第一章思考题解答1.1 答：平 均 速 度 是 运 动 质 点 在 某 一 时 间 间 隔 内 位 矢 大 小 和 方 向 改 变 的 平 均 快 慢 速 度，其方向沿位移的方向即沿入 对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向在4.0的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也 致的1.2 答：质点运动时，径向速度V,和横向速度V的大小、方向都改变，而句 中的尸只反映了 V,本身大小的改变，心 中 的 而+r d只是M本身大小的改变事实上，横向速度V方向的改变会引起径向速度V,大小大改变，就是反映这种改变的加速度分量；经向速度V，的方向改变也引起V的大小改变，另一个户 即为反映这种改变的加速度分量，故%=尸 _/2,as=r 6 +2r 0,o这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3 答：内禀方程中，a“是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度v总是沿轨迹的切线方向，而 垂 直 于v指向曲线凹陷一方，故总是沿助法线方向质点沿空间曲线运动时、勺=0,居w O z何与牛顿运动定律不矛盾。
因质点除受作用力F，还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力居+此=0,故为=0符合牛顿运动率有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力有人也许还会问：某时刻若死 与&大小不等，即 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来/所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足弓+此=0即 劭=0这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变1.4答：质点在直线运动中只有%而无明,质点的匀速曲线运动中只有%而无%；质点作变速运动时即有为又有41.5 答：生即反应位矢r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而 它 只 表 示r大d td t小的改变如在极坐标系中，生=月+而 包=在直线运动中，规定了直线的正方向后，如=如d t d t d t d t且它的正负可表示包的指向，二者都可表示质点的运动速度;在曲线运动中包*生，且它也表示不了包d t d t d t d t d t d t的指向，二者完全不同。
史 表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而生只是质点运动速度大小的改变在直线运d t d t动 中 规 定 了 直 线 的 正 方 向 后，二 者 都 可 表 示 质 点 运 动 的 加 速 度；在 曲 线 运 动 中，二 者 不 同，-1-cN k dv =aTan =aTat atL 6答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6题1-6图图所示，故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出静止投篮是直接向篮筐投出，（事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）1.7 答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度的匀速水平直线运动的合成运动如 题1.7图所示,题1-7图x-a t2o3y是固定于车的坐标系，雨点相对车的加速度a，=_ a，其相对运动方程（2 消去t的轨迹yf=vt,2 2铲，y=-xa如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧，a 垂直于V 方向的分量a；在改变着V 的方向，该轨迹上凹1.8 答：设人发觉干落水时，船已上行上行时船的绝对速度匕淤_ 丫水，贝IJs =（v 船-V 水）x2船反向追赶竿的速度V,.+，水，设从反船到追上竿共用时间t，则-2-（丫 船 +丫水），=6 0 0 +5 又竿与水同速，则匕K（2 +f）=6 0 0十二得y 1 5 0夕.水 /m m1.9 答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向与合外力的方向一致。
外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致1.1 0 答：当速度与物体受的合外力同 方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一致，重力的方向决定了轨道的形状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射程1.1 1 答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关，因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论假如曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形状有关。
1.1 2 答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时:约束力的方向总是垂直于质点的运动方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出明,有牛顿运动方程工+R“=加*便可求出（，即为约束力1.1 3 答：动量p =”=l.自+2?+疔=4（*吆）动能T=m v2=y x l x 32+22V 3）=8（N.m）1.1 4 答：i j kJ=r x m v=1 2 3=（2V 3-6）+（9-V 3）j +（2-6）k3 2 V 3-3-故J =，(2 6一6丫+(9一 扃 +(4)2 8.67(依.小依.女)1.1 5 答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意味着动量也守恒如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是山于力过力心，力对力心的矩为零，但这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻都在改变1.16答：若尸=尸卜),在球坐标系中有er，%VxF=a_ _a_ _a_5F（r）dF（r）=e.-=0dr d0 dtpdtp 0 3F（r）0 0由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有VxF=0的关系。
在直角坐标系中r=/+yj+zk,F(r)=Fx(r)+Fy(i)j+Fz(riAaxM=FXVjAayyz-rkzFrja-办09XF-ria-axwIF=YJAkO&M=v X F（r）X l+），J+z k=V X VX F（r）-=Vx F（r）r0r r事 实 上 据 算 符 的 性 质，上述证明完全可以简写为VxF=V x F(r)r=0这表明有心力场是无旋场记保守立场L 17答平方反比力场中系统的势能丫)=_%,其势能曲线如题图1.17图所示,-4-V（r）由 T +V（r）=E知T =E-V（r）,因T 0,故有E V（r）若E 0 还是选无限远为零势点的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小由 m v22k2m 0=00得V2 r_ e _rk2B题121图设A船经过为小时向东经过灯塔,则向北行驶的B船经过0 +1 g)小时经过灯塔任意时刻A船的坐标=-(1 5/0-1 5/)%=0B船 坐 标 二 0，%=1 41 )-1 5则AB船间距离的平方d2=(XA-XBY+(yA-yBY即r-.2d2=(1 5r0-1 5r)2+1 50+l 1|-1 5r=450 f 2 _(9O O o+675+225*+2 2 5,+1；)2对时间/求导妃=90 0,-(90 0 zo+675)d tA B船相距最近，即巫)=0,所以d t即午后45分钟时两船相距最近最近距离t-t0o =-4h1.3解0)如 题1.3.2图-7-第13题图题132图由题分析可知，点C的坐标为x-r cos(p+a cosy=asin又 由 于 在408中，有 =用 _(正弦定理)所以sin w sin cp.2a sin 1 1/2ysin(p=-=r r联立以上各式运用.9 2 1sirre+cos(p=I由此可得x-a cos ii/x-Ja2-y2cos(p-=-r r得4y2 x2+a2-y2-2xJa2-y2 T +-2-=r r得3y2+x1+/-/=2xya2-y2化简整理可得4x2(2-/)=(x2+3/+2-r2)2此即为C点的轨道方程.(2)要求c点的速度，分别求导-8-.r(DC6S(p.x=-rco sin cp-sin 2 cos.rco cos cp其中o)=cp又因为rsin。
2a sin w对两边分别求导故有.rco cos cp-la cosy/所以IZr72 F (.ra)cos(p,Y 户02 cosV=yjx+y=J-rco sm(p sm/J H-=-J cos 2 夕 +4 sin 0 cos sin(+)2 cos 1.4解 如 题1.4.1图所示，第14题图0 L绕0点以匀角速度转动，o在A 8上滑动，因此C点有 个垂直杆的速度分量V=69X 0C=飞d1+X1C点速度，2 2v=V1=v s e c s e c2 0=co 三一cos d又因为6=幻所以c点加速度a=-=cod-2sec sec tan-0=2d2 sec2 8 tan卜 dtd21.5解由题可知，变加速度表示为-9-又因为由加速度的微分形式我们可知代入得对等式两边同时积分可 得：V=C代入初始条件：f=0时，v=0 故即又因为所以a对等式两边同时积分，可得：S=C1.6解由题可知质点的位矢速度沿垂直于位矢速度dva=dtdv=1 -sin-dtI 2T）dv=c-sint+-ccos-+D（）为常数）7t 2Tc 2TD=-c7 12T（7tt 八V =c t+cos-1L 万 I 2TdsV =一dtk+：cos条1）卜1 2 2T（2T.兀tt+-sin-t2 7i 7t 2Tv/7=Ax=i=，即-io-VOx=即 o-ra=上=(ri)+(r勿)(取位矢方向i，dt dt v 7 dt v 7垂直位矢方向j)所以(r(9/)=G j+r j +rO =+r0j-r02idt dt dt dt故a=(r-rd21+(rd+2/句j即沿位矢方向加速度a=(r-r2)垂直位矢方向加速度=.占+2为)对求导r=Ar=/l2r对求导0=-r +-0=P0(+A)r r yr)把代入式中可得a =r-ra=+幺)1.7解 由 题 可 知x=rcosO 小人sin8+为 cos。
11-对求导y=rsnO-2rO cos 0+r0 cos 0-rO1 sin对于加速度Q，我们有如下关系见题1.7.1图即x=ar cos+ad sin 0y=ar sin 0+ae cos一对俩式分别作如下处理：xcose，xsine即得无cos一sinOcos三 r e 一了sinar sin6+%sin)2=r2+r2co如图所示的椭圆的极坐标表示法为，一1 +ecosO对r求导可得(利用d=3)又因为1 _ 1 ecosdr(l-e2)a(l-e2)即a(l e2)rcos=)re所以故有Ra2(l-e+-2 a r(l-e/广r2e2r-co2 02厂2 一 厂2+2(l-e2)户 j 园-0-1下-(2”力即v=-ylr（2a-r）b（其中Z?2 =Q_e2、2力为椭圆的半短轴）1.9证 质。