[工学]第5章 直线与平面和平面与平面

《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社第5章 直线与平面和平面与平面的相对位置5.1 直线与平面、平面与平面平行 5.2 直线与平面、平面与平面相交 5.3 直线与平面、平面与平面垂直 《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社5.1 直线与平面、平面与平面平行 5.1 直线与平面、平面与平面平行几何条件：若直线平行于平面内的任一直线，则此直线必与该平面平行 ae' d' a'f'c'b'edbfcDE与△ABC相互平行 5.1.1直线与平面平行2《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社nn【例5-1】过M点作一水平线平行于平面△ABC O分析：过平面外一点可作无数条直线平行该平面，但本题要作一水平线与△ABC平行，所以在平面上作一条辅助的水平线才能满足要求 a作图： （1）过B点在△ABC面内作一条水平线2）过M点作水平线MN，使其水平投影和正投影分别平行过B点的水平线的水平投影和 正面投影，MN即为所求 cbXacbmm5.1 直线与平面、平面与平面平行3《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社nn【例5-2】判断直线MN是否与平面△ABC平行。

O分析：要判断直线MN与△ABC是否平行，实际上是要看△ABC平面内能否作出一条与直线MN平行的线如果能作出来，则说明直线MN与△ABC平行，否则，直线MN与△ABC不平行 a作图： （1）在△ABC上作一直线BD，使bd∥mn2）求出直线的BD的水平投影bd3）bd与mn不平行，则可判断出MN与△ABC不平行cbXacbmm5.1 直线与平面、平面与平面平行dd4《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社特殊情况下，若直线与投影面垂直面平行，则该投影面垂直面的积聚投影与该直线的同面投影平行nOabXabm(n)m5.1 直线与平面、平面与平面平行cfdec(d)f(e)距离实长5.1.1直线与平面平行5《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社5.1.2 平面与平面平行平面与平面平行的几何条件：若一平面内两条相交直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则该两平面相互平行 5.1 直线与平面、平面与平面平行6《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-3】试判断平面ABC和DEFG是否平行 5.1 直线与平面、平面与平面平行分析：判断两平面是否平行，可以先在一个平面上作出两相交直线，然后在另一个面上看能否找到与这两条相交线分别平行的两相交线。

如果能找到，则两平面相互平行，否则，不平行作图：（1）在DEFG平面上过D点作直线段DⅡ,令其正投影d 2 ∥a b2）作出DⅡ的水平投影d2，判断d2与AB的水平投影ab不平行不平行 ccOaebXagbdd2 fgef27《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社特殊情况下，当两平面都是同一投影面的垂直面时，如果两平面平行，则在有积聚性投影面上的投影相互平行OabXabe5.1 直线与平面、平面与平面平行cfgf距离实长5.1.2 平面与平面平行cge8《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社5.2 直线与平面、平面与平面相交 5.2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面相交于一点，该点称为交点，它是直线和平面的共有点两平面相交于一条直线，该线称为交线，它是两平面的共有线直线与平面、平面与平面相交问题，主要是求交点和交线问题即已知直线、平面的投影，求交点和交线的投影；此外，还要判别直线与平面或平面与平面的重影部分的可见性 9《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社5.2.1 特殊位置的直线或平面相交 5.2 直线与平面、平面与平面相交特殊位置的相交问题是指相交的两要素（直线或平面）中至少其一是垂直于投影面的。

此时该要素的一个投影具有积聚性，因此利用积聚投影直接确定交点或交线的一个投影然后用直线上取点、平面上取点和线的作图方法求出交点、交线的另一投影可见性的判别原则：在有积聚性的投影面上，可见性无需判别，另一投影面上的投影可见性可通过直接观察相交线面或面面的积聚投影的相对位置来确定或者借助重影点判断可见性 10《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-4】求铅垂线DE与一般位置平面△ABC的交点，并判断可见性 1．投影面垂直线与一般位置平面相交分析：投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚成一点，那么它与一般位置平面的交点在此投影面上的投影也在该点上同时该交点又属于一般位置平面内，从而利用面上作点的方法求出另一投影面上的投影 ccOabXabedd(e)5.2 直线与平面、平面与平面相交11《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-4】求铅垂线DE与一般位置平面△ABC的交点，并判断可见性 1．投影面垂直线与一般位置平面相交ccOabXabedd(e)作图：（1）在平面△ABC的水平投影abc内，过点d（e）作一直线am交 bc边于点m。

2）由m作连系线交b'c'边于点m'连结a'm'与直线d'e'交于点k' mmk5.2 直线与平面、平面与平面相交12《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-4】求铅垂线DE与一般位置平面△ABC的交点，并判断可见性 1．投影面垂直线与一般位置平面相交ccOabXabedd(e)判断可见性：利用直线DE与平面上边AB的重影点1'、2'来判断可见性，由于1点在前，2点在后，故1'点可见，2'不可见，2'k'画虚线 k1 (2)mmk215.2 直线与平面、平面与平面相交13《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-5】 求直线DE与铅垂面△ABC的交点，并判断可见性2. 一般位置直线与特殊位置平面相交 分析及作图：△ABC在水平投影面上的投影积聚成一直线因此它们 的交点K的水平投影为DE与△ABC水平投影de与abc的交点k，然后由k作连系线交d'e'于k'点K（k，k'）即为直线DE和△ABC的交点 ccOabXabede5.2 直线与平面、平面与平面相交dkk14《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-5】 求直线DE与铅垂面△ABC的交点，并判断可见性。

2. 一般位置直线与特殊位置平面相交 ccOabXabede5.2 直线与平面、平面与平面相交dk判断可见性：利用直线DE与△ABC上的边AB重影点3'、4 '判断它们的可见性由水平投影 看出，点4在后、点3在前，故直线 3'k'可见，画实线，另一段不可见，画虚线 3 (4)43k15《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社3. 两特殊位置平面相交 作图：两铅垂面P、Q相交，其水平投影积聚为两条直线 p、q的交点m（n）为交线MN的水平投影，由之作连系线，可定出m'n'，它的长度仅为两个平面的V面投影中共有的一段m'n' ppOXq5.2 直线与平面、平面与平面相交qm分析：两个平面同时垂直于一个投影面时，则交线是垂直于该投影面的直线，且交线的投影是两平面积聚投影的交点nm(n)16《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社3. 两特殊位置平面相交 正面投影中的可见性:可根据H面投影中p、q的前后位置来直观地判断如 MN右方，q位于p之前，故V面投影中，q′的右竖直线与P′重影部分可见，画成实线；也可利用两个平面上的重影点1′2′来判断。

ppOXq5.2 直线与平面、平面与平面相交qm判断可见性：在相交两平面的投影公共区域，以交线MN为界，将平面图形分为可见和不可见部分由于水平面投影积聚成直线，故无需可见性判断121(2 )nm(n)17《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社121(2 )4. 特殊位置平面与一般位置平面相交 分析及作图：平面P是铅垂面，其水平投影积聚为一条直线根据共有性， 平面P与△ABC的公共线段mn即是交线MN的水平投影，交线的两端点M和N分别在△ABC的边AB、AC上，对应求出m和n，连线即得交线的正面投影PHOXp5.2 直线与平面、平面与平面相交a判断可见性：由于相交两平面之一的水平投影积聚，故水平投影的可见性无需判断V面投影，可用重影点判断 cbacbmnm'n'18《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社5.3 直线与平面、平面与平面垂直 5.3直线与平面、平面与平面垂直 5.3.1．直线与平面垂直如果一直线垂直于平面内的两条相交直线，则此直线垂直于该平面Pl1l2BA如果一直线垂直于一平面，则该直线垂直于平面上的所有直线。

19《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社fgf'g当直线垂直于平面时，则该直线的水平投影必定垂直于该平面上水平线的水平投影；直线的正面投影必定垂直于该平面上正平线的正面投影 水平线正平线BCDEHAG Fa'b'e'd'c'h'bedcha5.3.1 直线与平面垂直5.3直线与平面、平面与平面垂直 AH⊥BCDE20《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社fgf'g水平线正平线BCDEHAG Fa'b'e'd'c'h'bedcha反之，若一直线的水平投影垂直于某一平面的水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于该平面的正平线的正面投影，则该 直线必垂直于该平面 5.3.1 直线与平面垂直5.3直线与平面、平面与平面垂直 AH⊥BCDE21《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-8】求K点到△ABC的距离分析：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线根据线面垂直的条件，在面上作出两条相交线（一条为水平线，一条为正平线），然后过点作一条同时垂直于该两条相交线的垂线，并求出垂线与平面的交点，点到垂足之间的距离即为所求 kaOX5.3直线与平面、平面与平面垂直 bckabc22《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社d【例5-8】求K点到△ABC的距离。

作图： （1）在△ABC上作一水平线BD（bd，b'd'）和正平线AE（ae，a'e'）2）自K 点向BD、AE引垂线KL，即作kl⊥bd，k'l'⊥a'e'kaOX5.3直线与平面、平面与平面垂直 bckabcdelle23《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-8】求K点到△ABC的距离作图： （1）在△ABC上作一水平线BD（bd，b'd'）和正平线AE（ae，a'e'）2）自K 点向BD、AE引垂线KL，即作kl⊥bd，k'l'⊥a'e'3）求KL与△ABC平面的交点F（f，f'），即为垂足4）用直角三角形法求出KF 的实长K1f ，则K1 f 即为所求的距离 kaOX5.3直线与平面、平面与平面垂直 bckabcll1212ffK124《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社【例5-9】试过M点作直线与铅垂面△ABC垂直 aOX5.3直线与平面、平面与平面垂直 b分析：特殊情况下，若直线与特殊位置平面垂直，则平面的积聚投影与直线的同面投影垂直，直线为该投影面的平行线因为△ABC是铅垂面，所以过点M作出的该面的垂线是一条水平线，线与面的 H面投影相互垂直。

accbmm25《画法几何与土木工程制图》编写组制作 中国电力出版社aOX5.3直线与平面、平面与平面垂直 b作图： （1）过m作直线mk⊥abc2）过m'作平行于X轴的直线与过k作的竖直线交于点k'MK，即为所求 accbkkm。