2011年考研数一真题及答案解析、选择题1、曲线y - x 1 x 2- 2 x -3 3 x -4 4的拐点是(（A）（ 1，0） （ B）（ 2，0）（C）（ 3，0） （ D）（4，0）【答案】C【考点分析】本题考查拐点的判断直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可解析】由y 一 x1 X—2 2«X -3 3 U 44)可知 1,2,3,42 3 4分别是 y 一 x -1 x 2 x— 3 x 40 一的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y -(1) -0 ，y ⑵=y (3)= y-⑷=y (2) 0，y (3) - y ⑷ -0，y (3) 0, y(4) £ ，故（3， 0）是一拐点2、设数列an ，单调减少，lim an _ 0 , Snn— 一n二 ak n —k 1□01,2八厂Q无界，则幂级数' an x -1壬Tn的收敛域为（(A) (-1，1](B)[-1，1)(C) [0，2) ( D) (0 , 2]【答案】C【考点分析 】本题考查幂级数的收敛域主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强解析】Snn=巨ak - n= 1,2无界，说明幂级数kn凸：an x -1n= 1的收敛半径R - 1 ；汀单调减少，嶼a「0，说明级数8n匚 an(-1n 1收敛，可知幂级数aO. n' an X - 1 的收敛半径n=： 1因此，幂级数占■ an X- 1的收敛半径R - 1 ，收敛区间为0,2 o又由于x — 0时幂级数收敛，幂级数发散。
可知收敛域为0,2 3、设函数f （x）具有二阶连续导数，且f ( xf 0，f (0) — 0，则函数 zf (x) In f ( y)在点（0,0）处取得极小值的一个充分条件是（f (0) 1 , f ' (0) 0 (B)f (0)1，f (0) 0(C) f (0) 1, f ( 0) 0 (D)f (0)1，f (0) ： 0【答案】C【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可F • 「 f (x) p【解析】由 z = f ( x) In f ( y)知 Zx - f ( x)ln f ( y), z y f ( y) , zxyf ( y)f ( y)Zxx所以Zxyf (0) f (0) -0，Zxxf (0)-f (0)ln f (0)，x _ 0v二 0ZyyirIf ff (0) f (0) f (0) ■( f (0))2f 2 (0)f (0)二 f ( x)ln f ( y)，zyy _ f ( x) f ( y) f ( y)丄 f ( y)) 2 f 2 ( y)要使得函数Z二f ( x) In f ( y)在点(0,0)处取得极小值，仅需iff (0)lnf (0) 0，f (0)ln f (0) fif(0) 0所以有f (0) 1, f ■ (0) 04、设I二 f4 In sin xdx, J = f 41n cot xdx, K =■ ■0 0广ln cosxdx，贝U I , J, K的大小关系是()*0I y J K ( b) I <
解析】x -(0,『2-)时，0 sin x4 2< cosxcot x ，因此 Ins in x In cos x In cot x.7J4In sin xdx0JI4■In cosxdx0冀4 ，故选(b )In cot xdx05.设A为3阶矩阵，将0 0P 110A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换 B的第二行与第一行得单位矩阵【答案】D,P00-2(B)【考点分析101P1 1P2(C) 21P P(D)】本题考查初等矩阵与初等变换的关系直接应用相关定理的结论即可解析】由初等矩阵与初等变换的关系知AP1 " B，P2B 一 E，所以 A BP1 1 P2 1P1 1 P2 P1 1，故选(D)A = (a at a a )6、设 1 2, 3, 4是4阶矩阵,A p 则 x 基础解系可为(jfat： a(A) 1，3 (B)A u的伴随矩阵， 若1,0,1,0 是方程组 x 0的一个基础解系,)瞬淞—1，2(C)Gta ct “r、 a a a2， 3 (D) 2， 3， 4【答案】D【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。
A =【解析】由 x 0的基础解系只有一个知r ( A) 3，所以 r ( A ) 1，= = a ct at a又由 A A A E 0 知，i, 2, 3 J 4都是一 I" x_0的解，且一 i x =0的极大线生无关组就是其基础解系，又1I ,,,A 二(at1 cl2 "a3 ot1(0>f 10'M =ff +g3= 0，所以& 1送3线性相关，故J0丿5 >1 - 2 ■. 4旦2八3， 4为极大无关组，故应选（D）7、设F1 X , F2 X为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 X , f 2 X是连续函数，则必为概率密度的是(A) f1 x f2 X(B) 2 f2 X F1 X(C) f x F(D)【答案】D【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质解析】检验概率密度的性质： f1（X）F2（X洋f 2 （• x F1 = X）^0 ；.f1 X F 2 X f2 X F1 x dx-F1 X F2可知f1 X F2 X f 2 X F1 X为概率密度，故选（D ）设随机变量塗 与 相互独立， 且’… 与； 存在，记U " max - x, y , V 一 min =x, y ，贝「（UV）（ ）（A）UV「 " （B） VC （C） U （D） V【答案】B【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。
计算时需要先对随机变量 UV进行处理，有一定的灵活性解析】由于 UV - max{ X，丫}min{ X ,Y} XY可知 E(UV ) - E(max{ X ,Y}min{ X ,Y}) - E( XY) - E( X )E(Y)故应选（B）二、填空题IT • 裁9、曲线 y M'# tan tdti|.0 $ M—丨的弧长 s= 0 I 4」【答案】171【考点分析 】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可瓢(2 ~~4 2【解析】4 2 ,・sec x 1dx tan x x 一4_… … 0 ■-[4)dx =( tan xdx= f10、微分方程y ' "y - e x cos x满足条件y(0)- 0的解为y-【答案】y — sin xe【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据 定解条件，确定通解中的任意常数解析】原方程的通解为_ _『x『_y e [ e x cosx1dxe dx C]e x[ - cosxdx C ]丄e x[sin x C]由 y( 0) -0，得 C 0-，故所求解为Xpsin xe11、设函数Fxy sin t(X, ^J1^-dt,-X2一02【答案】4【考点分析】本题考查偏导数的计算。
解析】^^x 1 x2 y2F 2 2 2 叩 3“ “ _ y cosxy 1 y )_2xy sin xy■2 x2(1丄 X2 y2 22 Fx2二 4x ~0y _212、设L是柱面方程x2y2 _ 1与平面z 一 x y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，贝y曲线积分L【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式 计算即可x —cost【解析】曲线L的参数方程为y -sin t ，其中t从0到2 °因此z - cost sin txzdx xdy 卷y2 dzL 2sin 2t(cost sin t )dt_ cost (cost sin t)( sin t ) cost cost o 22 2 3t_ sin t cos2 t sin t cost cos2 t sin , dt2 213、若二次曲面的方程为 x2筹3y2 •歸z2聶2axy &2xz 2 yz _ 4，经正交变换化为 yi2- 4 zi2 4，贝U a -【答案】 1【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出 a【解析】本题等价于将二次型f ( x, y, z)- x2 - 3y2 • z2 • 2axy 2xz 2 yz经正交变换后化为了 f yi2 4zi2。
由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 1,4,01 a 1该二次型的矩阵为 A a 3 1，可知 A| -」a2 - 2a 10，因此a 一 一 11 1 114、设二维随机变量 (X,Y)服从N(,驴理惣/- 2;0)，则E( XY 2 )- 【答案】…3 -…匚2【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质解析】：由于 「-0，由二维正态分布的性质可知随机变量X ,Y独立因此E( XY2) EX EY2由于(X,Y)服从 N( : r 2 /2 ;0)，可知 EX 一「，EY2 一 DY ' EY 一 1 1，则E( XY2 )PP2 二沪泌3 2o三、解答题 1f )—15、(本题满分10分)求极限lim In(1—X)ex 1x"0 \ Jx1【答案】e 2【考点分析】：本题考查极限的计算，属于 1形式的极限计算时先按 1未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算1【解析】：limT°In(1 • x)； lx)x ■:e —1-lim 1x—沿ln(1 - x) x1 1 1 1lim In (1_x 1 lim In (1“"x)x lime — 1 x 0 xe* 1 x 0 x2 x 0—e — — e^^ — e^^xlim =T~。