带电球体电场与电势的分布王峰＜南通市启秀中学物理学科 226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们 一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电 体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内' 外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝 缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常 会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法, 来推导出上述问题的答案，并给岀相应的“E — 广”和“0—尸”的关系曲线图，供大家参 考本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在兵空环境中，即相对介电常数罚=1； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即”8=01、带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体 的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的1.1电场分布：1.1.1内部（rvR）：如图（1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点P处，均有 通过直径相似对称的两个带电球冠面S］和S2,当两条线夹角&很小时，S］和S2可以近似 看作两个带电圆面，且S］和S2两个面的尺寸相对它们距离P点距离很小，这样S］和S2两 个带电面就可以近似处理为点电荷，它们在P点各自产生电场强度E1P与E2P，计算如下 所示：设球体带电总量为0,且均匀分别在导体球外表面上图（1）n24/?2E2P=K ~~ ="si!?& K 4"且E]P与Egp等大反向A EP=0,即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。
1.1.2外部（r>R）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P点的电场强度, 可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面,将每个单元面上电荷在P点产生的电场进行叠加，求出P点的合场强Ep.由于球面上单元面ds的对称性特点，可知P点的电场强度EP的方向最终应该沿OP连线的方向图（2）上述求电场强度Ep的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重 积分的方法；即先要对ds和心'所在球面上的带电圆环进行Ot2tf的环积分，对求岀的环 形电场再进行沿直径方向的Ot/t的积分，最终求出带电球体在P点的合场强Epa积分 过程如下：如图（2）所示，设OA = R, OP = r, AP = x,球表面电荷的面密度为4於AEp = K — cos0x1取球面极坐标，则ds = R（"・Rsin（pdy/,其中0为沿直径方向的从0tk积分角， 0为带电圆环的从0 t 2兀的还积分L ML 2鬥” oR，s\n（pd（pdif/EP = JjAEp = f \K cos0 0 L由 \OAP可知：x = J/ + R? 一 2/7?cos0又•••cos&jYc%r- Rcos(p\r2 +R2 -2/7?cos0°z7/?^(r - /?cos^)sin(pcl(p2龙••・Ep =Kb J 〃肖 J 30 o 0 0 -(厂 + R~ 一2/7?cos0)2=2秋冰2卩-肮叱)〃(-沖卩)0 ? 9(厂 +/?~ -2/7? cos。
)2又T r-Rcos(p =:.EP = 27rKaR2?r2 一 r2〃(一 COS0) [ 11 +02r(r2 + R2 -2/7?cos0)2d(_cos°)T(r2 +R2 一2/7?cos0)2Q r22r2rR3 t 12 (厂 + R- -2rRcos(p)2丄+ 2r 2/7?丄—p——*(r2 + R~ -2rRcos
即：oc R 00 0・・•(pP = \Edr= fOJr+r r R 广g O (9x o:.(pP = = — K邑=K —R r2 「 R R由上述答案可知，均匀带电金属球在稳定时，其球外任一点的电势等于把全部电荷看 作集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同;在球体内任一点的电势应与球面上的电势相 等，故均匀带电金属球面及其内部是一个等势体1.2.2外部(八R)：由上述电势理论同样可得：oc 00•・•(p = \ Edr = J K当r = R时，有0=K吕，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电势（P的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线图（4）2、带电的绝缘体球：这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位，即电荷的 体密度处处相同2.1电场的分布：2.1.1内部（r
图（5）一肿 3 KnA Ep=E[=K~^ = K —— r2 r2 /?3所以，带电绝缘体内部的电场强度E的大小与P点距球心的半径r成正比2.1.2外部（八R）：和带电导体球（或球壳）一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在 该处产生的电场£外=« —y (厂 » /?)当r = R时，有电场强度的最大值Emax,所以，带电绝缘体球的内、外部的电场强度是连续分布的；在r = R处，电场强度最大2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电场强度£的大小随P点 到圆心0的距离r的关系图线图（6）2・2电势的分布：2.2.1内部（r”2）+駕・•・(pp3KQ KQ .2 一 T 1 2R 222.2.2外部（”R）：由上述电势理论同样可得：00 0C 0・.• （p = | Edr = J Kr r rQ00 Q:.（p = ^K— =K — r r r当广=0时，即在球体的圆心处电势最高，有0O = ： KQ2R当r = R,即在此球壳处处电势为外=豊所以带电绝缘体球的内、外电势的分布曲线是连续的。
2.2.3图景：如图（刀所示，是带电绝缘体球的内、外部的电势0的大小随P点到圆心0的距离r的关系图线图(7)本文运用数学的积分思想对电场、电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角 度认识物理过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生的物理形象思维和抽象思维 但高三学生复习本节知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对电场、电势推导的结 论' 图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在选择题中时 间的目的参考书目：1、赵凯华、陈熙谋《电磁学》1985年6月第二版 高等教育出版社2、普通高中课程标准实验教材《物理3—1》2004年5月第一版 人民教育 出版社联系方式：单位:南通市启秀中学物理学科 王峰Post:226001Tele:0513-85582985（宅） （0）E-mail: n twa ngfe ng163. & wfwxch163.通讯地址：南通市濠景园14幢102室 王峰 226006个人简介：王峰 男72年生南通市启秀中学高中物理教师 中学一级2006年就读南京师范大学物理科学与技术学院教育硕士研究生。