1 连分数与佩尔（ Pell）方程的最小正整数解（0）基本命令 ① LCM[2,3,5] ：求 2，3，5 的最小公倍数 GCD[3,6,9]：求 3，6，9 的最大公因子 ② RealDigits[2008]：对 2008进行数字分解，并别求出2008 是几位数 程序执行后结果： {{2,0,0,8},4} ③ Drop[{x,y,z},{3}]：从向量 {x,y,z} 中去掉第 3 个元素1）连分数表示法 一个“既约”分数（分子可以比分母大，但无公因子）可以表示成连分数的形式例如将 1711表示成连分数，程序如下：ContinuedFraction[1711] 得到结果： {0，1，1，1，5}这表示1117=0+11+ 1+二次整系数方程的根叫做二次无理数初等数论中已经证明： 一切二次无理数表示成连分数，都具有无穷循环节例如将1+表示成连分数，程序如下：ContinuedFraction[1+] 得到结果： {4，{3，6}}这表示1+11=4+13+16+ 3+6+ 其中{3，6}用花括号括起来，表示无穷循环节 反之，我们可以通过一个数的连分数表示形式求其正常形式例如： FromContinuedFraction[{ 1，2，3 }] 得到结果： 710。
这表示：连分数81, 2, 3<=1+12+1 3=又例如， FromContinuedFraction[ { 2, 1, { 4, 2, 3 } } ] 得到结果：154I119+1M这表示：2 82,1,84,2,3< <=2+11+14+12+13+1 4+...=154I119+10M（2）佩尔（ Pell）方程的最小正整数解 公元前３世纪下半叶古希腊科学家阿基米德（Archimedes，公元前 287—公 元前 212 年）在其论著中记载了一个牲畜问题，普遍称作群牛问题 历史上对这 问题的研究丰富了初等数论的内容 原文用诗句写成， 大意是：西西里岛草原上有一大群牛，公牛和母牛各有４种颜色设W、X、Y、Z分别表示白、黑、黄、花色的公牛数，w、 x、y、z分别表示这白、黑、黄、花色的母牛数它们满足：YXW3121、YZX 5141、YWZ 7161、xXw 4131、zZx 5141、yYz 6151、wWy 7161（1）不附加条件的群牛问题 求解方程组：YXW3121、YZX 5141、YWZ 7161、xXw4131、zZx 5141、yYz 6151、wWy 7161在 Mathematica4.1软件包中编程如下［3］：SolveW1213XY,X1415ZYZ1617WY, w1314Xx,x1415Zz, z1516Yy,y11Ww,w,x,y,z,W, X,Y 执行后得到结果：Solve::svars:Equationsmaynotgivesolutionsforall“solve“variab3 w360318Z367903, x2446623Z3679030, y5439213Z7358060,z175791Z367903, W1113 Z790, X801 Z790, Y891158 其中，Z是自由变量。
求分母的最小公倍数，就可以得到整数解： LCM[367903,3679030,7358060,790,1580] 执行后得到最小的z =7358060，将其代入方程组及需求解：Z7358060;SolveW1213XY,X1415ZZ1617WY, w1314Xxx1415Zz, z1516Yyy11Ww,w,x,y,z,W, X 执行后得到：w7206360,x4893246,y5439213,z3515820,W10366482,X7460514,Y41493即，百色母牛7206360w（头），黑色母牛4893246x（头），黄色母牛5439213y（头） ，杂色母牛3515820z（头） ；百色公牛10366482W（头） ，黑色公牛7460516X（头） ，黄色公牛414938Y（头） ，杂色公牛7358060Z （头） 不附加条件的群牛问题，总数最少为4149426239697 （头） ，即，大约四万 一千四百九十四亿头2）附加条件的群牛问题 求解方程组：YXW3121、YZX 5141、YWZ 7161、xXw4131、zZx 5141、yYz 6151、wWy 7161并且，ZY为一个三角数，即， 21mmZY，其中， m是一个正整数，以及XW为一个长方形数，即，完全问题较简问题，,*2nnmXW4 ① 较简问题 因为牛的身长与体宽不一样， “较简问题”表示，将牛排成长方形，两边的 数目不一样。
有文章说，较简问题求解后，牛的总数近６万亿头② 完全问题2nXW（长与宽的数目相等） ，即，将牛排成正方形，两边的数目相等时，称为“完全问题” 求解完全问题，最后归结为求解二元二次方程不定方程 （Pell 方程） X2– 410286423278424Y2 = 1这个不定方程的解， 已经通过计算机在几分钟之内求出这个方程的最小正 整数解是名副其实的天文数字(求解结果在后面 ) 17 世纪，费尔马重新提出求解不定方程X2 – A*Y2 = 1 的解的问题，其中A 是正的非完全平方数 他提出此方程有无穷多组正整数解同时他向所有的数学 家挑战：求出此方程的无穷多组正整数解 英国皇家学会的第一任会长布龙克尔勋爵（Lord Brouncker）给出了解， 但 他未能证明解有无穷多个 瓦利斯（ J. Wallis，1616--1703）彻底解决了这个问题 佩尔（ J. Pell，1611—1685）在他的一本著作中附录了瓦利斯的结果欧拉 在他于 1732 年发表的一篇论文中错误地称X2 – A*Y2 = 1 为 Pell 方程，这个错误就沿袭至今假设 A 是正的非完全平方数， 则A 是二次无理数， 它的连分数循环节表示形式是：A=8a0,8a1, a2,...,<当无穷循环节中数字的个数r 是偶数时，取的近似分数：xy=8a0, a1, a2,...,< 得到解 x、y，这就是 Pell方程 X2 – A*Y2 = 1 的解；当无穷循环节中数字的个数r 是奇数时，取的近似分数：xy=8a0, a1, a2,...,ar, a1, a2,...,< 得到解 x、y，这就是 Pell 方程 X2 – A*Y2 = 1 的解。
例 1 公元 650年左右，首创 0 不能作除数的印度数学家Brahmagupta （婆罗摩 及塔）曾致力研究Pell 方程 a·x2 + 1 = y2,他说： “在一年里头能解出 X2– 92Y2 = 1的人是一位数学家”用 Mathematica5 编程求解如下：aContinuedFractinLengtha25 得到： {9,{1,1,2,4,2,1,1,18}} 8 无穷循环节中数字的个数共8 个（即 r = 8 是偶数的情况），再输入：aContinuedFractioa1Joina1, anLengtha1;bDropa1,n;FromContinuedFracti得到分数：1即 x = 1151，y = 120是此 Pell 方程 X2– 92Y2 = 1的最小正整数解例 2 据说有人曾向英国数学家瓦利斯提出挑战，要他解X2– 313Y2 = 1，结果，他在一小时之内就找到正确的答案aContinuedFractionLengtha2817,81,2,4,11,1,1,3,2,2,3,1,1,11,4,2,1,34< 17 无穷循环节中数字的个数共17 个（即 r = 17 是奇数的情况），再输入：aContinuedFraction313;a1Joina1, Joina2, anLengtha1 ;bDropa1,n;FromContinuedFractionb得到分数：3218812082181938015即 x = 32188120829134849 ，y = 1819380158564160是此 Pell 方程 X2– 313Y2 = 1 的最小正整数解。
3）直接求解佩尔（ Pell）方程的最小正整数解 第一步建立一个求解模块首先执行以下程序： PellSolve[m_Integer?Positive] := Module[ { cf, n, s }, cf = ContinuedFraction[ m ]; n = Length[ Last[ cf ] ]; If[ OddQ[ n ], n = 2n ]; s = FromContinuedFraction[ContinuedFraction[ m , n ] ]; { Numerator[ s ], Denominator[ s ] } ]; 6 第二步，例如，求解Pell 方程 X2– 92Y2 = 1 的最小正整数解，直接输入以下命令即可：PellSolve[ 92 ] 得到结果： { 1151，120 }即，x = 1151，y = 120是 Pell方程 X2– 92Y2 = 1 的最小正整数解例 3 阿基米德问题 X2 – 410286423278424Y2 = 1 ， 用现代计算机可以在几分钟之 内求解程序如下： PellSolve[ 410286423278424 ] // Timing 运行之后，可以知道运算时间和结果，但是得到的结果太大，不在此收录，读者 自己计算即可。
另外，我们可以用以下命令求出此Pell 方程解的位数： a = PellSolve[ 410286423278424 ]; w1 = Last[ RealDigits[ a[ [ 1 ] ] ] ]; Print[“w1 = ”,w1] w2 = Last[ RealDigits[ a[ [ 2 ] ] ] ]; Print[“w2 = ”,w2] 其中 a = PellSolve[ 410286423278424 ] 运行的结果是得到Pell方程的最小正整数 解 a = { x, y },此处 a 的第一个分量 a[ [1] ] = x, 第二个分量 a[ [2] ] = y；命令 RealDigits[ a[ [1] ] ]运行的结果是得到x = a[ [1] ] 的位数； RealDigits[ a[ [2] ] ] 运行的结果是得到y = a[ [2] ] 的位数运行后得到： x = a[ [1] ]的位数是 w1 = 103273位，y = a[ [2] ] 的位数是 w2 = 103266位作业（1） 求 X2– 21Y2 = 1 的最小正整数解；（2） 求 X2– 45Y2 = 1 的最小正整数解；（3） 求 X2– 73Y2 = 1 的最小正整数解；。