第五节第五章 定积分的应用一、定积分的微元法二、 平面图形的面积三、 旋转体的体积定积分求曲边梯形的面积问题回顾设曲边梯形是由连续曲线以及两直线 所围成 ,求其面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的微元法解决步骤 :1) 分割.在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 作近似.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 求近似和.4) 取极限. 令则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四个步骤中，由第二步的近似表示式可以确定出被积表达式不妨取于是若记 的任一小区间 为则称为面积微元，即于是表示为1、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”定积分定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ;2 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法成为微元法(或微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 二、已知平行截面面积函数的立体体积第二部分一、 平面图形的面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 设曲线与直线及 y轴所围曲则机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由得交点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算抛物线与直线的面积 . 解: 由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求椭圆解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 设对应 从 0 变例5. 计算阿基米德螺线解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 到 2 所围图形面积 . 例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解:(利用对称性)心形线 目录 上页 下页 返回 结束 心形线(外摆线的一种)即• 尖点:• 面积:• 弧长:参数的几何意义二、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续,特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时, 有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 由曲线与直线 x＝2 所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解:取x为积分变量，积分区间为 [0,2]，相应于[0,2]上任一小区间 [x, x+dx]上有则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 求底半径为r高为h的圆锥体体积。
解: 取坐标如右图所示则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 计算摆线的一拱与 y＝0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解: 绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !注注 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分注(利用“偶倍奇零”)注 目录 上页 下页 返回 结束 柱壳体积说明: 柱面面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 偶函数 奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 设在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:证: 利用柱壳法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 故内容小结1. 平面图形的面积边界方程极坐标方程直角坐标方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴 :绕 y 轴 :(柱壳法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P188 1 (1), (4);6; 9 ; 11 (1), (3)。
思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示: 交点为弧线段部分直线段部分机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆绕 x 轴上半圆为下求体积 :提示:方法1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .方法2 用柱壳法说明: 上式可变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 上半圆为下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 求侧面积 :利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微元的另一种取法. 备用题解：1. 求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.机动 目录 上页 下页 返回 结束 又故在区域分析曲线特点2. 解:与 x 轴所围面积由图形的对称性 ,也合于所求. 为何值才能使与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 结束 故3. 求曲线图形的公共部分的面积 .解：与所围成得所围区域的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 设平面图形 A 由与所确定 , 求图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量.旋转体的体积为4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则 。