，要求受验者在如下两组彩票组合种进行选择：者在如下两组彩票组合种进行选择： 第一组：第一组： A=（（500，，0；；100，，1；；0，，0）） B=（（500，，0.1；；100，，0.89；；0，，0.11）） 第二组：第二组： C=（（500，，0；；100，，0.11；；0，，0.89）） D=（（500，，0.1；；100，，0；；0，，0.90））其中，每一数对中的第一个数字表示彩票的收益，第二个为其中，每一数对中的第一个数字表示彩票的收益，第二个为概率大小单位：万美元概率大小单位：万美元 试验结果发现大多数人在第一组中会选择试验结果发现大多数人在第一组中会选择A，而在第二组中，而在第二组中会选择会选择D。
试根据上述条件，通过计算说明为何这一实验结果与独立试根据上述条件，通过计算说明为何这一实验结果与独立性公理相冲突？性公理相冲突？Allais Paradox（独立公理失效）（独立公理失效） p11001p15000.110000.890.01p15000.100.9p11000.1100.89n大部分人认为n但是， n模型模型n经济环境假设：经济环境假设：n两个时期模型，初期和末期（两个时期模型，初期和末期（0时期和时期和1时期）时期）n只有一个消费品，并且只能在只有一个消费品，并且只能在1时期消费时期消费n在在1时期有多个可能发生的状态时期有多个可能发生的状态n一个自然状态：从一个自然状态：从0时期到时期到1时期的某一个状态时期的某一个状态n所有可能的自然状态的集合记为所有可能的自然状态的集合记为Ω，其中的元素记为，其中的元素记为ωn在在0时期我们仅仅知道未来的自然状态属于时期我们仅仅知道未来的自然状态属于Ω，但并，但并不知道是其中的哪一个自然状态会发生不知道是其中的哪一个自然状态会发生二、期望效用函数二、期望效用函数 n消费计划消费计划n不同状态下指定的消费这单一消费品的单位不同状态下指定的消费这单一消费品的单位数数n消费计划可以看成一个随机变量消费计划可以看成一个随机变量n消费计划也可以看成一个向量消费计划也可以看成一个向量n例：设例：设x是一个消费计划，记是一个消费计划，记xω为状态为状态ω下消下消费的单位数，记五种自然状态为费的单位数，记五种自然状态为ω1、、ω2、、ω3 、、ω4、、ω5。
ω1ω2ω3ω4ω5xω23180 定义定义3.13.1 一个消费计划x(•)是对不同状态下消费品的数量的描述则为一可测函数， 表示 状态发生时消费品的数量如： 2 3 1 8 0 偏好关系偏好关系(preference relation) 以X表示所有消费计划的集合在X定义个体的偏好关系 其中任何两个元素可以比较“好坏”——关系 “偏好关系”满足：自反性、完备性、传递性在不确定性经济中，偏好关系建立在不同的概率分布之间在不确定性经济中，偏好关系建立在不同的概率分布之间 效用函数 n期望效用函数期望效用函数n对于任意消费（x，ω），个体效用u（x，ω）n效用函数效用函数表示：对两个消费计划x和x’， x≥x’当且仅当n期望效用函数期望效用函数表示：对两个消费计划x和x’， x≥x’当且仅当n并不是所有的偏好关系都有期望效用函数的表示形式：需要一定的条件（需要一定的条件（6条行为公理）条行为公理） 行为公理 我们希望用一个建立在确定性消费上的效用函数来刻画偏好，即存在一个函数u和一个概率P，u表示确定性消费的效用，而P给出不同状态发生的可能性。
从而偏好关系“ ”就可以用一种期望效用的形式给出：消费计划x优于y当且仅当也可写成 特例：当x，y时确定的消费计划时，即我们有 在这个意义上，u比较的是确定性的消费计划，称u为Von Neumann-MorgensternVon Neumann-Morgenstern效用函数效用函数 期望效用函数的存在性期望效用函数的存在性 设P是 上的概率，则（随机变量）消费计划的分布函数可定义为从而有从而相同的分布对应相同的期望效用 消费计划与其分布之间的关系：从而每一个 ，对应Z上的一个概率分布P，记 下面直接在 上建立偏好关系，并给出偏好关系的一些公理性假设 公理公理1：：反射性 对任意 ， 公理公理2：：可比较性（完备性）公理公理3：： 传递性当当 有有限或可数个元素时，满足公理有有限或可数个元素时，满足公理1～～3的的任何偏好关系总可以用一个效用函数来表示任何偏好关系总可以用一个效用函数来表示 公理公理4：： 独立性独立性公理公理5：： Archimedean公理公理 即Pz表示在每个状态下均由z单位消费品的消费计划。
定理定理3.13.1：在公理在公理1 1～～6 6下，下， 上的偏好关系具有期上的偏好关系具有期望效用表示望效用表示 基本假设基本假设 在不确定性经济中，投资者都尽在不确定性经济中，投资者都尽可能最大化自己的期望效用函数可能最大化自己的期望效用函数 第二节第二节 风险厌恶风险厌恶研究个体面临风险的行为n经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的n风险有多种定义，不确定性n以下内容假设个体是期望效用最大化者；且为简单计，无特殊说明的话，所用效用函数都是指Von Neumann-Morgenstern效用函数 公平赌博公平赌博 定义定义3.2:3.2:：考虑一个赌局，具有正收益h1的概率为p，负收益h2的概率为(1-p)公平赌博即赌局的期望回报为零，ph1+(1-p)h2=0 考虑一个赌博，它以概率p有一个正的回报h1，以概率1－p有一个负的回报h2风险厌恶者风险厌恶者 定义定义3.33.3：一个个体称为是风险厌恶者风险厌恶者（风险回避者），如果他不愿意接受任何公平的博弈，或认为接受不接受是一样的；一个个体称为是严格风险厌恶者严格风险厌恶者（严格风险回避者），如果他不愿意接受任何公平的博弈。
设u(·)是个体的效用函数，W0是初始财富，则从（严格）风险厌恶的定义，有 上述关系表明，上述关系表明，（严格的）风险（严格的）风险厌恶的个体意味厌恶的个体意味着他的着他的效用函数效用函数是（是（严格的严格的）凹）凹函数1.风险厌恶风险厌恶 一个凹的效用函数一个凹的效用函数 一个博弈的期望效用严格比它的期望支一个博弈的期望效用严格比它的期望支付小当且仅当其效用函数是严格凹的付小当且仅当其效用函数是严格凹的 n风险态度的图象nu(.)n 风险厌恶风险厌恶n 风险中性风险中性n 风险偏爱风险偏爱 W （一）风险厌恶系数（一）风险厌恶系数 假设风险厌恶者具有严格增的效用函数（严格的不满足者），其期末财富为则个人的选择问题是 n风险厌恶个体的选择问题：n存在解的充分必要条件是：n风险溢价大于零的概率：n风险厌恶的投资者进行风险投资的充分不要条件是至少有一个风险资产的收益率超过无风险利率 假设最优化的解存在。
因u是凹的，所以一阶必要条件也是充分条件： 定理定理3.23.2： 对一个风险厌恶者而言，如果他具有严格对一个风险厌恶者而言，如果他具有严格增的效用函数，则使得他在风险资产上投资当且仅当至少增的效用函数，则使得他在风险资产上投资当且仅当至少有一种风险资产的回报率高于无风险资产的回报率有一种风险资产的回报率高于无风险资产的回报率 当一种或多种风险资产有正的风险酬金时，即存在j’使得则存在j使得 注：这里j’不一定等于j但当只有一种风险资产时，一个正的风险酬金将导致在这种资产上的正的投资 以下假定经济环境中只有一种无风险资产和一种风险资产，风险资产的风险酬金为严格正的我们考虑一个严格风险厌恶者的投资行为，其效用函数的一阶导数为严格正的 定理定理3.33.3：：假设经济环境中只有一种无风险资产和假设经济环境中只有一种无风险资产和一种风险资产，且风险资产的风险酬金为严格正的一种风险资产，且风险资产的风险酬金为严格正的当风险资产的风险很小时，要使得严格风险厌恶、严当风险资产的风险很小时，要使得严格风险厌恶、严格非满足的投资者把所有的财富都投资到风险资产上，格非满足的投资者把所有的财富都投资到风险资产上，所需的风险酬金至少为：所需的风险酬金至少为： 定义定义3.4:3.4:投资者在W点的绝对风险厌恶系数定义为 定义定义3.5:3.5:投资者在W点的相对风险厌恶系数定义为 绝对风险厌恶系数是对个体回避风险程度的一种度量。
绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需给予的溢价补偿也越大（定理3.3） Arrow-Pratt度量： nArrow-Pratt度量：n 风险容忍系数n （absolute risk tolerance) 绝对风险厌恶与相对风险厌恶绝对风险厌恶与相对风险厌恶•绝对风险厌恶系数•相对风险厌恶系数 （二）风险厌恶系数的特征（二）风险厌恶系数的特征 定义定义3.6：：如果 ，称个体的效用函数是递减绝对风险厌恶的 如果 ，称个体的效用函数是递增绝对风险厌恶的 如果 ，称个体的效用函数是常绝对风险厌恶的 定理定理3.4：如果绝对风险厌恶系数在整个定义域内是递增的，则风险资产是一个次品次品；如果绝对风险厌恶系数在整个定义域内是递减的，则风险资产是一个正常正常品品；如果绝对风险厌恶系数在整个定义域内是常值的，则个体对风险资产的需求不随个体初始财富的改变而改变 即 n假设风险资产和无风险资产各仅有一种，风险溢价大于零n绝对风险厌恶系数绝对风险厌恶系数n正常商品与递减绝对风险厌恶n劣质商品与递增绝对风险厌恶n风险资产需求与初始财富无关：不变的绝对风险厌恶n递减绝对风险厌恶递减绝对风险厌恶：具有递减绝对风险厌恶效用函数的个体，当他的财富增加时，其投资于风险资产的财富比例可能增加、减少或不变。
n如果一种商品的消费数量随着消费者收入的增加而提高，那么这种商品就被叫做普通品或高档品然而对于某些商品来说，情形恰恰相反：它们的消费量随着收入的提高而减少；这些商品称为低档品或吉芬品大多数情况下，低档品与经济生活困难的消费者相关联 低档品包括劣质品 n在经济学中，需求定理是指在其他条件相同时，在经济学中，需求定理是指在其他条件相同时，一种商品价格上升，该商品需求量减少这是一种商品价格上升，该商品需求量减少这是绝大多数人所共知的道理，也符合理性人行事绝大多数人所共知的道理，也符合理性人行事的假定但是，的假定但是，1845年在爱尔兰大饥荒时期，年在爱尔兰大饥荒时期，出现了一件奇怪的事，马铃薯价格在上升，但出现了一件奇怪的事，马铃薯价格在上升，但需求量也在持续增加英国经济学家吉芬需求量也在持续增加英国经济学家吉芬（（Giffen）观察到了这种与需求定理不一致的）观察到了这种与需求定理不一致的现象，这种现象也就被经济学界称为现象，这种现象也就被经济学界称为“吉芬之吉芬之谜谜”，而具有这种特点的商品被称为吉芬商品而具有这种特点的商品被称为吉芬商品 n“吉芬之谜吉芬之谜”其后已经被经济学家解开，而被其后已经被经济学家解开，而被看作是需求定理的一种例外。
看作是需求定理的一种例外 以图以图1为例分析正常物品价格下降时的替代为例分析正常物品价格下降时的替代效应和收入效应效应和收入效应 图图1 正常物品的替代效应和收入效应正常物品的替代效应和收入效应因此，一种商品价格变动因此，一种商品价格变动对商品需求量的影响，即对商品需求量的影响，即最终引起该商品需求量的最终引起该商品需求量的变动，可以分解为替代效变动，可以分解为替代效应和收入效应，即总效应应和收入效应，即总效应=替代效应替代效应+收入效应收入效应 正常商品和低档商品的替正常商品和低档商品的替代效应和收入效应分析：代效应和收入效应分析：正常商品正常商品的替代效应为正，的替代效应为正，收入效应也为正收入效应也为正低档商品低档商品的替代效应为正，的替代效应为正，收入效应为负收入效应为负 注：尽管 ，但是 可能增加也可能降低即我们知道当 时， ，但我们并不知道 的变化趋势所以，绝对风险厌恶系数不能完全刻画个体的行为特征，因此才引入了相对风险厌恶系数的概念 定理定理3.53.5：：如果以 表示个体的风险资产需求对初始财富的弹性，则 n相对风险厌恶系数n在递增的相对风险厌恶下，个体对风险资产的财富需求弹性小于1，即个体初始财富投资于有风险资产的比例随其财富的增加而减少。
n在常数相对风险厌恶下，个体对风险资产的财富需求弹性等于1n在递增的相对风险厌恶下，个体对风险资产的财富需求弹性大于1 简单的证明：风险资产需求的财富弹性η n当相对风险厌恶递增时，n当相对风险厌恶递减或不变时，可以类似推导结论 定理定理3.63.6：：如果个体i，k具有相同的初始财富，且个体i比个体k更具有风险回避，则为了使他们把所有资金都投资到风险资产上，个体i所需风险酬金比个体k多 三、常用效用函数与风险厌恶三、常用效用函数与风险厌恶 1、凹的二次效用函数（根据一个资产的均值和方差就可以决定其需求）n递增的绝对风险厌恶！u(z)0z1/b n2、负指数效用函数n不变的绝对风险厌恶！u(z)0z-1 n3、狭义幂效用函数投资于风险资产的财富的比例与初始财富水平无关！ 几种常见的效用函数几种常见的效用函数1、凹二次效用函数：u(x)=ax－bx22、幂效用函数：u(x)=－x－13、双曲线绝对风险回避效用函数：4、负指数效用函数：u(x)=－e－ax 所有的参数要保证u’>0、u’’<0仿照教材求出各效用函数对应的绝对风险厌恶系数与相对风险厌恶系数，并做出解释。
四、两基金货币分离四、两基金货币分离 个体在不同初始财富下的最优证券组合总是无风险资产和一种风险基金的线性组合这种现象称为两基金货币分离 定理：定理：对效用函数来说，两基金货币分离成立的充要条件是边际效用满足： 其中有关A，B，C的条件要保证效用函数的严格凹性和单调递增性 n四、两基金货币分离四、两基金货币分离n如果个体总是选择持有同样的有风险资产的组合，并且按照初始财富的不同水平改变有风险资产和无风险资产的投资比例，个体的最优资产组合总是无风险资产和一种有风险资产的线性组合n两基金货币分离成立的充分必要条件是边际效用函数满足n或 n使两基金货币分离成立的效用函数有广义幂效用函数n对数效用函数n指数效用函数n广义幂效用函数和对数效用函数表示的是不变相对风险厌恶；指数效用函数表示的是递增相对风险厌恶 n两基金货币分立证明n充分性n风险厌恶个体需要计算下面的规划问题n n其中，α是财富W0中投资于无风险资产的比例，βj是(1-α)W0中投资于第j个风险资产的比例n一阶条件 n于是n假设n 作业： 设u是满足 ， 的期望效用函数。
证明：如果它的绝对风险厌恶函数 满足 那么 。