导数的四则运算法则

§4§4 导数的四则运算法则导数的四则运算法则主讲：陈晓林主讲：陈晓林 时间：时间：2012-2-232012-2-23一、教学目标：一、教学目标：1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线2.过程与方法通过用定义法求函数 f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求 f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法二、教学重点：二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：教学难点：导数四则运算法则的证明三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程（一）（一） 、复习：、复习：导函数的概念和导数公式表1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比)(xfy 0xx 0xyx（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫xy  xy 做函数在处的导数，记作，即)(xfy 0xx  0/ xxyxxfxxfxf x )()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率奎屯王新敞新疆因此，如果)(xfy )(,00xfx在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为)(xfy 0x)(xfy )(,00xfx奎屯王新敞新疆))(()(00/ 0xxxfxfy3. 导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个)(xfy ),(ba，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函),(bax)(/xf)(/xf数为函数在开区间内的导函数，简称导数， )(/xf)(xfy 4. 求函数的导数的一般方法：)(xfy （1）求函数的改变量奎屯王新敞新疆（2）求平均变化率)()(xfxxfy奎屯王新敞新疆 xxfxxf xy )()(（3）取极限，得导数＝ 奎屯王新敞新疆/y( )fxxyx0lim5. 常见函数的导数公式：；0'C1)'(nnnxx（二）（二） 、探析新课、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差） ，即)()(] )()([)()(] )()([xgxfxgxfxgxfxgxf证明：令，)()()(xvxuxfy)]()([)]()([xvxuxxvxxuy，vuxvxxvxuxxu)]()([)]()([∴ ，xv xu xy  xv xu xv xu xyxxxx  0000limlimlimlim即 ．)()()]()(['''xvxuxvxu例例 1 1：：求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）； xxy22xxyln) 1)(1(2xxy（4）。

2 21xxxy解：解：（1）2ln22)2()()2(22xxxxxxy（2）xxxxxxy121)(ln)()ln(（3）123) 1 ()()()() 1() 1)(1(223232xxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxy21222)()()(111)4(23232122122 22 2  例例 2 2：：求曲线上点（1，0）处的切线方程xxy13解：解： 22331311 xxxxxxy  将代入导函数得 1x41113即曲线上点（1，0）处的切线斜率为 4，从而其切线方程为 xxy13，) 1(40xy即44 xy设函数在处的导数为，我们来求)(xfy 0x)(0xf 2)(xxg在处的导数)()()(2xfxxgxfy0x)()()()()()()()]()([)()()()(02 02 0002 002 02 0002 002 002 0xfxxxx xxfxxfxxxxfxxxxfxxfxxxxfxxxfxx xy令，由于 0x2 02 00)(limxxx x )()()(lim0000xfxxfxxfx02 02 002)(limxxxxxx知在处的导数值为。

)()()(2xfxxgxfy0x)(2)(0002 0xfxxfx因此的导数为)()()(2xfxxgxfy)()()(22xfxxfx一般地，若两个函数和的导数分别是和，我们有)(xf)(xg)(xf )(xg)()()()()( )()()()()()(] )()([2xgxgxfxgxf xgxfxgxfxgxfxgxf 特别地，当时，有kxg)()(] )([xf kxkf例例 3 3：：求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）xexy2xxysinxxyln解：解：（1）；xxxxxxexxexxeexexexy)2(2)()()(22222（2）；xxxxxxxxxxycos2sin)(sinsin)()sin(（3）1ln1ln1)(lnln)()ln(xxxxxxxxxxy例例 4 4：：求下列函数的导数：（1）； （2）xxysinxxyln2 解：解：（1）；222sincos1sincos)(sin)(sinsin xxxx xxxx xxxxx xxy  （2）xxx xxxxxxxxxx xxy2222222ln) 1ln2( ln1ln2)(ln)(lnln)( ln    ( (三三) )、练习：、练习：课本练习：1、2. 课本练习 1.44P46P（四）课堂小结：（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

)()(] )()([)()(] )()([xgxfxgxfxgxfxgxf2( )( ) ( )( )( )[ ( ) ( )]( ) ( )( ) ( )( )( )f xfx g xf x g xf x g xfx g xf x g xg xgx                （五）（五） 、作业：、作业：课本习题 2-4：A 组 2、3 B 组 247P五、教后反思：五、教后反思：本节课成功之点：（1） 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求 f（x）=x+x2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明（2） 由定义法求 f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则3） 通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法不足之处：学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。