广东省深圳市龙岗区布吉中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在极坐标系中，圆的半径为（ ）A． B． C． D．参考答案：B2. 设是公差为正数的等差数列，若，，则 A、75 B、90 C、105 D、120参考答案：【知识点】等差中项的性质.D2 【答案解析】C 解析：因为，可得：，所以,解得：或（舍去，因为公差为正数），所以，则,故选C.【思路点拨】结合已知条件先得到，再联立组成方程组解出，进而求出公差，最后求出结果即可.3. 在平面直角坐标系中,已知三点,O为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为( )A． B． C.12 D．144参考答案：B本题考查平面向量的坐标运算以及投影问题,考查运算求解能力.因为向量与在向量市方向上的投影相同,所以，,即点在直线上的最小值为原点到直线的距离的平方,因为，所以的最小值为.4. 《九章算术》中记载了一种标准量器﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（ ）立方寸．（π≈3.14）A．12.656 B．13.667 C．11.414 D．14.354参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边是圆柱，底面半径为0.5寸，母线长为1.6寸，右边为长方体，3.8寸，3寸，1寸．然后由长方体与圆柱的体积得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左边是圆柱，底面半径为0.5寸，母线长为1.6寸，右边为长方体，3.8寸，3寸，1寸．则其体积V=3.14×（0.5）2×1.6+3.8×3×1=12.656．故选：A．5. 函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值的集合为（A ）{2,3} （B）{3,4} （C）{2,3,4} （D）{3,4,5} 参考答案：C6. 在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，则k=( ) A．22 B．23 C．24 D．25参考答案：A考点：等差数列的性质． 分析：根据等差数列的性质，我们可将ak=a1+a2+a3+…+a7，转化为ak=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得ak=7a4=21d，进而求出k值．解答： 解：∵数列{an}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵ak=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将ak=a1+a2+a3+…+a7，化为ak=7a4，是解答本题的关键．7. 执行如图所示的程序框图,输出的值是（ ） A．2 B．-1 C． D． -2参考答案：B8. 下列各式：①|a|＝；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③－＝；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则＋ ＝2；⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b)．其中正确的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C略9. 复数满足方程(i为虚数单位)，则=（ ）A B C D 参考答案：C10. 已知点A，B，C不共线，且有，则有（ ）（A） （B）（C） （D）参考答案：答案：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 观察下列各式：；； ； ； ；……则依次类推可得 .参考答案：略12. 等差数列，的前项和分别为和，若，则 ．参考答案：13. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 ．参考答案：（1+）π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥，判断圆锥的底面直径及高，求母线长，把数据代入圆锥的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥，其中圆锥的底面直径为2，高为2，∴母线长为，∴圆锥的表面积S=π×12+=π+π，故答案为：（1+）π．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．14. 已知(a>0) ，则 .参考答案：415. 已知函数的导函数为，且满足，则______.参考答案：－2.【分析】对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值，确定出函数的解析式，把代入解析式，即可求出的值【详解】解：求导得：，令，得，解得：∴，，故答案为-2．【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．16. 数列，如果是一个等差数列，则 参考答案：317. 给定正整数k≥2，若从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M＝，均满足，使得直线，则k的所有可能取值是＿＿＿参考答案：【知识点】点线面的位置关系【试题解析】分析知：当k=4时，若取对角面的四个顶点时，相对的顶点连线没有垂直的线，所以不符合题意；所以故答案为：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，，分别是，的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面．参考答案：证明：⑴在中，因为分别是的中点，所以∥， ………………3分又?平面，平面，所以∥平面； ………………6分⑵ 因为，且点是的中点，所以⊥； ………………9分又，∥，所以， ………………12分因为?平面，?平面，，?平面，所以平面⊥平面. ………………14分19. 已知数列中，，的前项和满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，求的前项和.参考答案：（1）由①，得②则②①得.当时满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，所以+.20. （12分）某经营者在一个袋子里放3种不同颜色的小球每种颜色的球都是3个，然后让玩的人从中一次性摸出5个球并规定如果摸出来的小球的颜色是“221”（即有2种颜色的球各为2个，另一种颜色的球为1个），则玩者要交钱5元；如果摸出来的颜色是“311”，则奖给玩者2元；如果摸出来的颜色是“320”则奖给玩者10元。
（1）求玩者要交钱的概率； （2）求经营者在一次游戏中获利的期望（保留到0.01元）参考答案：解析：（1）只有出现的情况是“221”，玩者才需要交钱∴玩者要交钱的概率为……5分（Ⅱ）设表示经营者在一次游戏中获利的钱数，则=5时（即“221”时）=－2时（即“311”时）=－10时（即“320”时）…………9分－2－105P∴的分布列是（见右侧表）∴（元）∴经营者在一次游戏中获利的期望为1.36元…………12分 21. 已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B． (1)求集合A，B； (2)若集合A，B满足，求实数a的取值范围．参考答案：略22. 已知：函数 ，在区间上有最大值4，最小值1，设函数． （1）求、的值及函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围； （3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围．参考答案：解：（1），由题意得： 得 或 得（舍）， ，…………4分（2）不等式，即，设，，，…………6分（3），即．令，则 记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，记，由题可知，或．…………4分时满足题设．…………2分。