§ 5.3 长期趋势分析,时间序列的构成要素与模型 线性趋势 非线性趋势 趋势线的选择,时间序列的构成要素与模型 （构成要素与测定方法）,线性趋势,时间序列的构成要素,循环波动,季节变动,,,,,长期趋势,剩余法,,,,移动平均法,,线性模型法,,,不规则波动,非线性趋势,,,,,趋势剔出法,按月(季)平均法,,,Gompertz曲线,,指数曲线,二次曲线,,,,,,,修正指数曲线,Logistic曲线,,,一、时间序列的构成要素与模型 （要点）,构成因素 长期趋势 (Secular trend ) 呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律 季节变动 (Seasonal Fluctuation ) 也称季节性(seasonality) 时间序列在一年内重复出现的周期性波动 循环波动 (Cyclical Movement ) 也称周期性(cyclity) 围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动 不规则波动 (Irregular Variations ) 也称随机性(random) 除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动,,2.模型 时间序列的构成要素分为四种，即长期趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I) 乘法模型：Yi = Ti × Si × Ci × Ii 加法模型：Yi = Ti + Si + Ci + Ii,长期趋势 （概念要点）,现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态 由影响时间序列的基本因素作用形成 时间序列的主要构成要素 有线性趋势和非线性趋势,二、 线性趋势,现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律 测定方法有 移动平均法 线性模型法,1. 移动平均法 (Moving Average Method),测定长期趋势的一种较简单的常用方法 通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数 由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势 移动步长为K(1Kn)的移动平均序列为,移动平均法 (实例),【例5.9】已知1981～1998年我汽车产量数据如表5-6。
分别计算三年和五年移动平均趋势值，并作图与原序列比较,,,移动平均法 (趋势图),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,50,100,150,200,1981,1985,1989,1993,1997,,,,产量,,五项移动平均趋势值,,,,（万辆）,,,图5-1 汽车产量移动平均趋势图,,（年份）,移动平均法 (应注意的问题),移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置 对于偶数项移动平均需要进行“中心化” 移动间隔的长度应长短适中 如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度 若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均 若为月份资料，应采用12项移动平均,2. 线性模型法 （概念要点与基本形式）,现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示 线性模型的形式为,— 时间序列的趋势值 t —时间标号 a—趋势线在Y 轴上的截距 b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观察值的平均变动数量,线性模型法 （a 和 b 的最小二乘估计）,趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法(Least-square Method）求得 根据回归分析中的最小二乘法原理 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线 根据趋势线计算出各个时期的趋势值,,线性模型法 （a和b的最小二乘估计）,1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为,取时间序列的中间时期为原点时有 t=0，上式可化简为,解得：,解得：,返回,线性模型法 (实例及计算过程),【例5.10】利用表5-6中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较,线性模型法 （计算结果）,根据上表得 a 和 b 结果如下,线性模型法 (趋势图),三、非线性趋势,现象的发展趋势为抛物线形态 一般形式为,（一）二次曲线 (Second Degree Curve),a、b、c 为未知常数 根据最小二乘法求得,二次曲线 (Second Degree Curve),取时间序列的中间时期为原点时有,根据最小二乘法得到求解 a、b、c 的标准方程为,二次曲线 (实例),【例5.11】 已知我国1978～1992年针织内衣零售量数据如表5-9。
试配合二次曲线，计算出1978～1992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量，作图与原序列比较,二次曲线 (计算过程),二次曲线 （计算结果）,根据计算表得 a 、 b 、c 的结果如下,二次曲线 (趋势图),用于描述以几何级数递增或递减的现象 一般形式为,（二）指数曲线 (Exponential curve),a、b为未知常数 若b1，增长率随着时间t的增加而增加 若b0，b1，趋势值逐渐降低到以0为极限,指数曲线 (a、b 的求解方法),取时间序列的中间时期为原点， 上式可化简为,采取“线性化”手段将其化为对数直线形式 根据最小二乘法，得到求解 lga、lgb 的标准方程为,指数曲线 (实例及计算结果),【例5.12】根据表5-6中的资料，确定1981～1998年我国汽车产量的指数曲线方程，求出各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较,汽车产量的指数曲线方程为,2000年汽车产量的预测值为,指数曲线 (趋势图),指数曲线与直线的比较,比一般的趋势直线有着更广泛的应用 可以反应出现象的相对发展变化程度 上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽车产量趋势值的平均发展速度 不同序列的指数曲线可以进行比较 比较分析相对增长程度,在一般指数曲线的基础上增加一个常数K 一般形式为,（三）修正指数曲线 (Modified exponential curve),K、a、b 为未知常数 K 0，a ≠ 0，0 b ≠ 1,修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限(即当K0，a0，0b1),修正指数曲线 (求解k、a、b 的三和法),趋势值K无法事先确定时采用 将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期 令趋势值的三个局部总和分别等于原序列 观察值的三个局部总和,修正指数曲线 (求解k、a、b 的三和法),设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3,根据三和法求得,,将上式右端括号内分别乘以(b-1)/(b-1)，得,修正指数曲线 (实例),【例5.13】 已知1978~1995年我国小麦单位面积产量的数据如表5-12。
试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较,修正指数曲线 （计算结果）,解得 K、a 、b 如下,修正指数曲线 （计算结果）,修正指数曲线 (趋势图),以英国统计学家和数学家 B·Gompertz 而命名 一般形式为,K、a、b为未知常数 K 0，0 a ≠ 1，0 b ≠ 1,（四）龚铂茨曲线 (Gompertz curve),所描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线 两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y 0,将其改写为对数形式,Gompertz曲线 (求解k、a、b 的三和法),仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 lg a、lg K、b 取 lg a、lg K 的反对数求得 a 和 K 令：,则有：,Gompertz曲线 (实例),【例5.14】 根据表5-12的数据，试确定小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较,Gompertz曲线 （计算结果）,Gompertz曲线 （计算结果）,小麦单位面积产量的 Gompertz 曲线方程为,2000年小麦单位面积产量的预测值为,Gompertz曲线 (趋势图),（六）罗吉斯蒂曲线 (Logistic Curve),K、a、b 为未知常数 K 0，a 0，0 b ≠1,1838年比利时数学家 Verhulst所确定的名称 该曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似 3. 其曲线方程为,Logistic 曲线 (求解k、a、b 的三和法),取观察值Yt的倒数Yt-1 当Yt-1 很小时，可乘以 10 的适当次方 a、b、K 的求解方程为,四、趋势线的选择,观察散点图 根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线 一次差大体相同，配合直线 二次差大体相同，配合二次曲线 对数的一次差大体相同，配合指数曲线 一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线 对数一次差的环比值大体相同，配合 Gompertz 曲线 倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线 3. 比较估计标准误差,图形描述 (例题分析),,图形描述 (例题分析),返回,线性模型法 (例题分析),【例】根据人口自然增长率数据，用最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人口自然增长率，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,线性趋势方程： 预测的估计标准误差： 2001年人口自然增长率的预测值：,‰,线性模型法 (例题分析),线性模型法 (例题分析),二次曲线 (例题分析),【例】根据能源生产总量数据 ，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的能源生产总量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,二次曲线方程： 预测的估计标准误差： 2001年能源生产总量的预测值：,二次曲线 (例题分析),二次曲线 (例题分析),指数曲线 (例题分析),【例】根据人均GDP数据，确定指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人均GDP，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,指数曲线趋势方程： 预测的估计标准误差： 2001年人均GDP的预测值：,指数曲线 (例题分析),指数曲线 (例题分析),修正指数曲线 (例题分析),【例】我国1983~2000年的糖产量数据如表。
试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,修正指数曲线 (例题分析),修正指数曲线 (例题分析),解得 K、a 、b 如下,修正指数曲线 (例题分析),糖产量的修正指数曲线方程 2001年糖产量的预测值 预测的估计标准误差,修正指数曲线 (例题分析),Gompertz 曲线 (例题分析),【例】我国1983~2000年的糖产量数据如表试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较,Gompertz 曲线 (例题分析),Gompertz 曲线 (例题分析),Gompertz 曲线 (例题分析),糖产量的Gompertz曲线方程 2001年糖产量的预测值 预测的估计标准误差,Gompertz 曲线 (例题分析),。